Об одном представлении множества разрешимости в задаче удержания

Аннотация

В работе приводится еще один итерационный способ построения разрешающего множества в игровой задаче удержания движений абстрактной динамической системы в заданных фазовых ограничениях. В итерационной процедуре вместо оператора программного поглощения предлагается использовать семейство операторов поглощения для отдельных программных помех. Такой подход к построению множества разрешимости опирается на теоремы о существовании и представлении общих неподвижных точках семейства отображений.

Полный текст

\\section*{Введение} Активно используемый в теории дифференциальных игр (см. \\cite{Isaacs65,KraSub74}) метод программных итераций (см. \\cite{Chentsov76MS,Chistyakov1977,Uchobot}) опирается на существование неподвижной точки подходящего оператора программного поглощения (ОПП). Этот оператор, рассматриваемый как преобразование булеана фазовых состояний управляемой системы, является нижней (в~смысле отношения вложения) огибающей семейства операторов поглощения фиксированных допустимых реализаций помехи. Из этого обстоятельства и свойства сужаемости рассматриваемых операторов следует, что неподвижные точки ОПП суть в точности общие неподвижные точки семейства операторов поглощения для отдельных помех. Можно пойти дальше, заметив, что у любых двух таких семейств сужающих отображений, имеющих одинаковую нижнюю огибающую, множества общих неподвижных точек совпадают. То есть, любое семейство сужающих операторов (порожденное некоторым п/м помех) и имеющее рассматриваемый ОПП своей нижней огибающей, дает описание неподвижных точек этого ОПП. Известно (см., например, \\cite{Ser_IMI2017}), что для представления общих неподвижных точек семейства отображений также применимы итерационные пределы. Таким образом, при подходящих обстоятельствах мы можем на шаге итерационной процедуры перейти от ОПП к оператору поглощения при фиксированной помехе из выбранного п/м помех. Итак, появляется возможность подбирать наиболее удобное с той или иной точки зрения п/м помех и получать соответствующее представление решения исходной дифференциальной игры. Формальное изложение мы проведем в рамках игровой задачи удержания для абстрактной динамической системы \\cite{Chentsov2004AIT} и проиллюстрируем на примере системы с простыми движениями. Дальнейший текст организован так: пункт 1 содержит обозначения и определения общего характера, 2 --- сведения из теории неподвижных точек, 3 --- постановка задачи удержания и основные результаты, 4 --- пример. % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Обозначения и определения общего характера}\\label{P-1} Используется теоретико-множественная символика (кванторы, пропозициональные связки, \\myemp\\ --- пустое множество); $\\mydef$~--- равенство по определению. Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого --- множества. Пусть \\RA --- вещественная прямая, \\NA --- натуральный ряд. Через $\\icP(T)$ (через $\\icP'(T)$\\!) условимся обозначать семейство всех (всех непустых) п/м произвольного множества $T$; семейство $\\icP(T)$ именуем также булеаном множества $T.$ Если $A$ и $B$ --- непустые множества, то $B^A$ есть множество всех отображений из $A$ в $B$ (см. \\cite[с.~77]{KurMos1970}). Если при этом $f\\in B^A$ и $C\\in\\icP'(A),$ то $\\res{f}{C}\\in B^C$ есть сужение $f$ на множество $C$: $\\res{f}{C}(x)\\mydef f(x)$ $\\myll x\\in C.$ В случае, когда $F\\in\\icP'(B^A),$ полагаем $\\sres{F}{C}\\mydef\\{\\res{f}{C}:f\\in F\\}.$ Всякое линейно упорядоченное п/м частично упорядоченного множества (ЧУМ) назовем \\emph{цепью}. Назовем ЧУМ $(X,\\myle)$ \\emph{индуктивным}, если всякая его цепь $C$ (в том числе и пустая) имеет нижнюю грань $\\inf C\\in X.$ Для $Y\\in\\icP(X)$ обозначим $\\top_Y$ и $\\bot_Y$ наибольший и наименьший элементы ЧУМ $Y,$ соответственно, если они существуют. Отметим, что в индуктивном ЧУМ существует наибольший элемент --- это нижняя грань пустой цепи. Для отображения $f\\in X^X$ обозначим $\\fix{f}$ множество всех его неподвижных точек: $\\fix{f}\\mydef\\{x\\in X\\mid f(x)=x\\}.$ Если $\\ffam\\in\\icP(X^X),$ то $\\fix{\\ffam}\\mydef\\cap_{f\\in\\ffam}\\fix{f}.$ Пусть $(X,\\myle)$ --- ЧУМ и $f\\in X^X.$ Назовем $f$ --- \\emph{сужающим на $(X,\\myle)$}, если $f(x)\\myle x$ \\ \\ $\\myll x\\in X.$ Назовем $f$ --- \\emph{изотонным на $(X,\\myle)$}, если $(x\\myle x')\\myimp(f(x)\\myle f(x'))$ \\ \\ $\\myll x,x'\\in X.$ Будем обозначать \\icORD\\ класс порядковых чисел (ординалов). Запись $\\alpha\\in\\icORD$ будем рассматривать как сокращение высказывания <<$\\alpha$ есть порядковое число>> \\linebreak (<<$\\alpha$ есть ординал>>). Отношение порядка (строгого порядка) на классе $\\icORD$ будем обозначать \\orle\\ (\\orles). Для всякого $\\alpha\\in\\icORD$ обозначим $\\Wa(\\alpha)\\mydef\\{\\iota\\in\\icORD\\mid\\iota\\orles\\alpha\\}$ ($\\Wb(\\alpha)\\mydef\\Wa(\\alpha)\\cup\\{\\alpha\\}$) множество всех ординалов меньших (не больших), чем $\\alpha.$ Обозначим $\\alpha+1\\in\\icORD$ --- \\emph{последователя} ординала $\\alpha$ --- наименьший из ординалов, превосходящих $\\alpha.$ Последователь всегда существует (см. \\cite[следствие 8, с. 238]{KurMos1970} при $Z=\\Wa(\\alpha)\\cup\\{\\alpha\\}$). Назовем $\\alpha\\in\\icORD$ \\emph{регулярным}, если в $\\Wa(\\alpha)$ существует наибольший ординал --- \\emph{предшественник} $\\alpha$; в остальных случаях будем называть $\\alpha$ \\emph{предельным}. Для всякого множества $X$ обозначим $\\CARD{X}$ наименьший из ординалов равномощных множеству $X.$ При этом через $\\CARP{X}$ обозначим наименьший из ординалов, превосходящих мощность множества $X.$ В силу данных определений, каково бы ни было множество $X$ невозможно взаимно однозначно отобразить множество ординалов $\\Wb(\\CARP{X})$ в $X.$ Для выбранного множества $X$ будем кратко обозначать этот факт соотношением \\beq\\label{ormu} \\CARD{X}\\carles{\\CARP{X}}. \\eeq Для всяких множества $X$ и ординала $\\alpha\\in\\icORD$ назовем \\emph{$\\alpha$-последовательностью в $X$} (\\emph{$\\alpha_+$-последовательностью в $X$}) и обозначим $(x_\\iota)_{\\Wa(\\alpha)}$ ($(x_\\iota)_{\\Wb(\\alpha)}$) всякое отображение $\\Wa(\\alpha)\\ni\\iota\\mapsto x_\\iota\\in X$ ($\\Wb(\\alpha)\\ni\\iota\\mapsto x_\\iota\\in X$) из множества отображений $X^{\\Wa(\\alpha)}$ ($X^{\\Wb(\\alpha)}$). Иногда будем также называть $\\alpha$-последовательностью множество $\\{x_\\iota : \\iota\\in\\Wa(\\alpha)\\}$ значений этого отображения. \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\section{Композиции отображений и представление неподвижных точек в ЧУМ}\\label{P-2} Хотя приводимые в этом пункте построения и утверждения корректны в произвольном индуктивном ЧУМ (см. \\cite[п.~2]{Ser_IMI2017}), для дальнейшего изложения нам потребуется только случай булеана некоторого множества: предположим, что рассматриваемое ЧУМ $(X,\\le)$ имеет вид $(X,\\le)\\mydef(\\icP(H),\\subset),$ $H\\neq\\varnothing.$ Пусть $\\ffam\\in\\icP(\\icP(H)^{\\icP(H)})$ и $\\alpha\\in\\icORD.$ Для любой $\\alpha_+$-последовательности $\\phi\\mydef(f_\\beta)_{\\beta\\in\\Wb(\\alpha)}\\in\\ffam^{\\Wb(\\alpha)}$ во множестве $\\ffam$ определим $\\alpha_+$-последовательность отображений $(\\phi_\\beta)_{\\beta\\in\\Wb(\\alpha)}$ (назовем их $\\beta$-композициями --- композиций первых $\\beta$ отображений из $\\alpha_+$-последовательности $\\phi$): при $\\beta=0$ для всякого $f_0$ положим $\\phi_0$ --- тождественное отображение $\\icP(H)$ в себя. Таким образом, $\\phi_0\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}.$ Пусть теперь отображение $\\phi_\\eta\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}$ определено при всех $\\eta\\in\\Wa(\\beta).$ Если $\\beta$ имеет предшественника (пусть это порядковое число $\\gamma$), то положим $\\phi_\\beta\\mydef f_\\beta\\circ \\phi_\\gamma.$ Если $\\beta$ --- предельное порядковое число, то положим $\\phi_\\beta(B)\\mydef f_\\beta\\left(\\bigcap_{\\eta\\in\\Wa(\\beta)}\\phi_\\eta(B)\\right)$ $\\myll B\\in\\icP(H).$ В обоих случаях отображение $\\phi_\\beta$ определено корректно и $\\phi_\\beta\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}.$ Итак, в силу принципа трансфинитной индукции, $\\beta$-композиция $\\phi_\\beta\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}$ определена однозначно для любого $\\beta\\in\\Wb(\\alpha).$ В частности, мы можем рассмотреть множество $\\alpha$-композиций всех $\\alpha_+$-последовательностей семейства $\\ffam$ (обозначим его через $\\itr{\\alpha}{\\ffam}$): $\\itr{\\alpha}{\\ffam}\\mydef\\{\\phi_\\alpha\\mid \\phi\\in\\ffam^{\\Wb(\\alpha)}\\}.$ Для всякого $x\\in X$ определим множество образов $x$ при действии отображениями из $\\itr{\\alpha}{\\ffam}$: $\\itr{\\alpha}{\\ffam}(x)\\mydef\\{\\psi(x)\\mid \\psi\\in\\itr{\\alpha}{\\ffam}\\}.$ Сразу отметим, что введенные итерации семейства \\ffam\\ наследуют свойства сужаемости и изотонности, если эти свойства имело семейство \\ffam. Кроме того, для произвольного ординала $\\alpha,$ выполняется вложение \\beq\\label{fix-F-in-fix-itrF} \\fix\\ffam\\subset\\fix{\\itr\\alpha\\ffam}. \\eeq В самом деле, индукцией по <<сложности>> композиции устанавливается, что при любых $\\alpha\\in\\icORD,$ $\\psi\\in\\itr{\\alpha}{\\ffam}$ и $x\\in\\fix\\ffam$ выполняется равенство $x=\\psi(x),$ то есть $x\\in\\fix{\\itr\\alpha\\ffam}.$ В силу произвольного выбора $x$ получаем вложение \\fref{fix-F-in-fix-itrF}. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Theorem}\\label{lem-cdfix-m} Пусть $\\ffam\\in\\icP'(\\icP(H)^{\\icP(H)})$--- множество сужающих отображений на $(\\icP(H),\\subset).$ Тогда для любого $M\\in\\icP(H)$ выполняется \\beq\\label{bm-iter-fix} \\fix{\\ffam}\\cap\\itr{{\\CARP{H}}}{\\ffam}(M)\\neq\\varnothing. \\eeq В частности, $\\fix{\\ffam}\\neq\\varnothing.$ \\end{Theorem} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Приведем схему доказательства этого утверждения. Легко проверяется, что при $M\\in\\fix{\\ffam}$ равенство \\fref{bm-iter-fix} верно. Для доказательства утверждения в случае $M\\in\\icP(H)\\setminus\\fix{\\ffam}$ предположим противное: найдется $\\bar M\\in\\icP(H)\\setminus\\fix{\\ffam}$ такое, что для любого $\\psi\\in\\itr{{\\CARP{H}}}{\\ffam}$ существует $f\\in\\ffam,$ для которого выполняется \\beq\\label{bm-op} f(\\psi(\\bar M))\\neq\\psi(\\bar M). \\eeq Отталкиваясь от предположения \\fref{bm-op}, рассуждениями <<от противного>> построим \\linebreak $({\\CARP{H}})_+$-последовательность $(M_\\iota)_{\\Wb({\\CARP{H}})}$ в $\\icP(H)$ co следующими свойствами: \\beq\\label{Mi} (\\iota'\\orles\\iota)\\myimp((M_\\iota\\subset M_{\\iota'})\\myand(M_\\iota\\neq M_{\\iota'}))\\qquad\\myll\\iota,\\iota'\\in\\Wb({\\CARP{H}}). \\eeq Продолжая эти построения еще на один шаг, для ординала ${\\CARP{H}}+1$ получим множество $M_{{\\CARP{H}}+1}$ такое, что $M_{{\\CARP{H}}+1}\\subset M_{{\\CARP{H}}}$ и $M_{{\\CARP{H}}+1}\\neq M_{{\\CARP{H}}}.$ Отсюда следует, что \\beq\\label{Mmu} M_{{\\CARP{H}}}\\neq\\varnothing. \\eeq Из \\fref{Mi} и \\fref{Mmu} следует, что для $({\\CARP{H}})_+$-последовательности $(L_\\iota)_{\\iota\\in\\Wb({\\CARP{H}})}$ вида $$ L_{{\\CARP{H}}}\\mydef M_{{\\CARP{H}}},\\quad L_\\iota\\mydef M_\\iota\\setminus M_{\\iota+1},\\qquad \\iota\\in\\Wa({\\CARP{H}}) $$ справедливы соотношения \\beq\\label{Linonemp} L_\\iota\\neq\\myemp\\qquad\\myll\\iota\\in\\Wb({\\CARP{H}}), \\eeq \\beq\\label{Lidis} L_\\zeta\\cap L_\\xi=\\myemp\\qquad\\myll\\zeta,\\xi\\in\\Wb({\\CARP{H}}),\\ \\zeta\\neq\\xi. \\eeq Воспользуемся аксиомой выбора и определим $({\\CARP{H}})_+$-последовательность $(l_\\iota)_{\\iota\\in\\Wb({\\CARP{H}})}$ в $H$ следующим образом: \\beq\\label{li-in-H} l_\\iota\\in L_\\iota\\qquad \\iota\\in\\Wb({\\CARP{H}}). \\eeq Ввиду \\fref{Linonemp} это сделать можно. В силу \\fref{li-in-H}, \\fref{Lidis} имеем соотношения \\beq\\label{li-in-H-dis} l_\\iota\\in H,\\qquad l_\\iota\\neq l_\\eta\\qquad \\iota,\\eta\\in\\Wb({\\CARP{H}}),\\ \\iota\\neq\\eta. \\eeq В силу \\fref{li-in-H-dis} $({\\CARP{H}})_+$-последовательность $(l_\\iota)_{\\iota\\in\\Wb({\\CARP{H}})}$ есть взаимно однозначное отображение из $\\Wb({\\CARP{H}})$ в $H,$ что противоречит выбору ${\\CARP{H}}$ (см. \\fref{ormu}). Значит, предположение \\fref{bm-op} было ложным и, напротив, всегда выполняются соотношения \\fref{bm-iter-fix}. \\hfill$\\square$ Из приведенной схемы доказательства кроме того следует, что при выбранном $x\\in X$ для построения <<эффективной>> для этого $x$ композиции $\\phi_{\\CARP{X}}\\in\\itr{{\\CARP{X}}}{\\ffam},$ $\\phi=(f_\\iota)_{\\iota\\in\\Wb({\\CARP{X}})},$ то есть такой, что $\\phi_{\\CARP{X}}(x)\\in\\fix\\ffam,$ достаточно при выборе элементов $f_{\\iota+1}\\in\\ffam$ (в случае регулярного $\\iota+1$) соблюдать правило (см. \\fref{Linonemp}) \\beq\\label{iter-good} f_{\\iota+1}(\\phi_\\iota(x))\\neq\\phi_\\iota(x), \\eeq пока это возможно. Если же для некоторого $\\eta\\in\\Wb({\\CARP{X}})$ при переборе всех $f\\in\\ffam$ очередной элемент $f_{\\eta+1},$ удовлетворяющий условию \\fref{iter-good} при $\\iota=\\eta,$ не существует (в силу теоремы \\ref{lem-cdfix-m} такой ординал непременно встретится), то, по определению, мы построили общую неподвижную точку $\\phi_\\eta(x)$ семейства \\ffam: $f(\\phi_\\eta(x))=\\phi_\\eta(x)$ $\\forall f\\in\\ffam.$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Corollary}\\label{sle-naim-fix} Пусть $\\ffam\\in\\icP'(\\icP(H)^{\\icP(H)})$ --- множество сужающих изотонных отображений на $(\\icP(H),\\subset).$ Тогда \\beq\\label{naim-fix} \\{\\top_{\\fix{\\ffam}}\\}=\\fix\\ffam\\cap\\itr{{\\CARP{H}}}{\\ffam}(H). \\eeq \\end{Corollary} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Отметим, что тогда <<эффективная>> композиция отображений из \\ffam (см. \\fref{iter-good}) <<начинающаяся>> в $H=\\top_{\\icP(H)},$ непременно <<приводит>> нас во множество $\\fix\\ffam$ и, следовательно, к элементу $\\top_{\\fix\\ffam}$ --- наибольшей общей неподвижной точке этого семейства. \\proof В силу \\fref{bm-iter-fix} в правой части \\fref{naim-fix} стоит непустое множество. Пусть $w\\in\\fix\\ffam\\cap\\itr{{\\CARP{H}}}{\\ffam}(H).$ Тогда $w=\\psi(H)$ для некоторого $\\psi\\in\\itr{{\\CARP{H}}}{\\ffam}.$ Выберем произвольно $M\\in\\fix\\ffam.$ Тогда имеем (см. \\fref{fix-F-in-fix-itrF}) равенство $$ M=\\psi(M). $$ С учетом этого равенства, отношения $M\\subset H$ и <<наследственной>> изотонности $\\psi$ имеем отношения $$ M=\\psi(M)\\subset\\psi(H)=w. $$ Отсюда в силу произвольного выбора $M$ и единственности наибольшего элемента ЧУМ заключаем, что $w=\\top_{\\fix\\ffam}.$ Значит, выполняется $\\fref{naim-fix}.$ \\hfill$\\square$ Для семейства отображений $\\ffam\\in\\icP'(\\icP(H)^{\\icP(H)})$ всегда определено отображение $\\ff\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}$ (ни\\-ж\\-няя огибающая семейства \\ffam), вида \\beq\\label{ff-def-lat} \\ff(M)=\\bigcap_{f\\in\\ffam}f(M)\\qquad M\\in\\icP(H). \\eeq Пусть $f, f'\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}.$ Обозначим $f\\vee f',$ $f\\wedge f'$ отображения из $\\icP(H)^{\\icP(H)}$ вида $(f\\vee f')(M)\\mydef f(M)\\cap f'(M),$ $(f\\wedge f')(M)\\mydef f(M)\\cup f'(M)$ $\\myll M\\in\\icP(H).$ Для всякого $X\\in\\icP'(\\icP(H)^{\\icP(H)})$ обозначим $\\mix_X$ --- п/м отображений из $\\icP(H)^{\\icP(H)}$ (включающее $X$), полученных из элементов множества $X$ путем применения конечного числа операций $\\vee,$ $\\wedge$ и композиции. Индукцией по количеству указанных операций проверяется, что $\\mix_{\\bar\\ffam}\\in\\icP'\\bigl(\\icP(H)^{\\icP(H)}\\bigr)$ и верно равенство \\beq\\label{fix-f-eq-fix-mix-f} \\fix{\\bar\\ffam}=\\fix{\\mix_{\\bar\\ffam}}. \\eeq %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Lemma}\\label{teo-fix-mix} Пусть $\\ffam\\in\\icP'(\\icP(H)^{\\icP(H)})$ --- множество сужающих отображений на $(\\icP(H),\\subset)$ и $\\ff\\in\\icP(H)^{\\icP(H)}$ имеет вид \\fref{ff-def-lat}. Пусть $\\bar\\ffam\\in\\icP'(\\ffam)$ выбрано так, что для любого $M\\in\\icP(H)$ найдется $\\eta_M\\in\\mix_{\\bar\\ffam},$ для которого \\beq\\label{fix-mix-I} \\eta_M(M)\\subset\\ff(M)). \\eeq Тогда $\\fix{\\ffam}=\\fix{\\bar\\ffam}=\\fix{\\ff}.$ \\end{Lemma} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\proof Для обоснования проверим выполнение цепочки вложений: $\\fix{\\ffam}\\subset\\fix{\\bar\\ffam}\\subset\\fix{\\ff}\\subset\\fix{\\ffam}.$ Первое вложение, очевидно, выполнено. Докажем второе вложение. По теореме \\ref{lem-cdfix-m} $\\fix{\\bar\\ffam}\\neq\\varnothing,$ поэтому пусть $\\bar M\\in\\fix{\\bar\\ffam}.$ Найдем в силу условия теоремы $\\eta_{\\bar M}\\in\\mix_{\\bar\\ffam}$ такое, что $\\eta_{\\bar M}(\\bar M)\\subset\\ff(\\bar M).$ Из последнего вложения с учетом выбора $\\bar M$ и равенства $\\bar M=\\eta_{\\bar M}(\\bar M)$ (см. \\fref{fix-f-eq-fix-mix-f}) получим $\\bar M\\subset\\ff(\\bar M).$ Из сужаемости \\ff\\ тогда имеем равенство $\\bar M=\\ff(\\bar M),$ а значит и включение $\\bar M\\in\\fix{\\ff}.$ В силу произвольности $\\bar M$ получаем искомое вложение $\\fix{\\bar\\ffam}\\subset\\fix{\\ff}.$ Обратимся к третьему вложению. Если $\\fix{\\ff}=\\varnothing,$ то вложение, очевидно, выполняется. Пусть теперь $\\bar M\\in\\fix{\\ff}.$ Тогда по определению \\ff\\ (см. \\fref{ff-def-lat}) имеем $\\bar M=\\ff(\\bar M)\\subset f(\\bar M)$ $\\myll f\\in\\ffam.$ Из сужаемости элементов $\\ffam$ и последнего вложения получим $\\bar M= f(\\bar M)$ $\\myll f\\in\\ffam,$ то есть $\\bar M\\in\\fix{\\ffam}.$ В силу произвольного выбора $\\bar M$ вновь получим искомое вложение $\\fix{\\ff}\\subset\\fix{\\ffam}.$ \\hfill$\\square$ \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\section{Постановка задачи удержания и основные результаты}\\label{P-3} %Задачи удержания и конструкции метода программных итераций В качестве пространства позиций выберем непустое множество пар $\\icD\\mydef\\icI\\times\\icX,$ где $\\icI\\subset\\RA$ аналог временного интервала, а $\\icX$ соответствует фазовому пространству. Если $t\\in\\icI,$ то $\\icI^t\\mydef\\{\\xi\\in\\icI\\mid\\xi\\le t\\}$ и $\\icIb_t\\mydef\\{\\xi\\in\\icI\\mid\\xi\\ge t\\}.$ Множество $\\icC\\in\\icP'(\\icX^\\icI)$ рассматриваем как траектории системы. Пусть $\\icY\\neq\\varnothing$ и $\\icOm\\in\\icP'(\\icY^\\icI)$ есть множество помех. Зададим динамику системы отображением $\\icS:\\icD\\times\\icOm\\mapsto\\icP'(\\icC).$ Итак, если $(t,x)\\in\\icD$ и $\\omega\\in\\icOm,$ то $\\icS((t,x),\\omega)$ суть траектории из начальной позиции $(t,x)$ при помехе $\\omega.$ Для всякой позиции $(t,x)\\in\\icD$ обозначим $\\icMa_{(t,x)}$ множество \\emph{квазистратегий} (не\\-уп\\-ре\\-жда\\-ю\\-щих непустозначных отображений): $\\icMa_{(t,x)}\\mydef\\{\\alpha\\in\\icP(\\icC)^\\icOm\\mid\\myll\\omega\\in\\icOm\\ \\sres{\\alpha(\\omega)}{\\icIb_t}\\in\\icP'\\left(\\sres{\\icS((t,x),\\omega)}{\\icIb_t}\\right),$ $\\myll\\omega,\\omega'\\!\\in\\icOm\\allowbreak \\myll \\xi\\in\\icIb_t\\ (\\res{\\omega}{\\icI_\\xi}=\\res{\\omega'}{\\icI_\\xi})\\myimp\\left(\\sres{\\alpha(\\omega)}{\\icI_\\xi}=\\sres{\\alpha(\\omega')}{\\icI_\\xi}\\right)\\}.$ Элементы $\\icMa_{(t,x)}$ это допустимые процедуры управления, отвечающие начальной позиции $(t,x).$ Пусть $\\icN\\subset\\icD$ --- заданные фазовые ограничения. Будем считать, что \\emph{задача удержания в $\\icN$} разрешима для начальной позиции $(t,x),$ если существует квазистратегия $\\alpha_0\\in\\icMa_{(t,x)}$ такая, что для любых $\\tau\\in\\icIb_t,$ $s\\in\\alpha_0(\\omega)$ и $\\omega\\in\\icOm$ выполняется \\beq\\label{ret-prob} (\\tau,s(\\tau))\\in\\icN. \\eeq Для $H\\in\\icP(\\icD),$ $(t,x)\\in\\icD$ и $\\omega\\in\\icOm$ обозначим $\\icPi{\\omega}{(t,x)}{H}\\mydef\\{s\\in\\icS((t,x),\\omega)\\mid(\\xi,s(\\xi))\\in H\\ \\myll \\xi\\in\\icIb_t\\}.$ Обозначим $\\icA_\\omega,$ $\\icA_\\omega\\in\\icP(\\icD)^{\\icP(\\icD)}$ \\emph{оператор поглощения при помехе} $\\omega\\in\\icOm$: $\\icA_\\omega(H)\\mydef\\{(t,x)\\in H\\mid\\icPi{\\omega}{(t,x)}{H}\\neq\\varnothing\\},$ $H\\in\\icP(\\icD).$ Определим ОПП как нижнюю огибающую семейства $\\mathfrak{A}\\mydef(\\icA_\\omega)_{\\omega\\in\\icOm}$: $\\icA(H)\\mydef\\bigcap_{A\\in\\mathfrak{A}}A(H)$ $\\myll H\\in\\icP(\\icD).$ Далее будем придерживаться соглашения: если $t\\in\\icI,$ $h\\in\\icC,$ $h'\\in\\icC,$ $\\omega\\in\\icOm$ и $\\omega'\\in\\icOm,$ то отображения $\\spl{h}{h'}{t}\\in\\icX^\\icI$ и $\\spo{\\omega}{\\omega'}{t}\\in\\icY^\\icI$ (склейки движений $h,$ $h'$ и помех $\\omega,$ $\\omega'$) определяются соотношениями $$%\\beq\\label{def-spl} (\\spl{h}{h'}{t}(\\xi)\\mydef h(\\xi)\\ \\myll\\xi\\in\\icI_t)\\myand(\\spl{h}{h'}{t}(\\zeta)\\mydef h'(\\zeta)\\ \\myll\\zeta\\in\\icIb_{t}\\setminus\\{t\\}) $$%\\eeq $$%\\beq\\label{def-spo} (\\spo{\\omega}{\\omega'}{t}(\\xi)\\mydef \\omega(\\xi)\\ \\myll\\xi\\in\\icI_t)\\myand(\\spo{\\omega}{\\omega'}{t}(\\zeta)\\mydef \\omega'(\\zeta)\\ \\myll\\zeta\\in\\icIb_{t}\\setminus\\{t\\}). $$%\\eeq %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Condition}[полугрупповое свойство] \\label{con-sys-non-ant} Для любых $(s,x)\\in\\icD,$ $\\omega\\in\\icOm,$ $h\\in\\icS((s,x),\\omega)$ и $t\\in\\icIb_s$ выполняется $ \\res h{\\icIb_{t}}\\in\\sres{\\icS((t,h(t)),\\omega)}{\\icIb_{t}}. $ \\end{Condition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Condition}[допустимость склейки движений]\\label{con-sys-spl} Для любых $(s,z)\\in\\icD,$ $t\\in\\icIb_s,$ $\\omega\\in\\icOm,$ $\\omega'\\in\\icOm,$ $h\\in\\icS(z,\\omega)$ и $\\myll h'\\in\\icS((t,h(t)),\\omega')$ выполняется $$ (\\res{\\omega}{\\icI_t}=\\res{\\omega'}{\\icI_t})\\myimp(\\spl{h}{h'}{t}\\in\\icS(z,\\omega')). $$ \\end{Condition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Condition}[допустимость склейки помех]\\label{con-sys-spo} Для любых $t\\in\\icI,$ $\\omega\\in\\icOm,$ $\\omega'\\in\\icOm$ выполняется $ \\spo{\\omega}{\\omega'}{t}\\in\\icOm. $ \\end{Condition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Известно \\cite{CheSer_IMI2016,Ser_TRIMM2017}, что при выполнении условий \\ref{con-sys-non-ant}--\\ref{con-sys-spo} множество разрешимости в такой задаче удержания при достаточно общих условиях есть наибольшая неподвижная точка $\\icM\\in\\icP(\\icN)$ оператора $\\icA.$ При этом, если начальная позиция $(t_0,x_0)$ лежит в $\\icM,$ то отображение $\\icOm\\ni\\omega\\mapsto\\icPi{\\omega}{(t_0,x_0)}{\\icM}\\in\\icP(\\icC)$ есть элемент множества $\\icMa_{(t_0,x_0)}$ и удерживает все движения во множестве $\\icN.$ Иначе говоря, эта квазистратегия, разрешает задачу удержания \\fref{ret-prob}. Итак, ключевым элементом решения в задаче удержания \\fref{ret-prob} является наибольший элемент \\icM\\ множества $\\fix{\\icA}$ в ЧУМ $(\\icP(\\icD),\\subset).$ Для построения $\\icM\\mydef\\top_{\\fix\\icA}$ применим теорему \\ref{lem-cdfix-m}, следствие \\ref{sle-naim-fix} и лемму \\ref{teo-fix-mix} к отображению $\\icA$ и семейству $\\mathfrak{A}.$ Это можно сделать, так как введенные отображения $\\icA,$ $\\icA_\\omega,$ $\\omega\\in\\icOm$ принадлежат $\\icP(\\icD)^{\\icP(\\icD)}$ и удовлетворяют условиям перечисленных утверждений: а именно, они действуют в булеане, являются сужающими, изотонными и состоят в нужном отношении --- $\\icA$ является нижней огибающей семейства $\\mathfrak{A}.$ Комбинируя эти утверждения, получим следующие результаты: \\begin{Theorem}\\label{teo-ret-fix-mix} Для ординала $\\sigma\\myle\\CARP{\\icN}$ и $\\sigma$-последовательности вида \\fref{iter-good} \\linebreak $\\phi=(\\icA_{\\omega_\\eta})_{\\eta\\myle\\sigma}$ в $\\mathfrak{A}$ выполняется равенство $\\phi_\\sigma(\\icN)=\\icM.$ \\end{Theorem} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\begin{Corollary}\\label{cor-ret-fix-mix} Пусть $\\mathfrak{A}'\\in\\icP'(\\mathfrak{A})$ выбрано так, что любого $M\\in\\icP(\\icN)$ найдется $\\psi\\in\\mix_{\\mathfrak{A}'},$ для которого \\beq\\label{cond-fix-mix} \\psi(M)\\subset\\icA(M). \\eeq Тогда для ординала $\\sigma=\\CARP{\\icN}$ и $\\sigma$-по\\-с\\-ле\\-до\\-ва\\-тель\\-ность вида \\fref{iter-good} $\\phi'=(\\icA_{\\omega_\\eta})_{\\eta\\myle\\sigma}$ в $\\mathfrak{A}'$ выполняется равенство $\\phi'_{\\sigma}(\\icN)=\\icM.$ \\end{Corollary} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Пример}\\label{P-4} Положим $\\icI\\mydef\\RA,$ $\\icX\\mydef\\RA,$ $\\icY\\mydef[-1,1],$ $\\icD\\mydef\\icI\\times\\icX=\\RA\\times\\RA.$ Множество помех \\linebreak $\\icOm\\in\\icP(\\icY^\\icI)$ определим как $L_\\infty(\\RA,\\RA)\\cap\\icY^\\icI$ --- множество измеримых по Лебегу, существенно ограниченных функций из $\\icY^\\icI.$ Для начального состояния $(t,x)\\in\\icD$ и помехи $\\omega\\in\\icOm$ динамику $\\icS((t,x),\\omega)$ зададим функциями из $\\icC\\mydef C(\\RA,\\RA)$ вида \\beqnt%\\label{sys1} \\icS((t,x),\\omega)\\mydef\\{h\\in\\icC\\mid h(\\tau)=x+\\int_t^\\tau(\\omega(s)+u(s))ds,\\ \\tau\\in\\icI, u\\in L_1(\\icI,[-1,1])\\},\\quad \\tau\\in\\icI. \\eeq Множество фазовых ограничений $\\icN\\in\\icP(\\icD)$ определим как $\\icN\\mydef\\icD\\setminus\\{(s,z)\\in\\icD\\mid s=0, |z|\\le1\\}$ --- все фазовое пространство \\icD\\ за исключением вертикального отрезка, помещенного в начало координат. Заметим, что определенная таким образом управляемая динамическая система удовлетворяет условиям \\ref{con-sys-non-ant}--\\ref{con-sys-spo}. Следовательно, для нахождения области разрешимости задачи \\fref{ret-prob} в классе квазистратегий достаточно построить наибольшую неподвижную точку соответствующего ОПП. Проведем это построение двумя способами: во-первых, воспользуемся следствием \\ref{cor-ret-fix-mix}, подобрав подходящее семейство $\\mathfrak{A}'\\subset\\mathfrak{A}$; во-вторых, найдем наибольшую неподвижную точку ОПП \\icA\\ для этой системы. Пусть $\\{\\omega_1,\\omega_{-1}\\}$ --- п/м двух помех, тождественно равных 1 и -1. Рассмотрим соответствующее семейство операторов поглощения: $\\mathfrak{A}'=\\{\\icA_{\\omega_1},\\icA_{\\omega_{-1}}\\}.$ Можно проверить, что в этой задаче выполняется условие \\fref{cond-fix-mix} и применить следствие \\ref{cor-ret-fix-mix} . Но мы воспользуемся тем, что в этом случае сравнительно просто удается построить наибольшую неподвижную точку $\\icM'$ семейства $\\mathfrak{A}'.$ А тогда, учитывая соотношения $\\top_{\\fix\\ff}=\\top_{\\fix{\\mathfrak{A}}}\\subset\\top_{\\fix{\\mathfrak{A}'}},$ выполняющиеся независимо от условий \\fref{fix-mix-I}, \\fref{cond-fix-mix}, достаточно проверить лишь вложение $\\icM'\\subset\\icA(\\icM'),$ дающее включение $\\icM'\\in\\fix\\ff.$ Строя последовательность значений композиций отображений из $\\mathfrak{A}'$ вида $$ \\icA_{\\omega_1}(\\icN),\\ \\icA_{\\omega_1}(\\icA_{\\omega_{-1}}(\\icN)),\\ \\ldots\\ ,\\ \\icA_{\\omega_1}(..(\\icA_{\\omega_{-1^i}}(\\icN))..),\\ \\ldots\\quad i\\in\\NA $$ в точке \\icN, мы замечаем, что выполняется условие \\fref{iter-good} <<эффективной>> для $\\icN$ последовательности --- все значения различны. Значит (см. теорему \\ref{teo-ret-fix-mix} для случая $\\mathfrak{A}=\\mathfrak{A}'$), эта последовательность сходится к наибольшей неподвижной точке из $\\fix{\\mathfrak{A}'}.$ Так как (для обозримости приведем только четные индексы) $$ \\icA_{\\omega_1}(..(\\icA_{\\omega_{-1^i}}(\\icN))..)=\\icD\\setminus\\{(s,z)\\in\\icD\\mid s\\le0, |z|\\le1, z\\ge-2(s+i-0.5)\\},\\quad i=2k, \\ k\\in\\NA, $$ в качестве предела $\\icM'\\mydef\\top_{\\fix{\\mathfrak{A}'}}$ имеем $\\icM'=\\icD\\setminus\\{(s,z)\\in\\icD\\mid s\\le0, |z|\\le1\\}.$ Непосредственно проверяется, что $\\icM'\\subset\\icA(\\icM').$ Поэтому в силу сужаемости \\ff выполнено $\\icM'\\in\\fix\\ff.$ Тогда имеем $\\icM'=\\top_{\\fix\\ff}\\mydef\\icM.$ С другой стороны, можно проверить, что $\\icA^k(\\icN)=\\icD\\setminus\\{(s,z)\\in\\icD\\mid s\\in[-k,0], |z|\\le1\\}$ для $k\\in\\NA.$ Тогда $\\icA^\\infty(\\icN)\\mydef\\cap_{k\\in\\NA}\\icA^k(\\icN)=\\icM'.$ Но согласно выводам метода программных итераций имеет место равенство $\\icA^\\infty(\\icN)=\\top_{\\fix\\ff}\\mydef\\icM.$ Таким образом, два различных по форме представления наибольшей неподвижной точки ОПП приводят к одинаковому множеству разрешимости в рассматриваемой игре. Так как выполняются условия \\ref{con-sys-non-ant}--\\ref{con-sys-spo}, полученное множество разрешимости $\\icM'$ дает основу для построения разрешающей задачу квазистратегии вида $ \\icOm\\ni\\omega\\mapsto\\icPi{\\omega}{(t_0,x_0)}{\\icM'}\\in\\icP(\\icC). $