К вопросу о регуляризации классических условий оптимальности в выпуклой задаче оптимального управления c фазовыми ограничениями

Полный текст

{Введение} Работа посвящена регуляризации принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП) в выпуклой задаче оптимального управления для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства. Множество допустимых управлений задачи по традиции вкладывается в пространство суммируемых с квадратом функций, однако, ее целевой функционал не является, вообще говоря, сильно выпуклым. Основное предназначение доказываемых в работе регуляризованных классических условий оптимальности (КУО) --- устойчивое по отношению к погрешностям исходных данных задачи конструирование минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж.~Варги \\cite[гл. III]{warga}. Задачи, совпадающие по форме своих постановок с изучаемой в данной работе, а также и более общие подобные нелинейные задачи рассматривались с точки зрения получения КУО во многих публикациях на протяжении более чем пяти десятков лет. В частности, весьма полную библиографию, посвященную публикациям по теории ПМП в задачах оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечными фазовыми ограничениями, можно найти в \\cite{arut,mdo2004}. Отличительной особенностью данной работы, по сравнению с указанными публикациями, является учет возможного неточного задания исходных данных оптимизационной задачи и, как следствие, учет ее возможной неустойчивости, а также и соответствующей возможной неустойчивости КУО. Примеры неустойчивости КУО в задачах оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями-равенствами могут быть найдены в \\cite{sumin_jvm_2014,suminm2018,suminm2019}. Первые результаты по регуляризация КУО в задачах условной выпуклой оптимизации в гильбертовых пространствах были получены в работах \\cite{sumin_jvm_2014, sumin_jvm_2009, sumin_jvm_2011}. В их основе лежат методы двойственной регуляризации \\cite{sumin_jvm_2007}. Задачи оптимального управления линейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечными фазовыми ограничениями, близкие, так или иначе, по постановкам задаче данной работы, рассматривались в \\cite{sumin_jvm_2009,sumin_ipu_2014,kuterin_pmp_2016}. Их отличительной особенностью является то, что фазовые ограничения во всех этих работах понимаются как ограничения в пространстве суммируемых с квадратом функций. При этом в \\cite{sumin_jvm_2009} задача с фазовыми ограничениями рассматривалась при точном задании исходных данных, а в \\cite{kuterin_pmp_2016, kuterin_pmp_2017} в ограничениях задачи отсутствовали фазовые ограничения-неравенства. Настоящая работа непосредственно опирается на результаты работ \\cite{sumin_jvm_2007,sumin_ipu_2014}. Постановка задачи в ней совпадает с постановкой задачи в \\cite{sumin_ipu_2014}, однако результаты этой работы и \\cite{sumin_ipu_2014} существенно разнятся благодаря разнице методов их получения. Как в \\cite{sumin_ipu_2014}, так и в данной работе выпуклый целевой функционал задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым. Указанная разница в методах получения результатов в \\cite{sumin_ipu_2014} и в данной работе состоит в следующем. В \\cite{sumin_ipu_2014} МПР конструируется из точек минимума функции Лагранжа задачи, соответствующих значениям двойственных переменных из некоторой последовательности, определяемой регуляризованными КУО. В отсутствие сильной выпуклости целевого функционала, при ограниченном множестве допустимых элементов, гарантируется лишь существование элемента МПР в соответствующем множестве минималей выпуклой по прямой переменной функции Лагранжа. Как следствие, генерирование МПР в силу регуляризованных КУО в такой ситуации в существенной степени теряет свою конструктивность. Для преодоления этого недостатка \\cite{sumin_ipu_2014} в данной работе, как и в аналогичном случае в \\cite{sumin_jvm_2007}, вместо одного используются два параметра регуляризации. Один из них, как и в \\cite{sumin_jvm_2009,sumin_ipu_2014,kuterin_pmp_2016}, <<отвечает>> за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Таким образом, исходная задача с фазовыми ограничениями аппроксимируется семейством задач, в каждой из которых целевой функционал задачи является сильно выпуклым, и, соответственно, сильно выпуклой по прямой переменной является и ее функция Лагранжа. Применяемый в данной работе прием, связанный с использованием двух параметров регуляризации, может быть эффективен и при получении регуляризованных КУО в итерационной форме \\cite{kuterin_jvm_2017,kuterin_pmp_2016,kuterin_pmp_2017} в рассматриваемой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями, однако вопросы итеративной двойственной регуляризации в данной работе не рассматриваются. Численные эксперименты по применению регуляризованных КУО в задачах бесконечномерной условной оптимизации, в том числе и в задачах оптимального управления, рассматривались ранее в \\cite{kuterin_tambov_2015,kutsum2016,kuterin_jvm_2017,kuterin_pmp_2017}. \\section{Постановка задачи} Рассматривается выпуклая задача оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства, понимаемыми как ограничения в гильбертовом пространстве $\\cH\\equiv L_2(X)$ \\begin{minipage}[t][0pt][t]{\\textwidth} \\color{white} \\begin{equation} {} \\tag{$P^0$}\\label{problem:Pd:0} \\end{equation} \\end{minipage} \\begin{equation}\\label{problem:Pd} f^\\delta(u)\\equiv\\int\\limits_0^T\\left(\\dotproduct{ F^\\delta(t)x^\\delta[u](t),x^\\delta[u](t)}+\\dotproduct{ G^\\delta(t)u(t),u(t)}\\right)dt\\to\\min,\\quad u\\in \\cD,\\tag{$P^\\delta$} \\end{equation} $$ g_1^\\delta(u)(t)\\equiv \\dotproduct{\\varphi_1^\\delta(t),x^\\delta[u](t)}=h^\\delta(t), \\,\\, g_2^\\delta(u)(t)\\equiv \\varphi_2^\\delta\\bigr(t,x^\\delta[u](t)\\bigr)\\leqslant 0 \\quad \\mbox{при п.~в. }t\\in X. $$ Здесь: $f^\\delta\\!:L_2(0,T)\\!\\to\\!\\bbR^1$ --- непрерывный выпуклый функционал с измеримыми по Ле\\-бе\\-гу неотрицательными ограниченными матрицами $F^\\delta\\!:[0,T]\\!\\to\\!\\bbR^{n\\times n},$ $G^\\delta:\\,[0,T]\\to \\bbR^{m\\times m},$ $\\cD \\subset L_2(0,T)$ --- допустимое множество, $\\cD\\!\\equiv\\!\\{u\\in L_2(0,T)\\!:\\,u(t)\\!\\in\\!~U \\ \\mbox{при п.~в.} \\ t\\in(0,T)\\},$ $U\\subset \\bbR^m$ --- выпуклый компакт, $X\\subset[0,T],$ $X=\\mathrm{cl}\\,\\overset{\\circ}{X},$ % $\\stackrel\\circ X,$ $\\mathring{X},$ $\\overset{\\circ}{X}$ $x^\\delta[u](t),\\,\\,t\\in[0,T]$ --- решение задачи Коши \\begin{equation}\\label{cauchy} \\dot x=A^\\delta(t)x+B^\\delta(t)u(t),\\quad x(0)=x_0^\\delta\\in \\bbR^n,\\quad t\\in[0,T], \\end{equation} с измеримыми по Лебегу ограниченными матрицами $A^\\delta:\\,[0,T]\\to \\bbR^{n\\times n},$ $B^\\delta:\\,[0,T]\\to \\bbR^{n\\times m},$ $\\varphi_1^\\delta,\\,h^\\delta\\in L_2(X)$ --- заданные функции, $\\varphi_2^\\delta:\\,X\\times \\bbR^n\\to \\bbR^1$ --- непрерывная выпуклая по $x$ при всех $t\\in X$ функция, удовлетворяющая условию $ |\\varphi_2^\\delta(t,x)-\\varphi_2^\\delta(t,y)|\\leqslant L_M|x-y|\\,\\,\\,\\forall\\,x,y\\in S_M^n\\equiv\\{z\\in \\bbR^n:\\,|z|\\leqslant M\\}, $ где постоянная $L_M$ не зависит от $t\\in X.$ Верхний индекс $\\delta$ в исходных данных задачи \\eqref{problem:Pd} означает, что эти данные соответствуют либо ситуации их точного задания $(\\delta=0),$ либо являются возмущенными $(\\delta>0),$ т.~е. задаются с ошибкой, $\\delta\\in[0,\\delta_0],$ $\\delta_0>0$ --- некоторое фиксированное число. Будем считать, что выполняются следующие оценки для отклонений возмущенных исходных данных задачи \\begin{equation}\\label{arpiori_est} \\|F^\\delta-F^0\\|_{2,(0,T)}\\leqslant C\\delta,\\,\\,\\|G^\\delta-G^0\\|_{2,(0,T)}\\leqslant C\\delta,\\,\\, \\,\\,\\|\\varphi_1^\\delta-\\varphi_1^0\\|_{2,X}\\leqslant C\\delta,\\,\\,\\,\\|h^\\delta-h^0\\|_{2,X}\\leqslant C\\delta, \\end{equation} $$ |\\varphi_2^\\delta(t,x)-\\varphi_2^0(t,x)|\\leqslant C_M\\delta\\,\\,\\forall\\,(t,x)\\in X\\times S_M^n, $$ $$ \\|A^\\delta-A^0\\|_{\\infty,(0,T)}\\leqslant C\\delta,\\,\\,\\,\\|B^\\delta-B^0\\|_{\\infty,(0,T)}\\leqslant C\\delta,\\,\\,\\,|x_0^\\delta-x_0^0|\\leqslant C\\delta, $$ где $C,\\,C_M>0$ не зависят от $\\delta.$ %, $S_M^n\\equiv\\{x\\in \\bbR^n:\\,|x| $$ \\|g_1^\\delta(u)-g_1^0(u)\\|_{2,X}\\leqslant C_2\\delta(1+\\|u\\|_{2,(0,T)})\\quad \\forall u\\in L_2(0,T), \\quad \\|h^\\delta-h^0\\|_{2,X}\\leqslant C\\delta, $$ $$ \\|g_2^\\delta(u)-g_2^0(u)\\|_{2,X}\\leqslant C_3\\delta\\quad \\forall u\\in\\cD, $$ где постоянные $C_1,\\,C_2,\\,C_3>0$ не зависят от $\\delta\\in(0,\\delta_0],$ $u\\in L_2(0,T).$ \\begin{Remark} \\label{remark0} При определенных условиях на исходные данные задачи \\eqref{problem:Pd} ее ограничения можно, естественно, трактовать и как ограничения в $L_\\infty(X)$ $(\\varphi_1,\\,h\\in L_\\infty(X))$ и $C(X)$ $(\\varphi_1,\\,h\\in C(X)).$ При этом понятия оптимальности управления в указанных частных случаях эквивалентны понятию оптимальности для случая <<тех же>> ограничений в $L_2(X).$ \\end{Remark} Целью настоящей работы является конструирование минимизирующего приближенного решения в задаче \\eqref{problem:Pd:0} в смысле Дж.~Варги при условии, что мы располагаем лишь приближенно известными с ошибкой $\\delta$ исходными данными. Напомним, что под МПР понимается такая последовательность $u^i\\in\\cD,$ $i=1,2,\\dots,$ для которой справедливы соотношения $f^0(u^i)\\leqslant\\beta+\\delta^i,$ $u^i\\in\\cD^{0\\epsilon^i}$ для некоторых последовательностей сходящихся к нулю неотрицательных чисел $\\delta^i,$ $\\epsilon^i,$ $i=1,2,\\dots.$ Здесь $\\beta$ --- обобщенная ниж\\-няя грань, определяемая соотношениями $$ \\beta\\equiv\\beta_{+0}\\equiv\\lim_{\\epsilon\\to+0}\\beta_{\\epsilon},\\quad \\beta_{\\epsilon}\\equiv \\inf_{u\\in\\cD^{0\\epsilon}}f^0(u), \\quad\\beta_\\epsilon\\equiv+\\infty, \\mbox{ если }\\cD^{0\\epsilon}=\\varnothing, $$ $$ \\cD^{\\delta\\epsilon} \\equiv \\{u\\in\\cD:\\,\\|g_1^\\delta(u)-h^\\delta\\|_{2,X}\\leqslant\\epsilon,\\, \\min_{z\\in \\cH_-}\\|g_2^\\delta(u)-z\\|_{2,X}\\leqslant \\epsilon\\},\\,\\, \\epsilon\\geqslant 0, $$ $$ \\cH_-\\equiv\\{z\\in L_2(X):\\,z(t)\\leqslant 0 \\mbox{ при п.в. }t\\in X\\},\\quad \\cD^{00}\\equiv\\cD^{0}. $$ Очевидно, в общей ситуации $\\beta\\leqslant\\beta_0,$ где $\\beta_0$ --- классическое значение задачи. Но в случае поставленной выше задачи \\eqref{problem:Pd:0} имеет место равенство $\\beta=\\beta_0.$ Пусть решение задачи \\eqref{problem:Pd:0} (единственное, в случае строгой (сильной) выпуклости~$f^0$) существует. Будем обозначать множество всех таких решений $U^0\\equiv\\{u^\\ast\\in\\cD^0:\\,f^0(u^\\ast)=\\min\\limits_{u\\in\\cD^0}f^0(u)\\},$ а решение с минимальной нормой --- через $u^0.$ Очевидно, задача \\eqref{problem:Pd:0} заведомо разрешима, если $\\cD^0\\neq\\varnothing.$ Введем регулярный функционал Лагранжа $L^\\delta(u,\\lambda,\\mu) \\equiv f^\\delta(u) + \\dotproduct{\\lambda,g_1^\\delta(u)-h^\\delta} + \\dotproduct{\\mu,g_2^\\delta(u)},$ вогнутый двойственный функционал $V^\\delta(\\lambda,\\mu)\\!\\equiv\\!\\inf\\limits_{u\\in\\cD}L^\\delta(u,\\lambda,\\mu),$\\! $(\\lambda, \\mu) \\in \\cH\\times\\cH$ и соответствующую двойственную задачу $V^\\delta(\\lambda,\\mu)\\to\\sup,$ $(\\lambda,\\mu)\\in \\cHcHp.$ В силу ограниченности множества $\\cD$ двойственный функционал $V^\\delta,$ очевидно, определен и конечен для любого элемента $(\\lambda,\\mu)\\in \\cH\\times \\cH.$ При этом, также очевидно, значение $V^\\delta(\\lambda,\\mu)$ достигается на элементах $u^\\delta[\\lambda,\\mu]$ из множества $U^\\delta[\\lambda,\\mu]\\equiv \\mbox{Argmin}\\,\\{L^\\delta(u,\\lambda,\\mu),\\,u\\in\\cD\\}$ при $(\\lambda,\\mu)\\!\\in\\! \\cHcHp,$ где $\\cH_+\\!\\equiv\\!\\left\\{z\\!\\in\\! L_2(X):\\,z(t)\\geqslant 0\\right.$ \\linebreak $\\left.\\mbox{при п.~в.} \\ t\\in X\\right\\}.$ \\section{Аппроксимация выпуклой задачи задачами с сильно выпуклыми функционалами цели} С целью построения МПР в исходной выпуклой задаче \\eqref{problem:Pd:0}, действуя, как в работе \\cite{sumin_jvm_2007} в случае линейно-выпуклой задачи с конечным числом функциональных ограничений типа неравенства, введем семейство регуляризованных задач \\begin{minipage}[t][0pt][t]{1cm} \\color{white} \\begin{equation} {} \\tag{$P^0_\\convpar$}\\label{problem:Pdsc:0} \\end{equation} \\end{minipage} \\begin{minipage}[t][0pt][t]{1cm} \\color{white} \\begin{equation} {} \\tag{$P^0_{\\convpar^s}$}\\label{problem:Pdsc:s:0} \\end{equation} \\end{minipage} \\begin{minipage}[t][0pt][t]{1cm} \\color{white} \\begin{equation} {} \\tag{$P^0_0$}\\label{problem:Pd0:0} \\end{equation} \\end{minipage} \\begin{equation} \\label{problem:Pdsc} f_\\convpar^\\delta(u)\\equiv f^\\delta(u) + \\convpar\\|u\\|^2\\to\\min,\\quad u\\in \\cD, \\tag{$P^\\delta_\\convpar$} \\end{equation} $$ g_1^\\delta(u)(t)\\equiv \\dotproduct{ \\varphi_1^\\delta(t),x^\\delta[u](t)}=h^\\delta(t),\\,\\, g_2^\\delta(u)(t)\\equiv \\varphi_2^\\delta\\bigr(t,x^\\delta[u](t)\\bigr)\\leqslant 0\\quad \\mbox{при п.в. }t\\in X. $$ При каждом $\\convpar> 0$ задача \\eqref{problem:Pdsc} является задачей с сильно выпуклым функционалом $f^\\delta_\\convpar$ с постоянной сильной выпуклости $\\convpar/2,$ так как сумма выпуклого и сильно выпуклого функционала является сильно выпуклым функционалом. Отметим также, что функционал $f^\\delta_\\convpar$ является субдифференцируемым, так как он выпуклый и дифференцируемый (как квадратичный). Обозначим через $u_\\convpar^0$ ($u^0\\equiv u_0^0$ --- нормальное решение исходной выпуклой задачи \\eqref{problem:Pd:0}$=$\\eqref{problem:Pd0:0}) единственное решение задачи \\eqref{problem:Pdsc:0}. Тогда по теореме о сходимости метода стабилизации Тихонова (см. \\cite[Глава 9, \\S4, Теорема 1]{vasilev_2011}) имеет место сходимость \\begin{equation}\\label{conv_ug0_to_u0} \\|u_\\convpar^0-u^0\\|\\to 0, \\quad \\convpar\\to 0. \\end{equation} Определим регулярный функционала Лагранжа задачи \\eqref{problem:Pdsc} $ L_\\convpar^{\\delta}(u,\\lambda,\\mu)\\equiv f^\\delta(u)+\\convpar\\|u\\|^2+\\dotproduct{\\lambda,g_1^\\delta(u)-h^\\delta}+\\dotproduct{\\mu,g_2^\\delta(u)}, $ и соответствующую двойственную задачу \\begin{equation*}%\\label{dual_problem_sc} V_\\convpar^{\\delta}(\\lambda,\\mu)\\to\\sup, \\,\\, (\\lambda,\\mu)\\in \\cHcHp, \\quad V_\\convpar^{\\delta}(\\lambda,\\mu)\\equiv \\inf\\limits_{u\\in\\cD}L_\\convpar^{\\delta}(u,\\lambda,\\mu), \\,\\, (\\lambda, \\mu) \\in \\cH \\times \\cH. \\end{equation*} Вследствие сильной выпуклости по $u,$ минимум функционала Лагранжа $L^\\delta_\\convpar(\\cdot, \\lambda, \\mu)$ достигается в единственной точке $u^\\delta_\\convpar[\\lambda,\\mu]=\\argmin\\limits_{u \\in \\cD}L^\\delta_\\convpar(u, \\lambda, \\mu)$ при $(\\lambda, \\mu) \\in \\cH\\times\\cH_+.$ Ниже нам понадобится оценка отклонения значения двойственного функционала возмущенной регуляризованной задачи от двойственного функционала невозмущенной задачи. \\begin{Lemma} В случае ограниченного множества $\\cD$ справедлива оценка \\begin{equation}\\label{estimate:convpar} |V_\\convpar^{\\delta}(\\lambda,\\mu)-V^0(\\lambda,\\mu)|\\leqslant K(\\delta(1+\\|(\\lambda,\\mu)\\|)+\\convpar), \\end{equation} в которой постоянная $K>0$ зависит от $\\max\\limits_{u\\in\\cD}\\|u\\|,$ а также констант $C,$ $C_1,$ $C_2,$ $C_3$ соотношений \\eqref{problem_est} и не зависит от $\\delta,\\,\\convpar,\\,(\\lambda,\\mu)\\in \\cHcHp.$ \\end{Lemma} \\proof Предположим без ограничения общности рассуждений, что $V_\\convpar^\\delta(\\lambda, \\mu) \\geqslant V^0(\\lambda, \\mu).$ В этом случае, используя оценки \\eqref{problem_est}, можем записать: $$ V_\\convpar^\\delta(\\lambda,\\mu)-V^0(\\lambda,\\mu) = V_\\convpar^\\delta(\\lambda,\\mu) - \\inf\\limits_{u \\in \\cD}(L^0(u, \\lambda,\\mu) - L_\\convpar^\\delta(u, \\lambda,\\mu) + L_\\convpar^\\delta(u, \\lambda,\\mu)) \\leqslant $$ $$ \\leqslant - \\inf\\limits_{u \\in \\cD}(L^0(u, \\lambda,\\mu) - L_\\convpar^\\delta(u, \\lambda,\\mu)) \\leqslant \\sup\\limits_{u \\in \\cD} |L_\\convpar^\\delta(u, \\lambda,\\mu) - L^0(u, \\lambda,\\mu)| \\leqslant K(\\delta(1+\\|(\\lambda,\\mu)\\|)+\\convpar) $$ Обозначим через $(\\lambda_\\convpar^{\\delta,\\alpha},\\mu_\\convpar^{\\delta,\\alpha})$ единственное в $\\cHcHp$ решение задачи максимизации \\begin{equation*}%\\label{R_to_max} R_\\convpar^{\\delta,\\alpha}(\\lambda,\\mu)\\equiv V_\\convpar^{\\delta}(\\lambda,\\mu)-\\alpha\\|(\\lambda, \\mu)\\|^2 \\to \\max, \\quad (\\lambda,\\mu)\\in\\cHcHp. \\end{equation*} Пусть выполняется условие согласования $\\delta/{\\alpha(\\delta)}\\to 0,\\,\\,\\,\\alpha(\\delta)\\to 0,\\quad\\delta\\to 0.$ Применим здесь теорему 1 из \\cite{sumin_ipu_2014}, представляющую собой теорему сходимости метода двойственной регуляризации для задачи \\eqref{problem:Pd:0} с выпуклым целевым функционалом. Так как целевой функционал задачи \\eqref{problem:Pdsc} является сильно выпуклым при $\\convpar>0,$ то множество решений каждой такой задачи при $\\convpar>0$ состоит из единственного элемента $\\tilde u_{\\delta\\convpar} \\equiv u_\\convpar^\\delta[\\lambda_\\convpar^{\\delta,\\alpha(\\delta)},\\mu_\\convpar^{\\delta,\\alpha(\\delta)}].$ Поэтому теорема 1 из \\cite{sumin_ipu_2014} приобретает при каждом $\\convpar>0$ следующий вид. \\begin{Theorem}\\label{teor3-nov} Вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к \\eqref{problem:Pdsc:0} задача, при каждом $\\convpar>0$ имеют место соотношения \\begin{equation*}%\\label{25.05.2012_1} \\alpha(\\delta)\\|(\\lambda_\\convpar^{\\delta,\\alpha(\\delta)},\\mu_\\convpar^{\\delta,\\alpha(\\delta)})\\|\\to 0,\\quad f^0(\\tilde u_{\\delta\\convpar})\\to \\min_{u\\in\\cD^0}f_\\convpar^0(u)=f_\\convpar^0(u_\\convpar^0),\\quad \\delta\\to 0, \\end{equation*} $$ g_1^0(\\tilde u_{\\delta\\convpar})-h^0\\to 0,\\quad g^0_2(\\tilde u_{\\delta\\convpar})\\leqslant \\phi(\\delta, \\convpar),\\,\\,\\phi(\\delta, \\convpar)\\geqslant 0,\\quad \\|\\phi(\\delta, \\convpar)\\|\\to 0,\\quad \\delta\\to 0, $$ $$ \\dotproduct{(\\lambda_\\convpar^{\\delta,\\alpha(\\delta)},\\mu_\\convpar^{\\delta,\\alpha(\\delta)}), (g_1^\\delta(\\tilde u_{\\delta\\convpar})-h^\\delta, g_2^\\delta(\\tilde u_{\\delta\\convpar}))}\\to 0,\\,\\,\\delta\\to 0. $$ При этом, так как функционал $f_\\convpar^0$ является субдифференцируемым в смысле выпуклого анализа, справедливо и предельное соотношение $ \\tilde u_{\\delta\\convpar} \\to u_\\convpar^0,$ $\\delta\\to 0.$ \\end{Theorem} Следствием этой теоремы и предельного соотношения \\eqref{conv_ug0_to_u0} является \\begin{Theorem}\\label{nov} Вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к \\eqref{problem:Pd:0} задача, существует такая зависимость $\\delta(\\convpar),$ $\\delta(\\convpar)\\to 0,$ $\\convpar\\to 0,$ что имеют место соотношения $$ \\alpha(\\delta(\\convpar))\\| (\\hat \\lambda_\\convpar, \\hat \\mu_\\convpar) \\|\\to 0, \\quad f^0(\\hat u_\\convpar)\\to \\min_{u\\in\\cD^0}f^0(u)=f^0(u^0),\\quad \\convpar\\to 0, $$ $$ g_1^0(\\hat u_\\convpar)-h^0\\to 0, \\quad g^0_2(\\hat u_\\convpar)\\leqslant \\phi(\\delta(\\convpar), \\convpar), \\quad \\phi(\\delta(\\convpar), \\convpar)\\geqslant 0, \\quad \\|\\phi(\\delta(\\convpar), \\convpar)\\|\\to 0, \\quad \\convpar\\to 0, $$ $$ \\dotproductb{(\\hat \\lambda_\\convpar, \\hat \\mu_\\convpar), (g_1^{\\delta(\\convpar)}(\\hat u_\\convpar)-h^{\\delta(\\convpar)}, g_2^{\\delta(\\convpar)}(\\hat u_\\convpar))}\\to 0, \\,\\, \\convpar\\to 0, $$ где $(\\hat \\lambda_\\convpar, \\hat \\mu_\\convpar) \\equiv (\\lambda_\\convpar^{\\delta(\\convpar),\\alpha(\\delta(\\convpar))},\\mu_\\convpar^{\\delta(\\convpar),\\alpha(\\delta(\\convpar))}),$ $\\hat u_\\convpar \\equiv u_\\convpar^{\\delta(\\convpar)}[\\lambda_\\convpar^{\\delta(\\convpar),\\alpha(\\delta(\\convpar))},\\mu_\\convpar^{\\delta(\\convpar),\\alpha(\\delta(\\convpar))}].$ Одновременно справедливо и предельное соотношение $ \\hat u_\\convpar\\to u^0,\\quad \\convpar\\to 0. $ \\end{Theorem} \\section{Регуляризованные принцип Лагранжа\\\\ и принцип максимума Понтрягина} В настоящем разделе сформулируем и докажем необходимые и достаточные условия существования МПР в задаче \\eqref{problem:Pd:0}. Эти условия можно трактовать, соответственно, как регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями, целевой функционал которой является выпуклым, но, вообще говоря, не сильно выпуклым. \\textbf{Регуляризованный принцип Лагранжа.} Справедлива следующая теорема --- регуляризованный принцип Лагранжа в задаче \\eqref{problem:Pd:0}. \\begin{Theorem}\\label{teor4_nov} Пусть $\\convpar^k>0,$ $\\convpar^k\\to 0,$ $k\\to\\infty$ --- произвольная фиксированная последовательность. Для существования МПР в задаче \\eqref{problem:Pd:0} , в независимости от фактов существования или несуществования решения двойственной к \\eqref{problem:Pd:0} задачи, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательность $\\delta^k>0,$ $\\delta^k\\to 0,$ $k\\to\\infty$ и последовательность двойственных переменных $(\\lambda^k,\\mu^k)\\in \\cHcHp,$ $k=1,2,\\dots,$ такие, что $\\delta^k\\|(\\lambda^k,\\mu^k)\\|\\to 0,$ $k\\to\\infty,$ и выполнялись предельные соотношения \\begin{equation}\\label{th_lp_1} u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]\\in\\cD^{\\delta^k\\epsilon^k} ,\\,\\,\\epsilon^k\\to 0,\\,\\,k\\to\\infty, \\end{equation} \\begin{equation}\\label{th_lp_2} \\dotproductb{(\\lambda^k,\\mu^k),(g_1^{\\delta^k}(u^{\\delta^k}_{\\convpar^k}[\\lambda^k,\\mu^k])-h^{\\delta^k},g_2^{\\delta^k}(u^{\\delta^k}_{\\convpar^k}[\\lambda^k,\\mu^k]))}\\to 0, \\,\\, k\\to\\infty. \\end{equation} При этом последовательность $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k],$ $k=1,2,\\dots,$ является искомым МПР и каждая его слабая предельная точка есть решение задачи \\eqref{problem:Pd:0}. В качестве последовательностей $\\delta^k,$ $(\\lambda^k,\\mu^k),$ $k=1,2,\\dots,$ могут быть взяты последовательности $\\delta(\\convpar^k),$ $(\\lambda_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))},\\mu_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))}),\\,k=1,2,\\dots,$ генерируемые методом двойственной регуляризации теоремы \\ref{nov} при $\\convpar=\\convpar^k.$ Для них справедливо предельное соотношение \\begin{equation}\\label{th_lp_3} u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))},\\mu_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))}]\\to u^0,\\,\\,k\\to\\infty. \\end{equation} Одновременно с предельными соотношениями \\eqref{th_lp_1}, \\eqref{th_lp_2} выполняется и предельное соотношение \\begin{equation}\\label{th_lp_4} V^0(\\lambda^k,\\mu^k)\\to\\sup_{(\\lambda,\\mu)\\in \\cHcHp}V^0(\\lambda,\\mu), \\quad k \\to \\infty. \\end{equation} \\end{Theorem} \\begin{Remark} В силу ограниченности множества $\\cD$ условие \\eqref{th_lp_1} можно заменить условием $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]\\in\\cD^{0\\tilde\\epsilon^k},$ где $\\tilde\\epsilon^k\\to 0,$ $k\\to\\infty.$ \\end{Remark} \\proof Для доказательства необходимости условий теоремы, \\linebreak прежде всего, заметим, что задача \\eqref{problem:Pd:0} разрешима, т.~е. $U^0\\neq\\varnothing,$ благодаря условиям на исходные данные и существованию МПР. Теперь включение \\eqref{th_lp_1} и предельное соотношение \\eqref{th_lp_2}, а также предельное соотношение $\\delta^k\\|(\\lambda^k,\\mu^k)\\|\\to 0,$ $k\\to\\infty,$ теоремы вытекают из соотношений теоремы \\ref{nov} с учетом ограниченности $\\cD,$ если в качестве последовательности $\\delta^k,$ $k=1,2,\\dots,$ и точек $(\\lambda^k,\\mu^k),$ $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]$ взять последовательность $\\delta(\\convpar^k),$ $k=1,2,\\dots,$ и точки $(\\lambda_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))},\\mu_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))}) \\equiv (\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k),$ $u_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k)}[\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k] \\equiv \\tilde u_k,$ $k=1,2,\\dots,$ соответственно, с $\\convpar^k\\to 0,$ $k\\to\\infty.$ Покажем, что, одновременно с соотношениями \\eqref{th_lp_1}, \\eqref{th_lp_2}, выполняется и сходимость \\eqref{th_lp_4}. Можем записать $$ V_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k)= f^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde u_k)+ \\convpar^k\\|\\tilde u_k\\|^2+ \\dotproductb{(\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k), (g_1^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde u_k) - h^{\\delta(\\convpar^k)}, g_2^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde u_k))}. $$ Тогда в силу \\eqref{th_lp_2} получаем, что $ V_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k)- f^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde u_k)\\!\\to\\! 0,$ $k\\to\\infty,$ откуда в силу ограниченности допустимого множества $\\cD$ и предельного соотношения (см. теоре\\-му~\\ref{nov}) $f^0(\\tilde u_k)\\!\\to\\! f^0(u^0),$ $k\\to\\infty,$ следует, что $f^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde u_k)\\!\\to\\! f^0(u^0),$ $k\\to\\infty.$ Таким об\\-ра\\-зом, справедливо предельное соотношение $ V_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k)}(\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k)\\to f^0(u^0),$ $k\\to\\infty. $ Но тогда, пользуясь оценкой \\eqref{estimate:convpar} и условием согласования $\\delta^k\\|(\\lambda^k,\\mu^k)\\|=\\delta(\\convpar^k)\\|(\\tilde \\lambda_k, \\tilde \\mu_k)\\|\\to 0,$ $k\\to~\\infty,$ получаем окончательно равенство \\eqref{th_lp_4}. Для доказательства достаточности заметим, прежде всего, что множество $U^0$ не пусто ввиду включения $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]\\in\\cD^{\\delta^k\\epsilon^k},$ ограниченности $\\cD$ и условий на исходные данные задачи \\eqref{problem:Pd:0}. Далее, так как $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]$ минимизирует функционал $L_{\\convpar^k}^{\\delta^k}(\\cdot,\\lambda^k,\\mu^k),$ можем записать $$ f^{\\delta^k}(u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k])+\\convpar^k\\|u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]\\|^2+\\dotproductb{(\\lambda^k,\\mu^k), (g_1^{\\delta^k}(u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]),g_2^{\\delta^k}(u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]))} $$ $$ \\leqslant f^{\\delta^k}(u)+\\convpar^k\\|u\\|^2+\\dotproductb{(\\lambda^k,\\mu^k),(g_1^{\\delta^k}(u),g_2^{\\delta^k}(u))}\\,\\, \\forall\\,u\\in\\cD. $$ В силу условий теоремы отсюда следует, с учетом ограниченности $\\cD,$ что $$ f^{\\delta^k}(u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]) \\leqslant f^{\\delta^k}(u)+ \\dotproductb{(\\lambda^k,\\mu^k),(g_1^{\\delta^k}(u),g_2^{\\delta^k}(u))}+\\psi^k\\,\\, \\forall\\,u\\in \\cD,\\,\\,\\,\\psi^k\\to0,\\,\\,k\\to\\infty. $$ Положим здесь $u=u^0\\in U^0$ и используем условие согласования $\\delta^k\\|(\\lambda^k,\\mu^k)\\|\\to 0,$ $k\\to\\infty.$ Тогда получаем $f^0(u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k])\\leqslant f^0(u^0)+\\widetilde\\psi^k,$ $\\widetilde\\psi^k\\to0,$ $k\\to\\infty.$ Так как одновременно мы имеем включение $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k]\\in\\cD^{\\delta^k\\epsilon^k},$ то, используя классические свойства слабой компактности ограниченного выпуклого замкнутого множества и слабой полунепрерывности снизу непрерывного выпуклого функционала в гильбертовом пространстве, получаем, что $f^0(u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k])\\to f^0(u^0),$ $k\\to\\infty,$ то есть последовательность $u_{\\convpar^k}^{\\delta^k}[\\lambda^k,\\mu^k],$ $k=1,2,\\dots,$ является МПР в задаче \\eqref{problem:Pd:0}. Последнее предельное соотношение в совокупности с \\eqref{th_lp_2} приводят, в свою очередь, к предельному соотношению $V_{\\convpar^k}^{\\delta^k}(\\lambda^k,\\mu^k)\\to f^0(u^0),$ $k\\to\\infty.$ Далее, так как благодаря оценке \\eqref{estimate:convpar} %\\textbf{(ее надо подправить 17.02.2020)} и предельному соотношению $\\delta^k\\|(\\lambda^k,\\mu^k)\\|\\to 0,$ $k\\to\\infty,$ можно утверждать, что справедливо предельное соотношение $V_{\\convpar^k}^{\\delta^k}(\\lambda^k,\\mu^k)-V^0(\\lambda^k,\\mu^k)\\to 0,$ $k\\to\\infty,$ то получаем, окончательно, предельное соотношение \\eqref{th_lp_4}. \\textbf{Регуляризованный принцип максимума Понтрягина.} При каждых $\\delta>0,$ $\\convpar>0,$ $(\\lambda, \\mu) \\in \\cH \\times \\cH_+$ рассмотрим задачу минимизации \\begin{equation}\\label{Ldg_to_inf} L^\\delta_\\convpar(u, \\lambda, \\mu) \\to \\inf, \\quad u \\in \\cD,\\quad (\\lambda, \\mu) \\in \\cH \\times \\cH_+. \\end{equation} Для ее решения может быть использован классический принцип максимума Понтрягина в простейшей (только с геометрическими ограничениями) задаче оптимального управления \\cite[\\S~4.2]{altifom}. При этом предположим в дополнение к условиям на исходные данные задачи \\eqref{problem:Pd}, что существует непрерывный на $X\\times \\bbR^n$ градиент $\\nabla_x\\varphi_2^\\delta$ функции $\\varphi_2^\\delta.$ Введем стандартное обозначение $H_{\\convpar}^{\\delta}\\bigr(t,x,u,\\psi,\\lambda(t),\\mu(t)\\bigr)\\equiv \\dotproduct{\\psi,A^\\delta(t)x+B^\\delta(t)u}$ $-$ $\\bigr(\\dotproduct{ F^\\delta(t)x,x}+\\dotproduct{ G^\\delta(t)u,u}+\\convpar\\dotproduct{ u,u}\\bigr)-\\lambda(t)\\bigr(\\dotproduct{ \\varphi_1^\\delta(t),x}-h^\\delta(t)\\bigr)-\\mu(t)\\varphi_2^\\delta(t,x)$ при $\\lambda,\\,\\mu\\in L_2(X).$ Здесь и ниже в случае, если функции $\\lambda,\\mu\\in L_2(X)$ рассматриваются на всем временном интервале $[0,T],$ то полагается, что $\\lambda(t)=\\mu(t)=0$ при $t\\in[0,T]\\setminus X$ и одновременно для этих функций, рассматриваемых на более широком интервале, сохраняется прежнее обозначение. Формально полагаем также, что $\\varphi_2^\\delta(t,x)=0,$ $\\nabla_x\\varphi_2^\\delta(t,x)=0$ при $t\\in[0,T]\\setminus X.$ Справедлива \\cite[\\S~4.2]{altifom} \\begin{Lemma}\\label{pr_max} Как элемент, минимизирующий при дополнительном предположении существования непрерывного градиента $\\nabla_x\\varphi_2^\\delta$ выпуклый регулярный функционал Лагранжа $L_{\\convpar}^{\\delta}(\\cdot,\\lambda,\\mu)$ на множестве $\\cD,$ управление $u_\\convpar^{\\delta}[\\lambda,\\mu]$ при $(\\lambda,\\mu)\\in \\cHcHp$ удовлетворяет принципу максимума Понтрягина в задаче \\eqref{Ldg_to_inf}, т.е. удовлетворяет при $u=u_\\convpar^{\\delta}[\\lambda,\\mu]$ соотношению максимума при п.в. $t\\in[0,T]$ \\begin{equation}\\label{pmp_max} H_{\\convpar}^{\\delta}\\bigr(t,x^\\delta[u](t),u(t),\\psi(t),\\lambda(t),\\mu(t)\\bigr) = \\max_{v\\in U}H_{\\convpar}^{\\delta}\\bigr(t,x^\\delta[u](t),v,\\psi(t),\\lambda(t),\\mu(t)\\bigr), \\end{equation} где $\\psi(t),$ $t\\in[0,T]$ --- решение сопряженной задачи \\begin{equation}\\label{pmp_adj} \\dot\\psi=-\\nabla_x H_{\\convpar}^{\\delta}\\bigr(t,x^\\delta[u](t),u(t),\\psi,\\nu,\\lambda(t),\\mu(t)\\bigr),\\quad \\psi(T)=0 \\end{equation} при $u=u_\\convpar^{\\delta}[\\lambda,\\mu].$ И, обратно, очевидно, в силу выпуклости задачи \\eqref{problem:Pd:0} любой элемент $u\\in\\cD,$ удовлетворяющий вместе с некоторыми $(\\lambda,\\mu)\\in \\cHcHp$ соотношениям \\eqref{pmp_max}, \\eqref{pmp_adj}, совпадает с элементом $u_\\convpar^{\\delta}[\\lambda,\\mu].$ \\end{Lemma} Обозначим через $U_{\\convpar,m}^{\\delta}[\\lambda,\\mu]$ множество всех управлений из ${\\cD},$ удовлетворяющих ПМП в задаче (\\ref{Ldg_to_inf}) при сформулированном выше дополнительном условии существования непрерывного градиента $\\nabla_x\\varphi_2^\\delta.$ Очевидно, в нашем случае, благодаря сильной выпуклости $L_{\\convpar}^{\\delta}(\\cdot,\\lambda,\\mu),$ это множество состоит из одного элемента $U_{\\convpar,m}^{\\delta}[\\lambda,\\mu]\\equiv u_{\\convpar,m}^{\\delta}[\\lambda,\\mu],$ и справедливо равенство $u_{\\convpar,m}^{\\delta}[\\lambda,\\mu]=u_\\convpar^{\\delta}[\\lambda,\\mu].$ С учетом леммы \\ref{pr_max} утверждение теоремы \\ref{teor4_nov} может быть переписано в форме регуляризованного ПМП. \\begin{Theorem}\\label{teor6} Пусть $\\convpar^k>0,$ $\\convpar^k\\to 0,$ $k\\to\\infty$ --- произвольная фиксированная последовательность. Для существования МПР в задаче \\eqref{problem:Pd:0}, в независимости от фактов существования или несуществования решения двойственной к \\eqref{problem:Pd:0} задачи, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательность $\\delta^k>0,$ $\\delta^k\\to 0,$ $k\\to\\infty$ и последовательность двойственных переменных $(\\lambda^k,\\mu^k)\\in \\cHcHp,$ $k=1,2,\\dots,$ такие, что $\\delta^k\\|(\\lambda^k,\\mu^k)\\|\\to 0,$ $k\\to\\infty,$ и выполнялись предельные соотношения \\eqref{th_lp_1}, \\eqref{th_lp_2} с заменой $u^{\\delta^k}_{\\convpar^k}[\\lambda^k,\\mu^k]$ на $u^{\\delta^k}_{\\convpar^k,m}[\\lambda^k,\\mu^k]$ (т.~е. с заменой на элементы, удовлетворяющие принципу максимума Понтрягина \\eqref{pmp_max} при $\\delta=\\delta^k,$ $\\convpar=\\convpar^k,$ $(\\lambda,\\mu)=(\\lambda^k,\\mu^k)$). При этом последовательность $u^{\\delta^k}_{\\convpar^k,m}[\\lambda^k,\\mu^k],$ $k=1,2,\\dots,$ является искомым МПР, и каждая его слабая предельная точка есть решение задачи \\eqref{problem:Pd:0}. В~качестве последовательностей $\\delta^k,$ $(\\lambda^k,\\mu^k),$ $k=1,2,\\dots,$ могут быть взяты последовательности $\\delta(\\convpar^k),$ $(\\lambda_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))},\\mu_{\\convpar^k}^{\\delta(\\convpar^k),\\alpha(\\delta(\\convpar^k))}),$ $k=1,2,\\dots,$ генерируемые методом двойственной регуляризации теоремы \\ref{nov}. Для них справедливы предельные соотношения \\eqref{th_lp_3}, \\eqref{th_lp_4}. \\end{Theorem}

Об авторах

Фёдор Алексеевич Кутерин

ФГБНУ «Федеральный исследовательский центр Институт прикладной физики Российской академии наук»

Email: kuterin.f@yandex.ru
научный сотрудник отдела геофизической электродинамики 603950, Российская Федерация, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46, БОКС-120

Список литературы

Дополнительные файлы