To estimating linear functionals values over solutions of systems with aftereffect

Full Text

\\section*{Введение} При изучении краевых задач и задач управления для функционально-диф\\-фере\\-нциальных уравнений и/или включений часто возникает вопрос об оценке решений в заданных точках или функционалов от решений в условиях неопределенности при задании правых частей (внешних возмущений) \\cite{BM1981, MRu1993, AMS2009, M2019}. В этой работе мы предлагаем конструктивный подход к получению таких оценок для линейных систем функ\\-ци\\-о\\-наль\\-но-дифференциальных уравнений с последействием. Основную идею подхода поясним на примере краевой задачи \\begin{equation}\\label{1} (\\mathcal{L}x)(t)\\;=\\;f(t),\\;t \\in [0,T],\\;\\;\\lambda x \\;=\\;\\beta \\end{equation} с линейными ограниченными операторами $\\mathcal{L}$ и $\\lambda,$ действующими из пространства $AC^n[0,T]$ абсолютно непрерывных функций $x:[0,T] \\to R^n$ в пространства $L^n[0,T]$ суммируемых функций $y:[0,T] \\to R^n$ и пространство $R^n,$ соответственно (детальное описание операторов и пространств приводятся ниже). Пусть задача \\eqref{1} однозначно разрешима и \\begin{equation}\\label{2} x\\;=\\;Z \\beta\\;+\\;G f \\end{equation} --- представление ее решения \\cite{AMR1991}. Рассматривается случай, когда правая часть $f$ неизвестна и информация о ней исчерпывается системой неравенств \\begin{equation}\\label{3} \\Lambda \\cdot f(t)\\;\\leq\\; \\gamma, \\;\\;t \\in [0,T], \\end{equation} где $\\Lambda$ --- постоянная $(N \\times n)$-матрица (предполагается, что множество $\\mathcal V$ всех решений $v$ системы неравенств $\\Lambda v \\leq \\gamma$ непусто и ограничено). Требуется дать оценку сверху по включению для значений вектор-функционала $\\ell: AC^n \\to R^{N_1}$ на решениях \\eqref{2}, соответствующих всем возможным $f,$ удовлетворяющим \\eqref{3}. Для случая двусторонних покомпонентных ограничений $f(t)$ такая оценка анонсирована в \\cite{M2018a}. В общем случае оценка может быть получена после сведения задачи к обобщенной проблеме моментов \\cite{KrNu1977} на основе использования представления \\eqref{2}. Упомянутая проблема моментов состоит в описании множества всех значений интеграла $\\int_0^T\\,M(t)f(t)\\,dt$ на функциях $f,$ удовлетворяющих ограничениям \\eqref{3}. Теорема 7.1 \\cite[p.~269]{KrNu1977} дает решение задачи в терминах моментной матрицы $M(t)$ и множества $\\mathcal V.$ При этом предполагается решение континуума задач линейного программирования. Мы предлагаем реализуемый алгоритм, применение которого позволяет дать внешнюю оценку (оценку сверху по включению) для упомянутого множества значений вектор-функционала. Отметим, что таким образом возникает возможность для краевых задач с неточно заданными правыми частями и конечным числом линейных краевых условий дать описание правых частей краевых условий, для которых краевая задача заведомо не имеет решений. Напомним в связи с этим некоторые сведения из общей теории краевых задач. Классическая постановка общей краевой задачи для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений \\begin{equation} \\label{4} ({\\cal L} x)(t)\\,\\equiv\\, \\dot{x}(t)\\,+\\,A(t)x(t)\\,= \\,f(t),\\,\\,\\,t\\in [0,T], \\end{equation} где $A(t)$ --- $(n \\times n)$-матрица с суммируемыми на $[0,T]$ элементами, предполагает исследование вопроса о существовании решений системы \\eqref{1}, удовлетворяющих краевым условиям \\begin{equation} \\label{5} \\lambda x = \\beta \\end{equation} с линейным ограниченным вектор-функционалом $\\lambda = col(\\lambda_1,...,\\lambda_n) ,$ определенным на пространстве абсолютно непрерывных функций $x: [0,T] \\to R^n$ (см. ниже). Важную роль в постановке \\eqref{4}--\\eqref{5} играет равенство числа линейно независимых компонент $\\lambda_i$ вектор-функционала в \\eqref{5} и размерности системы \\eqref{4}. В таком случае однозначная разрешимость краевой задачи при $f=0, \\beta=0$ гарантирует однозначную всюду разрешимость задачи \\eqref{4}--\\eqref{5}. В противном случае мы имеем дело либо с недоопределенной, либо с переопределенной краевой задачей \\cite{M2014}. Линейные краевые задачи для уравнений с обыкновенными производными, которые не обладают свойством всюду однозначной разрешимости, встречаются в различных приложениях, среди таких приложений отметим некоторые задачи экономической динамики \\cite{MRu1993, M2006}. Результаты о разрешимости и представлении решений для таких задач широко используются при исследовании слабо нелинейных краевых задач \\cite{Boi1990}. Общие результаты о линейных краевых задачах для абстрактного функционально-дифференциального уравнения изложены в \\cite{ AR1996}, для переопределенных краевых задач основные результаты Л.\\,Ф.~Рахматуллиной детально представлены в \\cite{AR1996, AMR2002, AMR2007}. Отметим еще, что обсуждаемые вопросы близки к вопросу о разрешимости линейных краевых задач с краевыми условиями-неравенствами, конструктивный подход к исследованию которых представлен в \\cite{MRu1993}. %Здесь мы рассматриваем случай, когда число линейно независимых краевых условий больше размерности нуль-пространства однородного уравнения и исследуем краевые задачи в существенной иной постановке. А именно, мы обсуждаем вопрос: существует ли по карйней мере одна правая часть $f$ заданного линейного уравнения (1), что краевые условия (2) выполняются при фиксированном $\\beta$ с учетом того, что имеется неопределенность в задании (в знании) правой части, так что информация о ней исчерпывается заданными поточечными ограничениями относительно $f(t)$ на отрезке $[0,T].$ Основная цель - дать внешнюю по включению оценку множества тех $\\beta,$ для которых существует решение краевой задачи. % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Один класс систем с последействием} В этом разделе мы даем описание рассматриваемой системы с последействием. С~одной стороны, она является конкретной реализацией абстрактного функционально-диф\\-фе\\-рен\\-ци\\-а\\-ль\\-но\\-го уравнения, с другой -- охватывает широкий класс динамических моделей с последействием, таких как интегро-дифференциальные, с запаздыванием, диф\\-фе\\-рен\\-ци\\-а\\-ль\\-но-разностные и др. (см., например, \\cite{M2003, MRu1993}). Введем функциональные пространства, используемые ниже. Зафиксируем конечный промежуток $[0,T]\\subset R.$ Обозначим через $L^n=L^n[0,T]$ пространство суммируемых функций $f: [0,T] \\to R^n$ c нормой $||f||_{L^n} = \\int_0^T\\,|f(t)|\\,dt$ ($|\\cdot|$ --- норма в $R^n$), $AC^n=AC^n[0,T]$ --- пространство абсолютно непрерывных функций $x: [0,T] \\to R^n$ с нормой $||x||_{AC^n} = |x(0)| + ||\\dot{x}||_{L^n} .$ Рассмотрим функционально-дифференциальную систему \\begin{equation} \\label{6} {\\cal{L}}x \\equiv \\dot x\\;-\\;{\\cal K}\\dot x\\;-A(\\cdot)x(0)=\\;f, \\end{equation} где линейный ограниченный оператор $ {\\cal{K}}:L^n \\to L^n $ определен равенством $$ ({\\cal{K}}z)(t)=\\int_0^t K(t,s) z(s)\\,ds,\\;\\; t \\in [0,T], $$ элементы $k_{ij}(t,s)$ ядра $K(t,s)$ измеримы на множестве $0\\leq s \\leq t \\leq T$ и таковы, что $|k_{ij}(t,s)|\\,\\leq\\,u(t),$ $i,j=1,...,n,$ $u \\in L^1[0,T],$ элементы $(n \\times n)$-матрицы $A $ суммируемы на $[0,T].$ Ниже мы воспользуемся результатами \\cite{M1977, AMR1991, M2003} о представлении решений системы \\eqref{6}. Однородная система \\eqref{6} ($f(t)=0,\\,t\\in[0,T]$) имеет фундаментальную $(n\\times n)$-матрицу $X(t)$: $$ X(t)\\;=\\;E_n\\;+\\;Y(t), $$ где $E_n$ --- единичная $(n \\times n)$-матрица, каждый столбец $y_i(t)$ $(n \\times n)$-матрицы $Y(t)$ является единственным решением задачи Коши $$ \\dot y(t)=\\int_0^t K(t,s)\\dot v (s)\\;ds\\;+\\;{a}_i(t),\\;y(0)=0\\;,\\,\\,t \\in [0,T], $$ где ${a}_i(t)$ --- $i$-й столбец матрицы ${A}.$ Решение системы \\eqref{6} с начальным условием $x(0)=0$ имеет представление $$ x(t)\\;=\\;(Cf)(t)\\;=\\;\\int ^t_0 C(t,s)f(s)\\,ds $$ где $C(t,s)$ --- матрица Коши \\cite{M1977} оператора ${\\cal{L}}.$ Эта матрица может быть определена (и~построена) как решение системы $$ \\frac{\\partial}{ \\partial t} C(t,s)\\;=\\;\\int ^t_s K(t,\\tau)\\frac{\\partial}{ \\partial \\tau} C(\\tau,s)\\,d\\tau\\;+\\;K(t,s),\\;0\\leq s \\leq t \\leq T, $$ с условием $C(s,s)=E_n.$ Отметим, что для некоторых классов систем \\eqref{6} матрица Коши может быть построена в явном виде \\cite{M2019}. Свойства матрицы Коши, используемые ниже, подробно исследованы в \\cite{M2003}. Матрица $C(t,s)$ выражается в терминах резольвентного ядра $R(t,s),$ соответствующего ядру $K(t,s)$: \\begin{equation} \\label{7} C(t,s)\\;=\\;E_n\\;+\\; \\int ^t_s R(\\tau,s)\\,d\\tau. \\end{equation} Общее решение системы \\eqref{6} имеет вид \\begin{equation} \\label{8} x(t)\\;=\\;X(t)\\alpha\\;+\\;\\int ^t_0 C(t,s)f(s)\\,ds, \\end{equation} где $\\alpha \\in R^{n}$ --- вектор произвольных постоянных. % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Оценка значений функционалов} Напомним общий вид линейного ограниченного вектор-функционала $\\ell :AC^n[0,T] \\to R^{N_1}$: \\begin{equation} \\label{8} \\ell x = \\int_0^T \\Phi(s)\\dot{x}(s)\\,ds+\\Psi x(0). \\end{equation} Здесь $\\Psi$ --- постоянная $(N_1\\times n)$-матрица, $\\Phi$ --- $(N_1\\times n)$-матрица с измеримыми и ограниченными в существенном на $[0,\\,T]$ элементами. Будем оценивать значения $\\ell x$ на решениях системы \\eqref{6}, удовлетворяющих начальному условию $x(0)=0$ (в силу линейности задачи это не ограничивает общности, но сокращает выкладки), на множестве правых частей $f,$ удовлетворяющих условию \\eqref{3}. Для того, чтобы воспользоваться упомянутой выше Теоремой 7.1 \\cite[p.~269]{KrNu1977}, следует получить явное представление для $\\ell x = \\ell C f $ с использованием \\eqref{8}. Заметим, что интегральность такого представления следует из общего вида линейного ограниченного вектор-функционала, определенного на пространстве $L^n[0,T],$ однако конструктивное решение поставленной задачи требует явного выражения для элементов моментной матрицы $M(t).$ Сформулируем результат в виде следующей леммы. \\begin{Lemma} Имеет место представление \\begin{equation} \\label{9} \\ell C f = \\int_0^T\\,M(t)\\,f(t)\\,dt, \\end{equation} где $(N_1 \\times n)$-матрица $M(t)$ определяется равенством \\begin{equation} \\label{10} M(t)\\; =\\;\\Phi(t)\\;+\\; \\int_t^T \\Phi(t) \\frac{\\partial}{ \\partial \\tau} C(\\tau,t) \\,d\\tau. \\end{equation} \\end{Lemma} \\proof Имеем $$ \\ell C f =\\int_0^T\\,\\Phi(t)\\,\\dot{x}(t)\\,dt = \\int_0^T\\,\\Phi(t)\\,f(t)\\,dt + \\int_0^T\\,\\Phi(t)\\int_0^t \\frac{\\partial}{ \\partial t} C(t,s)\\,dt\\,f(s)\\,ds = $$ $$ =\\int_0^T\\,\\Phi(t)\\,f(t)\\,dt + \\int_0^T\\,\\int_s^t\\,\\Phi(t)\\, \\frac{\\partial}{ \\partial t} C(t,s)\\,dt\\,f(s)\\,ds = $$ $$ =\\int_0^T\\,[\\,\\Phi(t)\\,+\\,\\int_t^T\\,\\Phi(s)\\, \\frac{\\partial}{ \\partial s} C(s,t)\\,ds\\,]\\,f(t)\\,dt. $$ В процессе преобразований обоснованность смены порядка интегрирования в повторных интегралах следует из свойств матрицы Коши, -- см. \\cite[Теорема 2.3, с.~53 ]{M2003}. \\hfill$\\square$ Ниже всюду будем предполагать, что элементы матрицы $M(t)$ кусочно непрерывны на $[0,T].$ Отметим, что это условие выполнено для многоточечных и интегральных функционалов, а также для их линейных комбинаций. Для фиксированного $\\mu \\in R^{N_1}$ и фиксированного $t \\in [0,T]$ определим $w(t,\\mu)$ равенством \\begin{equation} \\label{12} w(t, \\mu)\\;=\\;argmax(\\mu^{\\prime} M(t)v: {v \\in {\\mathcal{V}}}) \\end{equation} ($(\\cdot)^{\\prime}$ -- символ транспонирования). Без ограничения общности будем считать, что равенство \\eqref{12} определяет $w(t, \\mu)$ (угловую точку многогранника $\\mathcal V$) однозначно (в противном случае под $w(t, \\mu)$ можно понимать фиксированную выпуклую комбинацию всех угловых точек, доставляющих функционалу $ v \\to \\mu^{\\prime} M(t)v$ одно и то же экстремальное значение). Зафиксируем набор векторов $\\mu_k,$ $k = 1,\\dots,K.$ Пусть, далее, упорядоченный набор точек $t_j,\\,j = 0,\\dots,J,\\,0 = t_0 < t_1 \\leq \\dots \\leq t_J = T$ состоит из точек непрерывности моментной матрицы $M(t)$ и обладает свойством $\\delta$-мажорирования интеграла: \\begin{equation} \\label{13} \\int_0^T\\mu_k^{\\prime} \\, M(t)\\, w(t,\\mu_k)\\,dt\\, \\leq \\, \\int_0^T \\mu_k^{\\prime} \\, M(t) \\sum_{j=1}^J \\chi_{[t_{j-1}, t_j)}(t) w(t_j,\\mu_k)\\,dt\\,+\\,\\delta\\, = \\, q_k,\\; k = 1,\\dots,K. \\end{equation} Здесь и ниже $\\chi_{A}(t)$ --- характеристическая функция множества $A.$ \\begin{Theorem}\\label{t2.1} Какой бы ни была суммируемая функция $f,$ удовлетворяющая условиям \\eqref{3} почти всюду на $[0,T],$ для соответствующего решения $x$ системы \\eqref{6} значения $\\ell x$ принадлежат многогранному множеству точек $\\rho \\in R^{N_1},$ которое определяется неравенствами \\begin{equation} \\label{14} \\mu_k^{\\prime} \\rho \\leq q_k,\\, k = 1,\\dots,K. \\end{equation} \\end{Theorem} \\proof В силу Теоремы 7.1 \\cite[p.~269]{KrNu1977} множество значений интеграла $\\int_0^T M(t) f(t)$ на всех $f,$ удовлетворяющих неравенствам \\eqref{3}, исчерпывается точками $\\rho \\in R^{N_1},$ для которых неравенство \\begin{equation} \\label{15} \\mu^{\\prime} \\rho \\leq \\,\\int_0^T\\mu^{\\prime} \\, M(t)\\, w(t,\\mu)\\,dt\\ \\end{equation} выполняется для всех $\\mu \\in R^{N_1}.$ По определению значений $q_k$ это множество является подмножеством многогранного множества \\eqref{14}. \\hfill $\\square$ % Перед командой \\section{.....} \\setcounter{Theorem}{0} \\setcounter{Lemma}{0} \\setcounter{Corollary}{0} \\setcounter{Assertion}{0} \\setcounter{Definition}{0} \\setcounter{Remark}{0} \\setcounter{Example}{0} \\setcounter{Proposition}{0} \\setcounter{Condition}{0} \\setcounter{Property}{0} \\setcounter{Question}{0} \\setcounter{equation}{0} \\section{Примеры} \\begin{Example} Рассмотрим двумерную систему с постоянным запаздыванием \\begin{equation} \\label{30} \\left. \\begin{aligned} \\dot x_1 (t)\\;-\\;x_2(t-1)\\;=\\; f_1(t),\\\\ \\dot x_2 (t)\\;\\;\\;+\\;\\;\\;x_2(t)\\;\\;\\;=\\; f_2(t),\\\\ \\end{aligned} \\right. \\;\\;\\;t \\in [0, 3], \\end{equation} где $x_2(s)\\;=\\;0,$ если $\\;s<0,$ с начальными условиями \\begin{equation} \\label{31} x_1(0)\\;=\\;0,\\;\\;x_2(0)\\;=\\;0. \\end{equation} Информация о правой части системы исчерпывается следующими ограничениями: \\begin{equation} \\label{32} \\left. \\begin{aligned} 0.1\\,\\leq \\,f_1(t)\\, \\leq\\,0.1,\\;\\;0.1\\,\\leq f_2(t)\\,\\leq\\,0.2,\\; f_2(t)\\,\\geq \\,-2 f_1(t),\\;t \\in [0, 3];\\\\ f_2(t)\\;\\geq \\;-2 f_1(t),\\; f_2(t) \\geq \\;0.1 + f_1(t),\\;t\\, \\in [0, 3];f_1(t) = 0,\\;t \\in [0, 1].\\\\ \\end{aligned} \\right. \\end{equation} Неравенства в \\eqref{32} определяют многоугольник, изображенный на рис. 1. \\begin{center} \\includegraphics[width=0.25\\textwidth]{backups-1.eps} \\textbf{Рис. 1.} Ограничения-неравенства на правую часть \\end{center} Оценим терминальные значения компонент решения задачи \\eqref{30}--\\eqref{31} при произвольной правой части $f$ с условиями \\eqref{32}. Таким образом, в данном случае $\\ell_1 x \\equiv x_1(3),$ $\\ell_2 x \\equiv x_2(3).$ Для рассматриваемой системы имеем \\begin{equation} \\label{33} C(t,s)\\,=\\,\\left( \\begin {array}{ll} 1 & \\;\\;\\;\\int^t_s \\chi_{[1, 3]}(\\tau)\\,\\chi_{[0,\\tau -1]}(s)\\, {\\rm exp}\\,(1-\\tau+s)\\,d\\tau \\vspace{.5cm}\\\\ 0 & \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;{\\rm }\\,{\\rm exp}(s-t) \\\\ \\end {array} \\right). \\end{equation} Найдем элементы моментной матрицы: $$ \\ell_1 x = x_1(3) = \\int_0^3\\,C_{11}(3,t) f_1(t)\\,dt \\; +\\; \\int_0^3\\,C_{12}(3,t) f_2(t)\\,dt\\;= $$ $$ = \\int_0^3\\,\\chi_{[2, 3]}(t) f_1(t)\\,dt \\; +\\; \\int_0^3\\,\\chi_{[0, 2]}(t) [1 - exp(t-2)] f_2(t)\\,dt; $$ $$ \\ell_2 x = x_2(3) = \\int_0^3\\,C_{21}(3,t) f_1(t)\\,dt \\; +\\; \\int_0^3\\,C_{22}(3,t) f_2(t)\\,dt\\;= $$ $$ =\\;\\; 0 \\; +\\; \\int_0^3\\,exp(t-3) f_2(t)\\,dt. $$ Таким образом, $$ M_{11}(t) = \\chi_{[2, 3]}(t),\\;M_{12}(t) = \\chi_{[0, 2]}(t) [1 - exp(t-2)],\\;M_{21}(t) = 0,\\;M_{22}(t) = exp(t-3). $$ Применяя Теорему \\ref{t2.1} и реализуя предлагаемый ею алгоритм, основанный на решении $K \\cdot J$ задач линейного программирования, при $\\mu_j = col(sin(2\\pi(j-1)/K),\\,cos(2\\pi(j-1)/K)),$ $K=16,$ $J=32,$ и выбирая в качестве $0.01$-мажорирующего набора точек равномерную сетку с шагом $3/32,$ получаем оценку сверху для множества значений $(x_1(3),x_2(3)).$ Множество этих значений находится в многоугольнике, показанном на рис. 2. Алгоритм реализован с использованием свободно распространяемой версии системы аналитических вычислений Maple. \\begin{center} \\includegraphics[width=0.4\\textwidth]{backups-6.eps} \\textbf{Рис. 2.} Оценка множества терминальных значений при $K=16$ \\end{center} При необходимости эта оценка может быть уточнена, вариант оценки при $K=32$ показан на рис. 3. \\begin{center} \\includegraphics[width=0.4\\textwidth]{backups-8.eps} \\textbf{Рис. 3.} Оценка множества терминальных значений при $K=32$ \\end{center} \\end{Example} \\begin{Remark} Отметим, что в некоторых случаях предлагаемые оценки позволяют установить положительность значений компонент оцениваемого вектор-функ\\-ци\\-о\\-на\\-ла в условия отсутствия монотонности операторов или положительности правых частей системы. Так, в рассматриваемом примере компонента $f_1(t)$ может принимать отрицательные значения (см.~рис. 1), но терминальные значения обеих компонент решения положительны. \\end{Remark} \\begin{Example} В этом примере для задачи \\eqref{30}--\\eqref{31} мы получим оценку значений вектор-функционала $\\ell$ с компонентами $$ \\ell_1 x \\equiv \\int_0^3\\,t x_1(t)\\,dt \\;\\;+\\;\\;x_2(3),\\;\\; \\ell_2 x \\equiv x_1(3) \\;\\;+\\;\\;\\int_0^3\\,x_2(t)\\,dt $$ при следующих ограничениях на правую часть $f(t)$: \\begin{equation} \\label{34} \\left. \\begin{aligned} 0.1\\,\\leq \\,f_1(t)\\, \\leq\\,0.1,\\;\\;0.1\\,\\leq f_2(t)\\,\\leq\\,0.2,\\;f_2(t)\\;\\geq \\;-2 f_1(t), \\\\ f_2(t)\\, \\geq \\,0.1\\,+\\, f_1(t),\\;f_1(t)\\,+\\, f_2(t)\\, \\leq 0.2,\\;\\;t \\in [0, 3].\\;\\;\\;\\;\\\\ \\end{aligned} \\right. \\end{equation} Многоугольник, определяемый неравенствами \\eqref{34}, показан на рис. 4. \\begin{center} \\includegraphics[width=0.25\\textwidth]{backups-12.eps} \\textbf{Рис. 4.} Ограничения-неравенства на правую часть \\end{center} Используя матрицу Коши \\eqref{33}, после элементарных преобразований получаем для $\\ell_1 x$ и $\\ell_1 x$: $$ \\ell_1 x = \\int_0^3 0.5 (9-t^2) f_1(t)\\,dt\\;+\\; \\int_0^3\\chi_{[0, 2]}(t) [ 0.5 (9-t^2) + 4 exp(t-2) - t( e + 1) + exp(t-3)] f_2(t)\\,dt, $$ $$ \\ell_2 x = \\int_0^3 f_1(t)\\,dt\\;+\\; \\int_0^3[\\chi_{[0, 2]}(t) (1 - exp(t-2)) + exp(t) - exp(t-3) ] f_2(t)]\\,dt. $$ Эти равенства определяют элементы моментной матрицы $M(t)$: $$ M_{11}(t) = 0.5 (9-t^2),\\;M_{12}(t) = \\chi_{[0, 2]}(t) [\\, 0.5 (9-t^2) + 4 exp(t-2) - (t + 1)e + exp(t-3)\\,],\\; $$ $$ M_{21}(t) = 1,\\;M_{22}(t) = \\chi_{[0, 2]}(t) (1 - exp(t-2) ) + exp(t) - exp(t-3) . $$ Многоугольник, содержащий все возможные значения компонент вектор-функ\\-цио\\-нала $\\ell=col(\\ell_1,\\ell_2),$ показан на рис. 5. \\begin{center} \\includegraphics[width=0.35\\textwidth]{backups-11.eps} \\textbf{Рис. 5.} Оценка значений вектор-функционала \\end{center} \\end{Example}

About the authors

Vladimir P. Maksimov

Perm State National Research University

Email: maksimov@econ.psu.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Information Systems and Mathematical Methods in Economics Department 15 Bukirev St., Perm 614990, Russian Federation

References

Supplementary files