Приближенное решение задачи оптимального резервирования сложной технологической системы измельчения руды

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Актуальность исследования обусловлена необходимостью повышения надежности и эффективности функционирования технологической системы измельчения руды путем поэлементного оптимального нагруженного резервирования ее элементов.

Цель: обоснование необходимости повышения эффективности функционирования технологической системы измельчения руды путем оптимального резервирования и приближенное решение следующих задач: 1) максимизировать эффективность функционирования сложной системы измельчения руды путем поэлементного нагруженного резервирования пpи ограничении, наложенном на технико-экономический показатель системы; 2) минимизировать технико-экономический показатель системы измельчения руды пpи заданном значении показателя эффективности ее функционирования.

Объект: технологическая система измельчения руды, рассмотренная как система со многими работоспособными состояниями (multi-state system), элементы которой обладают лишь двумя возможными состояниями. Рассматриваемая система зарезервирована способом поэлементного нагруженного резервирования.

Методы: метод оценки эффективности функционирования систем со многими состояниями, метод неопределенных множителей Лагранжа.

Результат. Получено приближенное значение показателя эффективности функционирования технологической системы измельчения руды со многими работоспособными состояниями, элементы которой обладают лишь двумя возможными состояниями. Рассмотрены задачи оптимального резервирования сложной технологической системы измельчения руды. Получены приближенные решения указанных задач методом неопределенных множителей Лагранжа, которые могут быть использованы при ориентировочных расчетах на этапе проектирования сложных технологических систем измельчения руды. Рассмотрена также задача оптимального резервирования, когда из m элементов сложной системы измельчения руды можно зарезервировать только n элементов. Учитывая определенные допущения для эффективности функционирования системы, зарезервированной способом поэлементного нагруженного резервирования, получено приближенное решение этой задачи.

Полный текст

Введение

Благодаря структурной и функциональной избыточности сложные технологические системы обладают многими работоспособными состояниями. В отличие от бинарных систем, обладающих лишь двумя возможными состояниями (работоспособным и неработоспособным), для таких систем (multi-state systems) [1–4] практически невозможно определить общепринятое понятие отказа. Поэтому для систем со многими состояниями вместо надежности вводится понятие технической эффективности, оценка которой производится с помощью специально выбранных показателей эффективности, учитывающих последствие влияния отказов элементов системы на качество ее функционирования.

Методологической основой существующих методов оценки и исследования эффективности функционирования сложных систем со многими состояниями служит концепция системного подхода. Эта концепция в данном случае проявляется в том, что показатель эффективности рассматривается как функционал от процесса функционирования системы.

В рамках указанного подхода оценка эффективности функционирования сложных систем основывается на использовании модели процесса изменения работоспособности элементов системы. Ее сущность заключается в следующем. Формально каждый элемент Ei0(i=1,n¯) системы в любой момент времени может находиться в одном из возможных состояний yi0Yi0, каждое из которых характеризуется определенным уровнем работоспособности. Совокупность состояний элементов y0(t)=(y10(t),y20(t),…,yn0(t)) в произвольный момент времени однозначно определяет состояние системы.

С течением времени под влиянием внешних и внутренних случайных факторов элементы системы переходят из одного состояния в другое. В результате происходит последовательная смена состояний системы в целом.

Случайный n-мерный процесс Y0(t)={y0(t)} рассматривается как формализованный процесс изменения работоспособности элементов системы и описывает ее поведение во времени. Каждой реализации y0(t) процесса Y0(t) соответствует определенная траектория в пространстве состояний системы Y0=i=1nYi0. Если обозначить через P y0(t,t+θ) вероятность того, что формализованный процесс Y0(t) в интервале времени [t,t+θ] имел реализацию y0(t,t+θ)∈Y0(t,t+θ), а через εy0(t,θ) – условный показатель эффективности функционирования системы для этой реализации, то показатель эффективности функционирования системы может быть определен как математическое ожидание условного показателя εy0(t,θ):

Et,θ=Y0(t,t+θ)εy0t,θdPy0t,t+θ  . (1)

Несмотря на кажущуюся простоту записи, соотношение (1) малопригодно для расчетов из-за чрезмерной трудности определения ε0(t,θ), Py(t,t+θ) и может быть использовано лишь для оценки эффективности функционирования систем с небольшим числом состояний. Сравнительно хорошо разработаны аналитические методы оценки эффективности некоторых частных типов сложных систем [1, 2]. Особенности этих систем позволили получить достаточно компактные расчетные формулы для оценки эффективности их функционирования.

Постановка задачи

Измельчение руды является важнейшим технологическим процессом рудоподготовки, непосредственно предшествующим конечному процессу флотации руды и в значительной мере предопределяющим его эффективность [5–8]. Как показывает опыт эксплуатации обогатительных фабрик, эффективность флотации заметно снижается в результате ухудшения выходных характеристик технологической системы измельчения руды (ТСИР) вследствие отказов ее оборудования [9–11]. В связи с этим вопросы обеспечения надежности и эффективности функционирования ТСИР приобретают особую важность. Одним из возможных способов повышения эффективности функционирования ТСИР является резервирование. При проектировании сложных технологических систем измельчения с использованием резервирования возникают задачи оптимального резервирования [12–21]. Сущность этих задач заключается в определении чисел xi, i=1,n¯ элементов i-го типa, максимизирующих значение показателя эффективности функционирования технологической системы измельчения руды пpи ограничении, наложенном на технико-экономический показатель (стоимость, вес, объем и т. д.) системы, или минимизирующих технико­экономический показатель системы пpи заданном значении показателя эффективности функционирования системы.

Рассмотрим некоторую сложную технологическую систему измельчения руды, состоящую из n нерезервированных элементов. Допустим, что каждый элемент может находиться только в двух возможных состояниях: в состоянии работоспособности и в состоянии отказа. Эта система имеет конечное число несовместимых состояний:

  • S0 – состояние системы, когда все элементы работоспособны;
  • Si – состояние системы, когда отказал только i-й элемент (i=1,n¯);
  • Si,j – состояние системы, когда отказали только i-й и j-й элементы (i<j;  i,j=1,n¯);
  • Si,j,…,m – состояние системы, когда отказала совокупность только i,j,…,m элементов
    (i<j<...<m;  i,j,...,m=1,n¯);
  • S1,2,…,n – состояние системы, когда отказали все элементы системы.

Пусть вероятность состояний S0, Si, Si,j, Si,j,…,m, S1,2,…,n и показатели эффективности функционирования системы для этих состояний соответственно равны P0, Pi, Pi,j, Pi,j,…,m, P1,2,…,n, ε0, εi, εi,j, εi,j,…,m, ε1,2,…,n. Тогда эффективность функционирования системы определится как математическое ожидание показателя эффективности ε~ пo формуле

ε=Mε~=ε0P0+i=1nεiPi+i,j=1i<jnεi,jPi,j+...+ij,..m=1i<j<...<mnεi,j,...,mPi,j,...,m+ε1,2,...,nP1,2,...,n.

 (2)

Предположим, что отказы элементов системы взаимно независимы. Тогда можно написать

P0=k=1n1qk,

Pi=qik=1kin1qk,

Pi,j=qiqjk=1ki,jn1qk,

Pi,j,...,m=qiqj...qm     k=1ki,j,...,mn1qk,

P1,2,...,n=k=1nqk,

где qi – вероятность отказа i-го элемента.

Требуется найти решение следующих задач:

  1. максимизировать эффективность функционирования сложной системы измельчения руды путем поэлементного нагруженного резервирования пpи ограничении, наложенном на технико-экономический показатель системы;
  2. минимизировать технико-экономический показатель системы измельчения руды при заданном значении показателя эффективности ее функционирования.

При поэлементном нагруженном резервировании вероятности состояний системы определяются следующими выражениями:

P0=k=1n1qkxk,

Pi=qixik=1kin1qkxk,

Pi,j=qixiqjxjk=1ki,jn1qkxk,

Pi,j,...,m=qixiqjxj...qmxm     k=1ki,j,...,mn1qkxk,

P1,2,...,n=k=1nqkxk,

где xi – общее число элементов i-го типa.

Для случая высоконадежной системы, т. е. когда выполняется условие qixi<<1/n, вместо (2) можно записать приближенно

ε=ε0i=1nqixi(ε0εi).

Тогда могут быть сформулированы две следующие задачи, соотносящиеся с задачами 1 и 2, указанными выше в постановке:

  1. maxΦx1,...,xn=maxxiε0i=1nqixi(ε0εi)
    при условии, что
    i=1ndixi=D*;i=1,n¯;
  2. minΦx1,...,xn=minxii=1ndixi
    при условии, что
    ε0=i=1nqixi(ε0εi)=ε*;  i=1,n¯,

где di – технико-экономический показатель одного элемента i-го типа; D* – технико-экономический показатель системы; ε* – заданное значение показателя эффективности функционирования системы.

Метод решения

Поставленные двойственные задачи оптимального резервирования можно решить различными методами (метод динамического программирования, градиентные методы, генетические алгоритмы оптимизации [1, 11, 13, 14, 16, 18, 21] и т. п.), каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Однако все эти методы требуют применения вычислительной техники. В данной статье поставленные задачи решаются аналитическим методом, который позволяет обеспечить простоту решения и возможность ее всестороннего анализа.

Если рассмотреть Ф(.) как непрерывную функцию от x, то поставленные задачи первоначально можно решить с помощью неопределенных множителей Лагранжа и, получив истинные решения x для каждого элемента, округлить иx до ближайших целых чисел. Если необходимы более точные значения xi, то для иx определения нужно исследовать ближайшие к xi слева и справа (не меньше единицы) целые числа [xi] и [xi+1], из них выбрать те, при которых Ф(x1,…,xn) имеет наибольшее значение в задаче 1 и наименьшее значение в задаче 2.

Решение задачи 1 сводится к решению следующей системы уравнений с n+1 неизвестными:

xiε0i=1nqixi(ε0εi)λi=1ndixiD*=0,i=1ndixi=D*. (3)

Решение (3) имеет вид

xi=1/lnqi1/i=1naiD*i=1nailn(ε0εi/ai)+ln(ε0εi/ai),

где

ai=(di/lnqi),i=1,n¯.

Для решения задачи 2 составим систему уравнений

xii=1ndixi+λε0i=1nqixi(ε0εi)ε*=0,ε0i=1nqixi(ε0εi)=ε*;i=1,n.¯ (4)

Решая (4), получим

xi=1/lnqiln(ε0εi)/ailnε0ε*/i=1nai.

Если показатель эффективности функционирования системы имеет денежное выражение, тo можно поставить следующую задачу, являющуюся частным случаем задачи 1:

maxxiε0i=1nqixi(ε0εi)i=1ncixi, (5)

где ci – стоимость одного элемента i-го типа.

Дифференцируя соотношение (5) по xi и приравнивая его к нулю, находим

xi=(1/lnqi)ln(ε0εi)/ai,

где через ai обозначено выражение (–ci/lnθi).

На практике часто возникает задача оптимального резервирования, когда из m элементов сложной системы измельчения руды можно зарезервировать только n элементов. Учитывая сделанные допущения для эффективности функционирования системы, зарезервированной способом поэлементного нагруженного резервирования, приближенно получим

εm=j=n+1m1qjε0i=1nqixi(ε0εi)+1i=1nqixik=n+1mεkqkj=n+1jkm1qj.(6)

Требуется решить задачи типа 1 и 2, сформулированные для данного случая, т. e. когда эффективность определяется выражением (6). Решив эти задачи таким же образом, что и задачи 1 и 2, соответственно получим

xi=(1/lnqi)1/i=1naiD*i=1nailnε0mεij=n+1m1qj/ai+lnε0mεij=n+1m1qj/ai,

xi=(1/lnqi)lnε0εij=n+1m1qj/ailnε0εm*/i=1nai

где

ε0m=ε0j=n+1m1qj+k=n+1mεkqkj=n+1jkm1qj.

Заключение

Технологическая система измельчения руды рассмотрена как сложная система, обладающая многими работоспособными состояниями (mиlti-state system).

Получено приближенное значение показателя эффективности функционирования этой системы, элементы которой обладают лишь двумя возможными состояниями. С использованием приближенного значения показателя эффективности функционирования технологической системы измельчения руды методом неопределенных множителей Лагранжа получены приближенные решения задачи оптимального резервирования системы.

Следует отметить, что округление значений xi,i=1,n¯ до ближайших целых чисел существенно не влияет на точность решения, поскольку сами по себе di, e0, ei также являются величинами более или менее приближенными. Поэтому полученные результаты могут быть с успехом использованы при ориентировочных расчетах.

При решении рассмотренных задач методом динамического программирования полученные решения можно использовать в качестве опорного. Область поиска при этом значительно сужается.

×

Об авторах

Сейран Шамирович Баласанян

Капанский филиал Национального политехнического университета Армении

Автор, ответственный за переписку.
Email: seyran@sunicom.net

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий, информатики и автоматизированных систем

Армения, г. Капан

Эрмине Михайловна Геворгян

Капанский филиал Национального политехнического университета Армении

Email: hermine799@gmail.com

кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий, информатики и автоматизированных систем

Армения, г. Капан

Список литературы

  1. Lisnianski A., Levitin G. Multi-state system reliability. Assessment, optimization and applications. – Singapore: World Scientific, 2003. – 358 p.
  2. Баласанян С.Ш. Метод стратифицированной формализации сложных технологических систем со многими состояниями // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. – 2016. – Т. 327. – № 1. – С. 6–18.
  3. Баласанян С.Ш. Стратифицированное моделирование сложных технологических систем. – Саарбрукен: Академическое издательство «Ламберт», 2016. – 385 с.
  4. Баласанян С.Ш., Геворгян Э.М. Компьютерная модель принятия решений по реконфигурации структуры технологической системы измельчения руды // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. – 2019. – Т. 330. –№ 1. – С. 39–50.
  5. Авдохин В.М. Основы обогащения полезных ископаемых. Т. 1. Обогатительные процессы. – М.: Изд-во «Горная книга», 2014. – 417 с.
  6. King R.P. Modeling and simulation of mineral processing systems. 2nd ed. – Boston: Butterworth–Heinemann, 2015. – 416 p.
  7. Castro S., Lopez-Valdivieso A., Laskowski J.S. Review of the flotation of molybdenite // International Journal of Mineral Processing. – 2016. – Vol. 148. – P. 48–58.
  8. Jovanovic I., Miljanovic I. Contemporary advanced control techniques for flotation plants with mechanical flotation cells – a review // Minerals Engineering. – 2015. – Vol. 70. – P. 228–249.
  9. Карепов В.А., Безверхая Е.В., Чесноков В.Т. Надежность горных машин и оборудования. – Красноярск: Изд-во СФУ, 2012. – 134 с.
  10. Баласанян С.Ш., Геворгян Э.М. Имитационная модель процесса изменения работоспособности измельчительного оборудования // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. – 2016. – Т. 327. – № 2. – С. 21–34.
  11. Kim Heungseob, Kim Pansoo. Reliability redundancy allocation problem considering optimal redundancy strategy using parallel genetic algorithm // Reliability Engineering and System Safety. – 2017. – Vol. 159 (C). – P. 153–160.
  12. Zhigang Tian, Ming J. Zuo, Hongzhong Huang. Reliability-redundancy allocation for multi-state series-parallel systems // IEEE Transactions on Reliability. – 2008. – Vol 57. – Iss. 2. – P. 303–310.
  13. Chatwattanasiri N., Coit D.W., Wattanapongsakorn N. System redundancy optimization with uncertain stress-based component reliability: minimization of regret // Reliability Engineering and System Safety. – 2016. – Vol. 154 (C). – P. 73–83.
  14. Coit D.W., Zio E. The evolution of system reliability optimization // Reliability Engineering and System Safety. – 2019. – Vol. 192 (C). – P. 153–160.
  15. Mu-Xia Sun, Yan-Fu Li, Enrico Zio. On the optimal redundancy allocation for multi-state series-parallel systems under epistemic uncertainty // Reliability Engineering & System Safety. – 2019. – Vol. 192. – P. 48–58.
  16. Jianchun Zhang, Lei Li, Zhiwei Chen. Strength-redundancy allocation problem using artificial bee colony algorithm for multi-state systems // Reliability Engineering & System Safety. – 2021. – Vol. 209. – P. 163–170.
  17. Hanxiao Zhang, Muxia Sun, Yan-Fu Li. Reliability-redundancy allocation problem in multi-state flow network: Minimal cut-based approximation scheme // Reliability Engineering & System Safety. – 2022. – Vol. 225. – P. 163–173.
  18. Yan-Fu Li, Hanxiao Zhang. The methods for exactly solving redundancy allocation optimization for multi-state series-parallel systems // Reliability Engineering & System Safety. – 2022. – Vol. 221. – P. 156–165.
  19. Reliability analysis of complex multi-state system with common cause failure based on evidential networks / J. Mi, Y.-F. Li, W. Peng, H.-Z. Huang // Reliability Engineering and System Safety. – 2018. – Vol. 174. – № 6. – P. 71–81.
  20. Huang Taijun, Chen Guobing, Yang Zichun. Multi-state system reliability calculation considering probabilistic common cause failure // Chinese Journal of Ship Research. – 2019. –Vol. 14 (S1). – P. 17–22.
  21. Reliability Analysis of a Complex Multistate System Based on a Cloud Bayesian Network / Jin-Zhang Jia, Zhuang Li, Peng Jia, Zhi-Guo Yang // Shock and Vibration. – 2021. – Vol. 2021. – P. 1–27.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML


Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».