Том 25, № 131 (2020)
Статьи
Фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора с производными от функционалов в банаховых пространствах
Аннотация
В работе рассматривается обобщенный интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов, который имеет в своей конструкции обратимый оператор в линейной части, свободной от производных. При исследовании используются ранее полученные результаты в области фундаментальных оператор-функций в банаховых пространствах, а также свойства обобщенных функций, операторов, функционалов. Для интегро-дифференциального оператора с производными от функционалов в банаховых пространствах получена фундаментальная оператор-функция в терминологии жордановых наборов и выявлены условия существования этой фундаментальной оператор-функции.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):249-262
249-262
К вопросу о регуляризации классических условий оптимальности в выпуклой задаче оптимального управления c фазовыми ограничениями
Аннотация
Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности в выпуклой задаче оптимального управлении для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства, понимаемыми как ограничения в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций. Множество допустимых управлений задачи по традиции вкладывается также в пространство суммируемых с квадратом функций. Однако целевой функционал оптимизационной задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым. Получение регуляризованных классических условий оптимальности основано на приеме, связанном с использованием двух параметров регуляризации. Один из них «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение получаемых регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина - устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги для целей практического решения рассматриваемой задачи оптимального управлений с поточечными фазовыми ограничениями.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):263-273
263-273
К оценке значений линейных функционалов на решениях систем с последействием
Аннотация
Для широкого класса линейных функционально-дифференциальных систем с последействием предлагается конструктивный метод оценки значений линейных функционалов на решениях в условиях неопределенности внешних возмущений. Метод может применяться для оценки решений краевых задач с произвольным конечным числом краевых условий, а также для получения оценок сверху по включению для множеств достижимости в задачах управления относительно заданного целевого вектор-функционала. Внешние возмущения стеснены только заданной системой линейных неравенств, которые предполагаются выполненными всюду на основном промежутке. Основу метода составляют общие результаты теории функционально-дифференциальных уравнений о разрешимости краевых задач с общими краевыми условиями и представлении решений. Задача оценки значений линейных функционалов сводится к обобщенной проблеме моментов. При этом существенную роль играют результаты о свойствах матрицы Коши линейной системы с последействием. Общий вид используемых функционалов позволяет охватить многие актуальные с точки зрения приложений частные случаи многоточечных и интегральных условий, а также их гибридов.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):274-283
274-283
О сопряженных операторах для операторов дробного дифференцирования
Аннотация
На линейном многообразии пространства суммируемых с квадратом на конечном отрезке функций, обнуляющихся в его концах, рассматривается оператор левостороннего дробного дифференцирования Капуто. Показано, что сопряженным для этого оператора является оператор правостороннего дробного дифференцирования Капуто. Аналогичные результаты устанавливаются для операторов дробного дифференцирования Римана-Лиувилля. Также мы показываем, что оператор, представляющийся в виде суммы левостороннего и правостороннего операторов дробного дифференцирования, является самосопряженным. Для обоснования результатов используются известные свойства дробных производных Капуто и Римана-Лиувилля.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):284-289
284-289
Об одном представлении множества разрешимости в задаче удержания
Аннотация
В работе приводится еще один итерационный способ построения разрешающего множества в игровой задаче удержания движений абстрактной динамической системы в заданных фазовых ограничениях. В итерационной процедуре вместо оператора программного поглощения предлагается использовать семейство операторов поглощения для отдельных программных помех. Такой подход к построению множества разрешимости опирается на теоремы о существовании и представлении общих неподвижных точках семейства отображений.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):290-298
290-298
К вопросу об устойчивости системы двух линейных гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием
Аннотация
Рассматривается система двух гибридных векторных уравнений, содержащих линейные разностную (определенную на дискретном множестве) и функционально-дифференциальную (определенную на полуоси) части. Для ее изучения выбирается модельная система двух векторных уравнений, одно из которых линейное разностное с последействием (ЛРУП), а другое - линейное функционально-дифференциальное с последействием (ЛФДУП). Показаны два равносильных представления этой системы: первое представление в виде ЛФДУП, второе - в виде ЛРУП. Это позволяет для исследования вопросов устойчивости рассматриваемой системы использовать известные результаты об устойчивости ЛФДУП и ЛРУП. С использованием результатов [Гусаренко С. А. Об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Краевые задачи. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: ППИ, 1989. С. 3-9], рассмотрены два примера исследования устойчивости по правой части совместных систем четырех уравнений. В первом примере используется ЛФДУП, для которого известны достаточные условия знакоопределенности элементов 2 × 2 матрицы-функции Коши (в терминах коэффициентов ЛФДУП). Во втором примере ЛФДУП есть система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) второго порядка. В обоих случаях, известны оценки компонент матрицы-функции Коши. Для компонент матрицы-функции Коши ЛРУП дана экспоненциальная оценка с отрицательным показателем.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):299-306
299-306
Недифференциальные теоремы Куна-Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа
Аннотация
Статья посвящена получению теорем Куна-Таккера в недифференциальной форме в задачах на условный экстремум в гильбертовом пространстве. Ограничения задач задаются операторами, образы которых также вкладываются в гильбертово пространство. Эти ограничения содержат аддитивно входящие в них параметры. В основе получения недифференциальных теорем Куна-Таккера лежит так называемый метод возмущений. Статья состоит из двух основных разделов. Первый из них посвящен получению недифференциального принципа Лагранжа в том случае, когда задача на условный экстремум является выпуклой. Теорема Куна-Таккера есть «регулярная часть» этого принципа Лагранжа. Здесь приводятся также различные утверждения, связывающие множители Лагранжа со свойствами субдифференцируемости выпуклой функций значений задачи. Основное предназначение первого раздела состоит в том, чтобы проследить, как классическая конструкция функции Лагранжа в ее регулярном и нерегулярном вариантах «порождается» субдифференциалами и асимптотическими субдифференциалами функции значений. Данное обстоятельство и результаты первого раздела позволяют перекинуть естественный мостик от выпуклых параметрических задач на условный экстремум к аналогичным нелинейным параметрическим задачам второго основного раздела, в которых функция значений, вообще говоря, не является выпуклой. Центральную роль здесь играют уже не субдифференциалы в смысле выпуклого анализа, а субдифференциалы негладкого (нелинейного) анализа. Как следствие, в этом случае в качестве основной конструкции выступает так называемая модифицированная (не классическая) функция Лагранжа. Ее конструкция полностью зависит от того, как понимается субдифференцируемость в смысле негладкого (нелинейного) анализа.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):307-330
307-330
Масштабная инвариантность строгой иерархии Кадомцева-Петвиашвили
Аннотация
В работе показано, прежде всего, что для решений строгой иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП) достаточно использовать стандартное окружение. Далее рассмотрена минимальная реализация этой иерархии, представлена масштабная инвариантность уравнений Лакса строгой иерархии КП.
Вестник российских университетов. Математика. 2020;25(131):331-340
331-340