Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 60, № 6 (2024)
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА, УПРАВЛЯЕМЫХ ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ С ИНДЕКСАМИ XЕРСТА 𝐻 > 1/4
Аннотация
Исследована проблема однозначной разрешимости задачи Коши для стохастического дифференциального уравнения смешанного типа, управляемого стандартными и дробными броуновскими движениями с показателем Херста 𝐻 > 1/4. Доказана теорема существования и единственности сильных решений таких уравнений.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):723-735
723-735
УТОЧНЕННОЕ ГЛОБАЛЬНОЕ КОЛЬЦО ПУАНКАРЕ–БЕНДИКСОНА С ПРЕДЕЛЬНЫМ ЦИКЛОМ СИСТЕМЫ РЭЛЕЯ
Аннотация
Для системы Рэлея разработаны новые способы построения двух функций Дюлака–Черкаса, с помощью которых находится лучшая в зависимости от параметра 𝜆 > 0 внутренняя граница кольца Пуанкаре–Бендиксона 𝐴(𝜆). Предложена процедура непосредственного нахождения многочлена, множество нулевого уровня которого содержит трансверсальный овал, используемый в качестве внешней границы 𝐴(𝜆). Указан промежуток для 𝜆, при котором лучшей внешней границей кольца 𝐴(𝜆) является замкнутый контур, составленный из двух дуг построенного овала и двух дуг незамкнутых кривых множества нулевого уровня одной из функций Дюлака–Черкаса. Таким образом, представлено уточнённое глобальное кольцо Пуанкаре–Бендиксона для предельного цикла системы Рэлея.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):736-746
736-746
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ, РЕДУКЦИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МОНЖА–АМПЕРА МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Аннотация
Исследовано уравнение Монжа–Ампера с тремя независимыми переменными, встречающееся в электронной магнитной гидродинамике. Проведён групповой анализ этого сильно нелинейного уравнения с частными производными. Найдено одиннадцатипараметрическое преобразование, сохраняющее вид уравнения. Получена формула, дающаявозможность строить многопараметрические семейства решений исходя из более простых решений. Рассмотрены двумерные редукции, приводящие к более простым уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными. Описаны одномерные редукции, позволяющие получать автомодельные и другие инвариантные решения, которые удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям. Построены точные решения с аддитивным, мультипликативным и обобщённым разделением переменных, многие из которых допускают представление в элементарных функциях. Полученные результаты и точные решения могут быть использованы для оценки точности и анализа адекватности численных методов решения начально-краевых задач, описываемых сильно нелинейными уравнениями с частными производными.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):750-763
750-763
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕНОРМАЛИЗОВАННОГО РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ БЕЗ УСЛОВИЯ ЗНАКА НА МЛАДШИЙ ЧЛЕН
Аннотация
Рассматривается квазилинейное эллиптическое уравнение второго порядка с суммируемой правой частью. Ограничения на структуру уравнения формулируются в терминах обобщённой 𝑁-функции. В отличие от предыдущих работ автора, отсутствует условие знака на младший член уравнения. В нерефлексивных пространствах Музилака–Орлича–Соболева в произвольной неограниченной строго липшицевой области доказывается существование ренормализованного решения задачи Дирихле для данного уравнения.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):764-785
764-785
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Аннотация
Рассмотрена задача оптимального управления, управляемый процесс в которой описывается линейным функциональным уравнением в гильбертовом пространстве, а управляющим воздействием является изменение пространства. Получены достаточные условия существования решения задачи. Результаты обобщены на случай, когда управляемый процесс описывается линейным вариационным неравенством.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):786-797
786-797
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ СПЕКТРА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ЗАМКНУТОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Аннотация
Для линейной динамической системы приведён метод каскадной декомпозиции построения матрицы обратной связи для решения задачи размещения спектра (управления спектром, назначения полюсов), в процессе реализации которого сформировано новое доказательство известной теоремы о связи полной управляемости динамической системы с существованием матрицы обратной связи. Выявлена вся совокупность произвольных элементов, влияющих на неединственность матрицы. Приведены примеры построения матрицы обратной связи в случаях действительного спектра и при наличии комплексно-сопряжённых собственных чисел, а также в случае кратных собственных значений. Исследована устойчивость заданного спектра при малых возмущениях параметров системы с фиксированной матрицей обратной связи.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):798-816
798-816
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ЯВНО-НЕЯВНЫЕ СХЕМЫ РАСЧЕТА ДИНАМИКИ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД С РАЗУПРОЧНЕНИЕМ
Аннотация
Исследовано динамическое поведение упруговязкопластических сред под действием внешней нагрузки. Для случая линейной функции вязкости и нелинейной функции разупрочнения построена явно-неявная расчётная схема, позволяющая получать численное решение исходной полулинейной гиперболической задачи. Данный подход не предполагает использование метода расщепления по физическим процессам, несмотря на это был получен явный вычислительный алгоритм, допускающий эффективную реализацию в современных вычислительных системах.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):817-829
817-829
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ НЕРАВЕНСТВ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ НЕОГРАНИЧЕННОГО РОСТА
Аннотация
К операторным неравенствам и к нелинейным нестационарным начально-краевым задачам математической физики с нелинейностями неограниченного роста применена теория устойчивости линейных операторных схем. На основе достаточных условий устойчивости двухслойных и трёхслойных разностных схем А.А. Самарского получены соответствующие априорные оценки для операторных неравенств при условии критичности рассматриваемых разностных схем, т.е. когда разностное решение и его первая временная производная неотрицательны во всех узлах сеточной области. Полученные результаты использованы для анализа устойчивости разностных схем, аппроксимирующих уравнения Фишера и Клейна–Гордона с нелинейной правой частью.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(6):830-843
830-843
ХРОНИКА
844-864