Исследование вынужденных колебаний линейной системы с двумя степенями свободы и малым параметром методом ляпунова–шмидта
- Авторы: Шаманаев П.А., Прохоров С.А.
- Выпуск: Том 9, № 12 (2021)
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 10.02.2025
- Статья одобрена: 10.02.2025
- URL: https://ogarev-online.ru/2311-2468/article/view/279443
- ID: 279443
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Работа посвящена нахождению периодических решений линейных систем с двумя степенями свободы и малым параметром методом Ляпунова-Шмидта. На основе метода Ляпунова-Шмидта разработан алгоритм в пакете Maple, построены графики компонент периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы.
Полный текст
Введение.
Математические модели в линейном приближении могут быть описаны как неоднородные линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром. Общая методика исследования периодических решений таких систем описана в работе [1]. Она основана на представлении исследуемой системы в виде операторного уравнения в банаховом пространстве и применении метода Ляпунова-Шмидта [2–4].
В работе [5] приведено исследование периодических решений одной линейной неоднородной системы второго порядка с малым линейным возмущением. В работе [6] проведено исследование вынужденных колебаний одной линейной системы двух связанных осцилляторов с малым параметром.
В настоящей работе исследуются вынужденные колебания линейной системы с двумя степенями свободы и малым параметром при условии, что на систему действует внешняя периодическая сила с двумя соизмеримыми частотами.
Математическая модель вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы и малым параметром.
Рассмотрим математическую модель вынужденных колебания системы с двумя степенями свободы в виде [7]
(1)
где − парциальные частоты, 𝐾 > 0, функции имеют вид
(2)
где . Обозначим .
Исследуем вынужденные колебания системы (1), когда параметры системы мало отклоняются от заданных значений и две частоты вынужденных колебаний совпадают с двумя частотами собственных колебаний (случай резонанса). В этом случае, система (1) с учетом малого параметра будет иметь вид
(3)
Где – малый вещественный параметр. Заметим, что система (1) получается из системы (3), если положить 𝜀 = 0.
Сформулируем задачу для системы (3): при достаточно малых вещественных 𝜀 найти T–периодическое решение системы (3), удовлетворяющее условию есть T–периодическое решение системы (1).
Периодичность решения системы (1) достигается за счет подбора амплитуд и начальных фаз в формуле (2) для периодических функций 𝐹1(t) и 𝐹2(t).
Представление математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.
Делая в системе (3) замену
(4)
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме
(5)
где ,
Системе (1) соответствует неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме
(6)
В этом случае задача, сформулированная для систем (1) и (3), перейдет в задачу для систем (5) и (6) в следующем виде: при достаточно малых вещественных 𝜀 найти T−периодическое решение 𝑥(𝑡,𝜀) системы (5), удовлетворяющее условию 𝑥(𝑡,0)=𝑧(𝑡), где 𝑧(𝑡) является T−периодическим решением системы (6).
В дальнейшем систему (5) будем называть возмущенной системой, а систему (6) – невозмущенной.
Вычисление периодического решения возмущенной системы методом Ляпунова- Шмидта.
В работе [1] приведено решение поставленной задачи методом Ляпунова-Шмидта. Периодическое решение возмущенной системы будем вычислять с помощью разработанного на основе метода Ляпунова-Шмидта алгоритма в математическом пакете Maple.
Для иллюстрации разработанного алгоритма в пакете Maple выберем параметры системы (5) следующим образом:
Собственные значения матрицы 𝐵0при выбранных значениях параметров равны
Поскольку для системы (6) частоты собственных колебаний совпадают с частотами вынужденных колебаний, то для система (6), а значит и системы (1) имеет место случай резонанса. В этом случае и задача сводится к нахождению − периодического решения системы (5).
Вычислим обобщенный жорданов набор оператора
по формулам
(7)
где
Согласно методу Эйлера, решения уравнений (7), будем искать в виде
(8)
где .
Подставляя формулы (8) в уравнения (7), получим следующие элементы обобщенных жордановых цепочек оператора B0
(9)
(10)
Здесь число и длины жордановых цепочек равны =2, 𝑝1=𝑝2=2, соответственно.
Элементы обобщенных жордановых цепочек сопряженного оператора , удовлетворяющих условию биортогонализации, имеют вид
Коэффициенты в разложении искомого периодического решения вычислим по формулам
(11)
(12)
Учитывая формулы (11) и (12), получим
(13)
Для того, чтобы система (6) имела T-периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы 𝑐11=0 и 𝑐21=0 [1], что эквивалентно следующим условиям, соответственно,
(14)
(15)
Решения уравнений (14) и (15) можно записать в параметрической форме, соответственно,
(16)
(17)
где – произвольные вещественные параметры.
После подстановки формул (16) и (17) в выражения (13), получим
(18)
Тогда при 𝜀 ≠ 0 вычисляя величины по формулам (3.3) из работы [1], получим
(19)
Дополнительное слагаемое y (𝜀), входящее в −периодическое решение системы (5) и принадлежащие к дополнению корневого пространства, имеет вид
(20)
Таким образом, подставляя формулы (9), (10), (18) и (19) в выражение (3.4) из работы [1], получим – периодическое решение системы (5)
(21)
Построение графиков компонент периодического решения и фазовых траекторий системы (3).
Учитывая замену (4) из формулу (21), получим
Для построения графиков компонент решений и фазовых траекторий системы (3) выберем следующие наборы параметров:
На рис. 1 и рис. 2. для случая 1) приведены графики компонент −периодического решения и фазовых траекторий системы (3) при различных значениях параметра 𝜀.
Рис. 1. Графики компонент а) и б) — периодического решения системы (3) при различных значениях параметра 𝜀 в случае 1).
Рис. 2. График фазовой траектории системы (3) в конфигурационном пространстве 𝑂𝑞1𝑞2 при различных 𝜀 в случае 1).
На рис. 3 и рис. 4. для случая 2) приведены графики компонент −периодического решения и фазовых траекторий системы (3) при различных значениях параметра 𝜀.
Рис. 3. Графики компонент а) и б) — периодического решения системы (3) при различных значениях параметра 𝜀 в случае 2).
Рис. 4. График фазовой траектории системы (3) в конфигурационном пространстве 𝑂𝑞1𝑞2 при различных 𝜀 в случае 2).
На рис. 5 и рис. 6. для случая 3) приведены графики компонент − периодического решения и фазовых траекторий системы (3) при различных значениях параметра 𝜀.
Рис. 5. Графики компонент а) и б) − периодического решения системы (3) при различных значениях параметра 𝜀 в случае 3).
Рис. 6. График фазовой траектории системы (3) в конфигурационном пространстве 𝑂𝑞1𝑞2 при различных 𝜀 в случае 3).
Заключение.
Из формулы (21) следует, что каждая компонента – периодического решения системы (3) имеют полюс первого порядка в точке 𝜀 = 0 и зависит от тех же начальных фаз и амплитуд , что и периодические функции 𝐹1(t) и 𝐹2(t).
Об авторах
П. А. Шаманаев
Автор, ответственный за переписку.
Email: ogarevonline@yandex.ru
С. А. Прохоров
Email: ogarevonline@yandex.ru
Список литературы
- Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. О ветвлении периодических решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого // Журнал Средневолжского математического общества. – 2016. – Т. 18, № 1. – С. 45–53.
- Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.: Наука. – 1964. – 524 с.
- Коноплева И. В., Логинов Б. В. Обобщенная жорданова структура и симметрия разрешающих систем ветвления // Вестник Самарского университета. – 2001. – № 4. – С. 56–84.
- Коноплева И. В., Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Симметрия и потенциальность уравнений разветвления в корневых подпространствах в неявно заданных стационарных и динамических бифуркационных задачах // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. – 2009. – С. 115–124.
- Кадрякова М. Р., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. О периодических решениях одного класса линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром в резонансном случае // Огарев-online. – 2017. – № 13. – С. 8–17 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://journal.mrsu.ru/arts/o- periodicheskix-resheniyax-odnogo-klassa-linejnyx-neodnorodnyx-sistem- obyknovennyx-differencialnyx-uravnenij-s-malym-parametrom-v-rezonansnom-
- sluchae (дата обращения: 25.09.2021).
- Карчиганов А. Ф., Шаманаев П. А. Исследование вынужденных колебаний одной линейной системы двух связанных осцилляторов с малым параметром // Огарев- online. – 2020. – № 13. – С. 8–17 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://journal.mrsu.ru/arts/issledovanie-vynuzhdennyx-kolebanij-odnoj-linejnoj-sistemy- dvux-svyazannyx-oscillyatorov-s-malym-parametrom (дата обращения: 25.09.2021).
- Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний: Учебник. – 3-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2005. – 440 с.
Дополнительные файлы
