Том 523, № 1 (2025)

Для интегрального преобразования Радона известны классические формулы обращения для определения подынтегральной функции при условии ее гладкости. Однако это ограничение не вполне соответствует применению результатов в теории зондирования, которая является основной областью использования преобразования Радона. Более естественным было бы предположение о допустимости разрывов первого рода для подынтегральных функций. В работе приводятся ряд формул обращения, доказанных авторами для кусочно-непрерывных функций. Проводится сравнение полученных вариантов формул и даются предварительные рекомендации по их использованию для численных алгоритмов.

Работа посвящена базовым категориальным грамматикам с однозначным присвоением типов (БКГОПТ). Для данного класса рассмотрен ряд алгоритмических свойств. Доказано, что проверка для произвольного контекстно-свободного языка L того, порождается ли он некоторой грамматикой из класса БКГОПТ, является алгоритмически неразрешимой. Кроме того, доказано, что для произвольных двух БКГОПТ задача определения пустоты пересечения языков, порождаемых этими грамматиками, также алгоритмически неразрешима.

Рассматривается задача интерполяции в среднем функции по известным интегрально усредненным по промежуткам сетки значениям интегральным квадратическим сплайном. Показано, что интегральный квадратический сплайн можно определять через интерполяционный кубический сплайн. Поскольку интерполяционный кубический сплайн достаточно хорошо изучен, то известные оценки погрешности интерполяции и некоторые его свойства можно перенести на интегральный квадратический сплайн. Найдены точки суперсходимости интегрального сплайна, в которых повышается порядок приближения.

Рассматривается трехмерная внешняя задача Неймана для уравнения Гельмгольца. Методом потенциалов она сводится к граничному слабо сингулярному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое решается численно. Повышение точности и снижение вычислительной сложности алгоритма численного решения достигается осреднением ядра интегрального оператора и локализацией его сингулярной части при дискретизации с использованием простых аналитических выражений. Приведены примеры использования данного подхода при численном решении исходной задачи.

Рассмотрена смешанная задача для В-гиперболического уравнения в евклидовых областях, имеющих разное расположение относительно сингулярных координатных гиперплоскостей. В каждой из этих областей введены интегралы энергии по интегральной мере Лебега–Киприянова со слабой и сильной особенностями. Доказано отсутствие потока энергии через координатные сингулярные гиперплоскости, являющиеся внутренней границей зеркально симметричных областей в евклидовом пространстве. При существовании решений этих задач доказана их единственность.

Рассмотрим E(G, k) — множество количеств ребер индуцированных подграфов размера k данного графа G на n вершинах. Мы доказали для любого α > 0 и достаточно малых ε, что если (ln n)1+α < k < en, то для биноминального случайного графа G = G(n, p), множество E(G, k) с высокой вероятностью содержит большое подмножество, которое представляет собой непрерывный отрезок, а также нашли асимптотику длины этого отрезка.