Том 204 (2022)

В работе рассматриваются вопросы построения биинвариантных подпространств для самосопряженного линейного замкнутого оператора с дискретным спектром, возмущенного ограниченным оператором. Основной теоремой является теорема о подобии исследуемого оператора блочно-диагональному оператору, из которой вытекают не только результаты, касающиеся биинвариантных подпространств, но и формулы для проекторов и взвешенных средних собствен ных значений. Кроме того, построена соответствующая группа операторов и предложена новая модификация метода подобных операторов.

Введено понятие о k-потентных множествах в моноидах, k ∈ $\mathrm{\mathbb{N}}$ установлены их простейшие свойства. Выделен класс однородных моноидов, обладающих набором образующих элементов. Найдены простейшие необходимые условия того, чтобы фиксированное множество в таком моноиде было k-потентным. При наличии коммутативности в моноидах установлен изорморфизм каждого из них моноиду ${\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}^{\mathfrak{I}}$ с соответствующим ему множеством меток $\mathfrak{I}$. Для коммутативных однородных моноидов, обладающих множеством образующих, доказаны необходимые и достаточные условия k-потентности их подмножеств. Описано приложение этого результата к анализу так называемой бинарной проблемы Гольдбаха в аналитической теории чисел.

Рассматриваются эллиптические краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, содержащих несоизмеримые сдвиги аргументов в старших членах. Исследуется разрешимость краевых задач, гладкость решений, спектральные свойства путем сведения исходной задачи к нелокальной.

Рассмотрена возможность использования метода интегральных представлений (метода Ханкеля) для решения нестационарной задачи тепломассопереноса в полупроводниковой мишени. Изучены некоторые особенности использования такого подхода для решения задач тепломассопереноса в однородной и многослойной средах. Рассмотрение проведено на примере двухмерной диффузии неосновных носителей заряда, генерированных электронным зондом. Показано, что для решения ряда практических задач для многослойных мишеней с отличающимися параметрами слоёв может быть использован подход, разработанный ранее для задач тепломассопереноса в однородных полупроводниковых мишенях.

В работе поставлена задача о нахождении всех локально дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов двумерного пространства. Эта задача сводится к нахождению алгебр Ли локально дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов. Базисные операторы таких алгебр Ли находятся из решений систем дифференциальных уравнений второго порядка. Доказано, что матрицы этих систем уравнений коммутируют между собой и упрощаются приведением к жордановой форме. Из решений систем дифференциальных уравнений выделены алгебры Ли всех локально дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов плоскости. С помощью экспоненциального отображения найдены локально дважды транзитивные группы Ли преобразований.

Рассматривается класс интегро-алгебраических уравнений типа Вольтерра с двумя интегрируемыми степенными особенностями в ядре. Отмечены принципиальные трудности исследования таких объектов. В терминах матричных пучков сформулированы достаточные условия существования единственного непрерывного решения. Предложены многошаговые методы решения, основанные на методе интегрирования произведений и квадратурных формулах типа Адамса. Приведены результаты численных экспериментов.

Рассматривается смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и смешанной производной. Предполагается, что краевые условия являются распадающимися (одно в левом конце основного интервала, другое в правом конце), корни характеристического уравнения простые и лежат на положительном луче. На коэффициенты уравнения и краевых условий наложены такие условия, что отсутствует двукратная полнота собственных функций соответствующей спектральной задачи для дифференциального квадратичного пучка. Методом контурного интеграла Пуанкаре—Коши получены достаточные условия разрешимости данной задачи.

Рассмотрена первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в ограниченной области Q с криволинейными боковыми границами. Доказано существование решения этой задачи в классе G₂₁ (Q) с помощью метода граничных интегральных уравнений.

Расщепляющее преобразование, обобщающее известное преобразование типа Chang для линейной стационарной сингулярно возмущенной системы со многими запаздываниями в медленных переменных состояния и приводящее исходную двухтемповую систему к двум независимым подсистемам меньшей размерности с различным темпом изменения переменных, приводит к решению уравнений Риккати и Сильвестра относительно функциональных матриц, которые могут быть найдены в виде асимптотических рядов по степеням малого параметра. В этой работе доказано, что асимптотические приближения любого порядка точности на основе этих рядов могут быть представлены в виде конечных сумм по степени А. Приведены примеры, демонстрирующие сравнение решений систем, полученных на основе построенных аппроксимаций, с точными решениями.