Том 30, № 152 (2025)

В данной работе мы представляем теорему о точке совпадения отображений, которая обобщает теорему Арутюнова. В первоначальном варианте теоремы Арутюнова гарантируется существование точки совпадения двух отображений, действующих в метрических пространствах, одно из которых является $\alpha$-накрывающим, а другое — $\beta$-липшицевым, причем $\alpha > \beta.$ Затем эта теорема была распространена на отображения, действующие в $(q_1, q_2)$-квазиметрических пространствах. В данной статье задача о существовании точки совпадения решается для отображений, действующих из $(q_1, q_2)$-квазиметрического пространства в множество, снабженное расстоянием, удовлетворяющим лишь условию тождества (расстояние обращается в ноль тогда и только тогда, когда точки совпадают). При условиях, аналогичных предположениям теоремы Арутюнова, доказано существование точки совпадения. Кроме того, исследованы вопросы сходимости последовательностей точек совпадения отображений $\psi_n, \varphi_n$ к точке совпадения $\xi$ отображений $\psi, \varphi$ при сходимости $\psi_n(\xi)\to \psi(\xi),$ $\varphi_n(\xi)\to \varphi(\xi).$

Приведено свойство, достаточно полно характеризующее взаимоотношение движений динамической системы  $g^t,$ заданной в хаусдорфовом секвенциально компактном топологическом пространстве $\Gamma.$ Отмечено, что в пространстве $\Gamma$ с инвариантной (относительно $g^t$) мерой Лебега $\mu$ справедлив прямой аналог теоремы Пуанкаре–Каратеодори о возвращении множеств. Кроме того, показано, что если $\bar{\mathcal{M}}$ — замыкание объединения $\mathcal{M}$ всех минимальных множеств пространства $\Gamma,$ то $\mu\bar{\mathcal{M}}=\mu\Gamma,$ а через каждую точку $p\notin\mathcal{M}$ проходит движение $f(t,p),$ которое является и положительно, и отрицательно асимптотическим по отношению к компактным минимальным множествам $\Omega_p\subset\mathcal{M}$ и $\mathrm{A}_p\subset\mathcal{M}.$ Если при этом $\Gamma$ удовлетворяет второй аксиоме счетности, то $\mu\mathcal{M}=\mu\Gamma,$ т. е. в $\Gamma$ имеет место важное дополнение к теореме Пуанкаре–Каратеодори о возвращении точек.

Изучается начальная задача $u(x,0)=\varphi(x),$ $u_t(x,0)=0$ для волнового уравнения $u_{xx}(x,t)=u_{tt}(x,t)$ при $x\in\Gamma\setminus J$ и $t>0,$ в которой $\Gamma$ – геометрический граф (по Ю. В. Покорному) с прямолинейными рёбрами и без граничных вершин  ($\partial\Gamma=\varnothing$), $J$ – множество всех внутренних вершин $\Gamma,$ функция $\varphi$ задана; условия трансмиссии, замыкающие задачу, – это, помимо непрерывности функции $u(\,\cdot\,,t)$ во внутренних вершинах, условия гладкости для неё, суть которых состоит в том, что при каждом $t\geqslant0$ в каждой внутренней вершине $a\in J$ сумма правых производных функции $u(\,\cdot\,,t)$ по всем допустимым направлениям равна 0. Доказывается, что если $G^\ast$ есть обобщённая функция Грина (по М. Г. Завгороднему, 2019) для краевой задачи $-y''(x)=f(x),$   $x\in\Gamma\setminus J,$ при гладких условиях трансмиссии (здесь $y$ – искомая функция, непрерывная в точках из $J,$ а $f$ – заданная функция, равномерно непрерывная на каждом ребре $\Gamma$), то классическое решение $u$ начальной задачи представимо в виде:

$<$
u(x,t)=\langle\varphi\rangle-\int\limits_\Gamma g^\ast(x,t,s)\varphi''(s)\,ds,

где $\langle\varphi\rangle$ – среднее от $\varphi$ по $\Gamma,$ а $g^\ast(x,t,s)=[\mathcal C(t)G^\ast(\,\cdot\,,s)](x),$ где, в свою очередь, $\mathcal C$ есть операторная функция, конечным образом описываемая только через метрические и топологические характеристики $\Gamma.$ Подход к получению этого представления $u$ аналогичен подходу, реализованному автором ранее (2006) в случае, когда $\partial\Gamma\ne\varnothing$ и в точках $\partial\Gamma$ ставятся условия Дирихле.

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости в топологическом пространстве (ТП) с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), реализуемыми посредством непустого семейства множеств в пространстве обычных решений (управлений). В качестве аналога множества достижимости, определяемого образом целевого оператора (ЦО) со значениями в ТП, рассматривается множество притяжения (МП) в классе фильтров или направленностей обычных решений. Исследуются вопросы, связанные с зависимостью МП при изменении семейства множеств в пространстве обычных решений, порождающего ОАХ. Особое внимание уделяется случаю, когда данное семейство является фильтром (всякое МП или может быть порождено ОАХ на основе фильтра, или пусто). В то же время МП при ОАХ, порождаемых ультрафильтром (у/ф), т.е. максимальным фильтром, при неограничительных условиях на ТП и ЦО является синглетоном, что позволяет ввести оператор притяжения (ОП), который в случае регулярного ТП оказывается непрерывным при оснащении множества всех у/ф на множестве обычных решений топологией Стоуна. На этой основе удается дать практически исчерпывающее представление конструкций, связанных с построением МП в регулярном ТП, в классе у/ф при их естественной факторизации на основе ЦО. Целый ряд полученных свойств распространяется на случай ЦО со значениями в хаусдорфовом ТП. Исследуются некоторые вопросы, связанные с ослаблением топологии пространства, в котором реализуется МП.