Approximate solution of the problem of redundancy optimization of a complex technological ore grinding system

Full Text

Введение

Благодаря структурной и функциональной избыточности сложные технологические системы обладают многими работоспособными состояниями. В отличие от бинарных систем, обладающих лишь двумя возможными состояниями (работоспособным и неработоспособным), для таких систем (multi-state systems) [1–4] практически невозможно определить общепринятое понятие отказа. Поэтому для систем со многими состояниями вместо надежности вводится понятие технической эффективности, оценка которой производится с помощью специально выбранных показателей эффективности, учитывающих последствие влияния отказов элементов системы на качество ее функционирования.

Методологической основой существующих методов оценки и исследования эффективности функционирования сложных систем со многими состояниями служит концепция системного подхода. Эта концепция в данном случае проявляется в том, что показатель эффективности рассматривается как функционал от процесса функционирования системы.

В рамках указанного подхода оценка эффективности функционирования сложных систем основывается на использовании модели процесса изменения работоспособности элементов системы. Ее сущность заключается в следующем. Формально каждый элемент $E_i^0(i=\overline{\mathrm{1,}n})$ системы в любой момент времени может находиться в одном из возможных состояний y_i⁰∈Y_i⁰, каждое из которых характеризуется определенным уровнем работоспособности. Совокупность состояний элементов y⁰(t)=(y₁⁰(t),y₂⁰(t),…,y_n⁰(t)) в произвольный момент времени однозначно определяет состояние системы.

С течением времени под влиянием внешних и внутренних случайных факторов элементы системы переходят из одного состояния в другое. В результате происходит последовательная смена состояний системы в целом.

Случайный n-мерный процесс Y⁰(t)={y⁰(t)} рассматривается как формализованный процесс изменения работоспособности элементов системы и описывает ее поведение во времени. Каждой реализации y⁰(t) процесса Y⁰(t) соответствует определенная траектория в пространстве состояний системы $Y^0=\prod _{i=1}^n{Y}_i^0.$ Если обозначить через P _y0(t,t+θ) вероятность того, что формализованный процесс Y⁰(t) в интервале времени [t,t+θ] имел реализацию y⁰(t,t+θ)∈Y⁰(t,t+θ), а через ε_y0(t,θ) – условный показатель эффективности функционирования системы для этой реализации, то показатель эффективности функционирования системы может быть определен как математическое ожидание условного показателя ε_y0(t,θ):

$E\left(t,\theta \right)=\underset{Y^0(t,t+\theta )}{\int }{\epsilon }_{y^0}\left(t,\theta \right)d{P}_{y^0}\left(t,t+\theta \right).$ (1)

Несмотря на кажущуюся простоту записи, соотношение (1) малопригодно для расчетов из-за чрезмерной трудности определения ε₀(t,θ), P_y(t,t+θ) и может быть использовано лишь для оценки эффективности функционирования систем с небольшим числом состояний. Сравнительно хорошо разработаны аналитические методы оценки эффективности некоторых частных типов сложных систем [1, 2]. Особенности этих систем позволили получить достаточно компактные расчетные формулы для оценки эффективности их функционирования.

Постановка задачи

Измельчение руды является важнейшим технологическим процессом рудоподготовки, непосредственно предшествующим конечному процессу флотации руды и в значительной мере предопределяющим его эффективность [5–8]. Как показывает опыт эксплуатации обогатительных фабрик, эффективность флотации заметно снижается в результате ухудшения выходных характеристик технологической системы измельчения руды (ТСИР) вследствие отказов ее оборудования [9–11]. В связи с этим вопросы обеспечения надежности и эффективности функционирования ТСИР приобретают особую важность. Одним из возможных способов повышения эффективности функционирования ТСИР является резервирование. При проектировании сложных технологических систем измельчения с использованием резервирования возникают задачи оптимального резервирования [12–21]. Сущность этих задач заключается в определении чисел x_i, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ элементов i-го типa, максимизирующих значение показателя эффективности функционирования технологической системы измельчения руды пpи ограничении, наложенном на технико-экономический показатель (стоимость, вес, объем и т. д.) системы, или минимизирующих технико­экономический показатель системы пpи заданном значении показателя эффективности функционирования системы.

Рассмотрим некоторую сложную технологическую систему измельчения руды, состоящую из n нерезервированных элементов. Допустим, что каждый элемент может находиться только в двух возможных состояниях: в состоянии работоспособности и в состоянии отказа. Эта система имеет конечное число несовместимых состояний:

• S₀ – состояние системы, когда все элементы работоспособны;
• S_i – состояние системы, когда отказал только i-й элемент ($i=\overline{\mathrm{1,}n}$);
• S_i,j – состояние системы, когда отказали только i-й и j-й элементы ($i<j;i,j=\overline{\mathrm{1,}n}$);
• S_i,j,…,m – состояние системы, когда отказала совокупность только i,j,…,m элементов
  ($i<j<\mathrm{...}<m;i,j\mathrm{,...,}m=\overline{\mathrm{1,}n}$);
• S_1,2,…,n – состояние системы, когда отказали все элементы системы.

Пусть вероятность состояний S₀, S_i, S_i,j, S_i,j,…,m, S_1,2,…,n и показатели эффективности функционирования системы для этих состояний соответственно равны P₀, P_i, P_i,j, P_i,j,…,m, P_1,2,…,n, ε₀, ε_i, ε_i,j, ε_i,j,…,m, ε_1,2,…,n. Тогда эффективность функционирования системы определится как математическое ожидание показателя эффективности $\tilde{\epsilon }$ пo формуле

$\epsilon =M\left[\tilde{\epsilon }\right]={\epsilon }_0{P}_0+\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i{P}_i+\sum _{\begin{array}{l}i,j=1\\ i<j\end{array}}^n{\epsilon }_{i,j}{P}_{i,j}+\mathrm{...}+\sum _{\begin{array}{l}i\ne j\mathrm{,..}m=1\\ i<j<\mathrm{...}<m\end{array}}^n{\epsilon }_{i,j\mathrm{,...,}m}{P}_{i,j\mathrm{,...,}m}+{\epsilon }_{\mathrm{1,2,...,}n}{P}_{\mathrm{1,2,...,}n}.$

 (2)

Предположим, что отказы элементов системы взаимно независимы. Тогда можно написать

$P_0=\prod _{k=1}^n\left(1-q_k\right)$,

$P_i=q_i\cdot \prod _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne i\end{array}}^n\left(1-q_k\right)$,

$P_{i,j}=q_i{q}_j\cdot \prod _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne i,j\end{array}}^n\left(1-q_k\right)$,

$P_{i,j\mathrm{,...,}m}=q_i{q}_j\mathrm{...}{q}_m\cdot \prod _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne i,j\mathrm{,...,}m\end{array}}^n\left(1-{q_k}^{}\right)$,

$P_{\mathrm{1,2,...,}n}=\prod _{k=1}^n{q}_k$,

где q_i – вероятность отказа i-го элемента.

Требуется найти решение следующих задач:

1. максимизировать эффективность функционирования сложной системы измельчения руды путем поэлементного нагруженного резервирования пpи ограничении, наложенном на технико-экономический показатель системы;
2. минимизировать технико-экономический показатель системы измельчения руды при заданном значении показателя эффективности ее функционирования.

При поэлементном нагруженном резервировании вероятности состояний системы определяются следующими выражениями:

$P_0=\prod _{k=1}^n\left(1-q_k^{x_k}\right)$,

$P_i=q_i^{x_i}\cdot \prod _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne i\end{array}}^n\left(1-q_k^{x_k}\right)$,

$P_{i,j}=q_i^{x_i}{q}_j^{x_j}\cdot \prod _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne i,j\end{array}}^n\left(1-q_k^{x_k}\right)$,

$P_{i,j\mathrm{,...,}m}=q_i^{x_i}{q}_j^{x_j}\mathrm{...}{q}_m^{x_m}\cdot \prod _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne i,j\mathrm{,...,}m\end{array}}^n\left(1-q_k^{x_k}\right)$,

$P_{\mathrm{1,2,...,}n}=\prod _{k=1}^n{q}_k^{x_k}$,

где x_i – общее число элементов i-го типa.

Для случая высоконадежной системы, т. е. когда выполняется условие q_i^xi<<1/n, вместо (2) можно записать приближенно

$\epsilon ={\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)$.

Тогда могут быть сформулированы две следующие задачи, соотносящиеся с задачами 1 и 2, указанными выше в постановке:

1. $\max \Phi \left(x_1\mathrm{,...,}{x}_n\right)=\underset{x_i}{\max }\left({\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)\right)$
   при условии, что
   $\sum _{i=1}^n{d}_i{x}_i=D^{*};i=\overline{\mathrm{1,}n}$;
2. $\min \Phi \left(x_1\mathrm{,...,}{x}_n\right)=\underset{x_i}{\min }\sum _{i=1}^n{d}_i{x}_i$
   при условии, что
   ${\epsilon }_0=\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)={\epsilon }^{*};i=\overline{\mathrm{1,}n}$,

где d_i – технико-экономический показатель одного элемента i-го типа; D^* – технико-экономический показатель системы; ε^* – заданное значение показателя эффективности функционирования системы.

Метод решения

Поставленные двойственные задачи оптимального резервирования можно решить различными методами (метод динамического программирования, градиентные методы, генетические алгоритмы оптимизации [1, 11, 13, 14, 16, 18, 21] и т. п.), каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Однако все эти методы требуют применения вычислительной техники. В данной статье поставленные задачи решаются аналитическим методом, который позволяет обеспечить простоту решения и возможность ее всестороннего анализа.

Если рассмотреть Ф(.) как непрерывную функцию от x, то поставленные задачи первоначально можно решить с помощью неопределенных множителей Лагранжа и, получив истинные решения x для каждого элемента, округлить иx до ближайших целых чисел. Если необходимы более точные значения x_i, то для иx определения нужно исследовать ближайшие к x_i слева и справа (не меньше единицы) целые числа [x_i] и [x_i+1], из них выбрать те, при которых Ф(x₁,…,x_n) имеет наибольшее значение в задаче 1 и наименьшее значение в задаче 2.

Решение задачи 1 сводится к решению следующей системы уравнений с n+1 неизвестными:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x_i}\left({\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)-\lambda \left(\sum _{i=1}^n{d}_i{x}_i-D^{*}\right)\right)=\mathrm{0,}\\ \sum _{i=1}^n{d}_i{x}_i=D^{*}.\end{array}\right.$ (3)

Решение (3) имеет вид

$x_i=-\left(1/\ln q_i\right)\cdot \left(1/\sum _{i=1}^n{a}_i\left(D^{*}-\sum _{i=1}^n{a}_i\ln ({\epsilon }_0-{\epsilon }_i/a_i)\right)+\ln ({\epsilon }_0-{\epsilon }_i/a_i)\right)$,

где

$a_i=-(d_i/\ln q_i),i=\overline{\mathrm{1,}n}$.

Для решения задачи 2 составим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\sum _{i=1}^n{d}_i{x}_i+\lambda \cdot \left({\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)-{\epsilon }^{*}\right)\right)=\mathrm{0,}\\ {\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)={\epsilon }^{*};i=\overline{\mathrm{1,}n.}\end{array}\right.$ (4)

Решая (4), получим

$x_i=1/\left(-\ln q_i\left(\ln \left(({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)/a_i\right)-\ln \left({\epsilon }_0-{\epsilon }^{*}/\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\right)\right)$.

Если показатель эффективности функционирования системы имеет денежное выражение, тo можно поставить следующую задачу, являющуюся частным случаем задачи 1:

$\underset{x_i}{\max }\left({\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)-\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i\right)$, (5)

где c_i – стоимость одного элемента i-го типа.

Дифференцируя соотношение (5) по x_i и приравнивая его к нулю, находим

$x_i=-(1/\ln q_i)\cdot \ln \left(({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)/a_i\right)$,

где через a_i обозначено выражение (–c_i/lnθ_i).

На практике часто возникает задача оптимального резервирования, когда из m элементов сложной системы измельчения руды можно зарезервировать только n элементов. Учитывая сделанные допущения для эффективности функционирования системы, зарезервированной способом поэлементного нагруженного резервирования, приближенно получим

${\epsilon }_{{}_m}=\prod _{j=n+1}^m\left(1-q_j\right)\cdot \left({\epsilon }_0-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}({\epsilon }_0-{\epsilon }_i)+\left(1-\sum _{i=1}^n{q}_i^{x_i}\right)\cdot \sum _{k=n+1}^m{\epsilon }_k{q}_k\prod _{\begin{array}{l}j=n+1\\ j\ne k\end{array}}^m\left(1-q_j\right)\right)$.(6)

Требуется решить задачи типа 1 и 2, сформулированные для данного случая, т. e. когда эффективность определяется выражением (6). Решив эти задачи таким же образом, что и задачи 1 и 2, соответственно получим

$\begin{array}{l}{x}_i=-(1/\ln q_i)\cdot \left(1/\sum _{i=1}^n{a}_i\right.\cdot \left(D^{*}-\sum _{i=1}^n{a}_i\ln \left(\left({\epsilon }_{0m}-{\epsilon }_i\prod _{j=n+1}^m\left(1-q_j\right)\right)/a_i\right)\right)\\ \left.+\ln \left({\epsilon }_{0m}-{\epsilon }_i\prod _{j=n+1}^m\left(1-q_j\right)/a_i\right)\right),\end{array}$

$x_i=-(1/\ln q_i)\cdot \left(\ln \left(\left({\epsilon }_0-{\epsilon }_i\prod _{j=n+1}^m\left(1-q_j\right)\right)/a_i\right)-\ln \left(\left({\epsilon }_0-{\epsilon }_m^{*}\right)/\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\right)$

где

${\epsilon }_{{}_{0m}}={\epsilon }_0\prod _{j=n+1}^m\left(1-q_j\right)+\sum _{k=n+1}^m{\epsilon }_k{q}_k\cdot \prod _{\begin{array}{l}j=n+1\\ j\ne k\end{array}}^m\left(1-q_j\right)$.

Заключение

Технологическая система измельчения руды рассмотрена как сложная система, обладающая многими работоспособными состояниями (mиlti-state system).

Получено приближенное значение показателя эффективности функционирования этой системы, элементы которой обладают лишь двумя возможными состояниями. С использованием приближенного значения показателя эффективности функционирования технологической системы измельчения руды методом неопределенных множителей Лагранжа получены приближенные решения задачи оптимального резервирования системы.

Следует отметить, что округление значений $x_i,i=\overline{\mathrm{1,}n}$ до ближайших целых чисел существенно не влияет на точность решения, поскольку сами по себе d_i, e₀, e_i также являются величинами более или менее приближенными. Поэтому полученные результаты могут быть с успехом использованы при ориентировочных расчетах.

При решении рассмотренных задач методом динамического программирования полученные решения можно использовать в качестве опорного. Область поиска при этом значительно сужается.

About the authors

Seyran S. Balasanyan

Kapan branch of the National Polytechnic University of Armenia

Author for correspondence.
Email: seyran@sunicom.net

Dr. Sc., Professor, Head of Department of Information Technologies, Informatics and Automated Systems

Armenia, Kapan

Hermine M. Gevorgyan

Kapan branch of the National Polytechnic University of Armenia

Email: hermine799@gmail.com

Cand. Sc., Associate Professor

Armenia, Kapan

References

Supplementary files