Том 215, № 6 (2024)

В работе обсуждается вопрос существования таких функций (универсальных функций), ряды Фурье которых по системе Уолша универсальны в классе почти везде конечных измеримых функций в смысле знаков.Библиография: 34 названия.

Рассмотрим интегрируемую по Лиувиллю гамильтонову систему с $n$ степенями свободы. Предположим, что слоение фазового пространства на инвариантные лагранжевы $n$-мерные торы вырождается на $(2n-1)$-мерном особом подмногообразии $\mathbb{W}$, образованном асимптотическими многообразиями $(n-1)$-мерных гиперболических торов. При малом порядка $\varepsilon$ возмущении системы интегрируемость, как правило, исчезает, но согласно КАМ-теории большинство $n$-мерных инвариантных торов выживает. Динамику на дополнении $C$ к указанному торическому множеству принято ассоциировать с хаосом.В статье исследуется мера множества точек, являющегося пересечением окрестности многообразия $\mathbb{W}$ c множеством $C$. При естественных предположениях эта мера имеет порядок $\sqrt \varepsilon$.Этот результат дополняет и обобщает оценки меры множества $C$ вдали от многообразия $\mathbb{W}$, полученные в работах Н. В. Сванидзе, А. И. Нейштадта и Ю. Пёшеля.Библиография: 13 названий.

Представлены элементы теории локального экстремума в задаче оптимального управления со свободным правым концом и, вообще говоря, неопределенной начальной позицией траекторий на основе точных формул приращения (вариаций бесконечного порядка) целевого функционала. Получены необходимые условия оптимальности “позиционного” типа: их формулировки содержат вспомогательные управления с обратной связью, порождающие программные управления спуска (в задаче на минимум). Предложенные условия составляют альтернативу классическому принципу Понтрягина (в некоторых частных случаях – усиливают последний), и открывают возможность построения непрямых методов локального поиска без процедур настройки параметров “глубины спуска”.Библиография: 26 названий.

Для одного класса нелинейных систем уравнений в частных производных высокого порядка в цилиндрической области рассматривается краевая задача, когда на нижнем и верхнем основаниях цилиндра заданы условия типа Коши, а на боковой части границы цилиндра задано условие типа Робена. Краевая задача эквивалентным образом редуцируется к нелинейному функциональному уравнению на некотором подпространстве пространства Соболева. При выполнении некоторых условий, накладываемых на нелинейные члены, получена априорная оценка решения поставленной задачи и доказывается существование решения, а при нарушении этих условий – отсутствие решения. Обсуждается также вопрос о единственности решения.Библиография: 18 названий.