Теоремы о возвращении для динамических систем в секвенциально компактном топологическом пространстве с инвариантной мерой Лебега

Приведено свойство, достаточно полно характеризующее взаимоотношение движений динамической системы  $g^t,$ заданной в хаусдорфовом секвенциально компактном топологическом пространстве $\Gamma.$ Отмечено, что в пространстве $\Gamma$ с инвариантной (относительно $g^t$) мерой Лебега $\mu$ справедлив прямой аналог теоремы Пуанкаре–Каратеодори о возвращении множеств. Кроме того, показано, что если $\bar{\mathcal{M}}$ — замыкание объединения $\mathcal{M}$ всех минимальных множеств пространства $\Gamma,$ то $\mu\bar{\mathcal{M}}=\mu\Gamma,$ а через каждую точку $p\notin\mathcal{M}$ проходит движение $f(t,p),$ которое является и положительно, и отрицательно асимптотическим по отношению к компактным минимальным множествам $\Omega_p\subset\mathcal{M}$ и $\mathrm{A}_p\subset\mathcal{M}.$ Если при этом $\Gamma$ удовлетворяет второй аксиоме счетности, то $\mu\mathcal{M}=\mu\Gamma,$ т. е. в $\Gamma$ имеет место важное дополнение к теореме Пуанкаре–Каратеодори о возвращении точек.