On the measure of KAM tori in the neighborhood of a separatrix

Abstract

Рассмотрим интегрируемую по Лиувиллю гамильтонову систему с $n$ степенями свободы. Предположим, что слоение фазового пространства на инвариантные лагранжевы $n$-мерные торы вырождается на $(2n-1)$-мерном особом подмногообразии $\mathbb{W}$, образованном асимптотическими многообразиями $(n-1)$-мерных гиперболических торов. При малом порядка $\varepsilon$ возмущении системы интегрируемость, как правило, исчезает, но согласно КАМ-теории большинство $n$-мерных инвариантных торов выживает. Динамику на дополнении $C$ к указанному торическому множеству принято ассоциировать с хаосом.В статье исследуется мера множества точек, являющегося пересечением окрестности многообразия $\mathbb{W}$ c множеством $C$. При естественных предположениях эта мера имеет порядок $\sqrt \varepsilon$.Этот результат дополняет и обобщает оценки меры множества $C$ вдали от многообразия $\mathbb{W}$, полученные в работах Н. В. Сванидзе, А. И. Нейштадта и Ю. Пёшеля.Библиография: 13 названий.