Investigation of forced vibrations of a linear system with two degrees of freedom and a small parameter by the lyapunov-schmidt method

Abstract

The article is devoted to finding periodic solutions to linear systems with two degrees of freedom and a small parameter by the Lyapunov-Schmidt method. On the basis of the Lyapunov-Schmidt method, an algorithm was developed in the Maple package, graphs of the components of periodic solutions and phase trajectories of the disturbed system were constructed.

Full Text

Введение.

Математические модели в линейном приближении могут быть описаны как неоднородные линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром. Общая методика исследования периодических решений таких систем описана в работе [1]. Она основана на представлении исследуемой системы в виде операторного уравнения в банаховом пространстве и применении метода Ляпунова-Шмидта [2–4].

В работе [5] приведено исследование периодических решений одной линейной неоднородной системы второго порядка с малым линейным возмущением. В работе [6] проведено исследование вынужденных колебаний одной линейной системы двух связанных осцилляторов с малым параметром.

В настоящей работе исследуются вынужденные колебания линейной системы с двумя степенями свободы и малым параметром при условии, что на систему действует внешняя периодическая сила с двумя соизмеримыми частотами.

Математическая модель вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы и малым параметром.

Рассмотрим математическую модель вынужденных колебания системы с двумя степенями свободы в виде [7]

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{Q}}_1+n_1^2{Q}_1-K{Q}_2=F_1\left(t\right),\\ {\ddot{Q}}_2+n_2^2{Q}_2-K{Q}_1=F_2\left(t\right),\end{array}\right.$(1)

где $n_1^2иn_2^2$ − парциальные частоты, 𝐾 > 0, функции $F_1\left(t\right)иF_2\left(t\right)$ имеют вид

$\begin{array}{l}{F}_1\left(t\right)=r_{11}\sin ({\omega }_{1}t+{\theta }_{11})+r_{12}\sin ({\omega }_{2}t+{\theta }_{12}),\\ F_2\left(t\right)=r_{21}\sin ({\omega }_{1}t+{\theta }_{21})+r_{22}\sin ({\omega }_{2}t+{\theta }_{22})\end{array}$ (2)

где $r_{ks},{\theta }_{ks},{\omega }_k\in R,k,s=\mathrm{1,2,}{\omega }_2=\alpha {\omega }_1,\alpha \in Z$. Обозначим $T=\frac{2\pi }{{\omega }_1}$.

Исследуем вынужденные колебания системы (1), когда параметры системы мало отклоняются от заданных значений и две частоты вынужденных колебаний совпадают с двумя частотами собственных колебаний (случай резонанса). В этом случае, система (1) с учетом малого параметра будет иметь вид

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{q}}_1+\left(n_1^2+\epsilon d_{11}\right)q_1+\left(-K+\epsilon d_{12}\right)q_2=F_1\left(t\right),\\ {\ddot{q}}_2+\left(-K+\epsilon d_{21}\right)q_1+\left(n_2^2+\epsilon d_{22}\right)q_2=F_2\left(t\right),\end{array}\right.$ (3)

Где $d_{ks}\in R,k,s=\mathrm{1,2,}\epsilon$ – малый вещественный параметр. Заметим, что система (1) получается из системы (3), если положить 𝜀 = 0.

Сформулируем задачу для системы (3): при достаточно малых вещественных 𝜀 найти T–периодическое решение $q_1(t,\epsilon ),q_2(t,\epsilon )$ системы (3), удовлетворяющее условию $q_1\left(t\mathrm{,0}\right)=Q_1\left(t\right),q_2\left(t\mathrm{,0}\right)=Q_2\left(t\right),гдеQ_1\left(t\right),Q_2\left(t\right)$ есть T–периодическое решение системы (1).

Периодичность решения $Q_1\left(t\right),Q_2\left(t\right)$ системы (1) достигается за счет подбора амплитуд $r_{ks}$ и начальных фаз ${\theta }_{ks}$ в формуле (2) для периодических функций 𝐹1(t) и 𝐹2(t).

Представление математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Делая в системе (3) замену

$\begin{array}{l}{x}_1=q_1,x_2={\dot{q}}_1=>{\dot{x}}_1=x_2,\\ x_3=q_2,x_4={\dot{q}}_2=>{\dot{x}}_3=x_4\end{array}$ (4)

получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме

$\frac{dx}{dt}=(B_0-\epsilon B_1)x-f\left(t\right),$ (5)

где $x\in R^4$,

$B_0=\left(\begin{array}{l}0100\\ -n_1^{2}0K0\\ 0001\\ K0-n_2^{2}0\end{array}\right),B_1=\left(\begin{array}{l}0000\\ d_{\mathrm{1,1}}0d_{\mathrm{1,2}}0\\ 0000\\ d_{\mathrm{2,1}}0d_{\mathrm{2,2}}0\end{array}\right),f\left(t\right)=\left(\begin{array}{l}0\\ -F_1\left(t\right)\\ 0\\ -F_2\left(t\right)\end{array}\right).$

Системе (1) соответствует неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме

$\frac{dz}{dt}=B_{0}z-f\left(t\right).$ (6)

В этом случае задача, сформулированная для систем (1) и (3), перейдет в задачу для систем (5) и (6) в следующем виде: при достаточно малых вещественных 𝜀 найти T−периодическое решение 𝑥(𝑡,𝜀) системы (5), удовлетворяющее условию 𝑥(𝑡,0)=𝑧(𝑡), где 𝑧(𝑡) является T−периодическим решением системы (6).

В дальнейшем систему (5) будем называть возмущенной системой, а систему (6) – невозмущенной.

Вычисление периодического решения возмущенной системы методом Ляпунова- Шмидта.

В работе [1] приведено решение поставленной задачи методом Ляпунова-Шмидта. Периодическое решение возмущенной системы будем вычислять с помощью разработанного на основе метода Ляпунова-Шмидта алгоритма в математическом пакете Maple.

Для иллюстрации разработанного алгоритма в пакете Maple выберем параметры системы (5) следующим образом:

${\omega }_1=\mathrm{3,}{\omega }_2=\mathrm{9,}{n}_1^2=n_2^2=\mathrm{45,}K=\mathrm{36,}{d}_{11}=-\mathrm{2,}{d}_{22}=\mathrm{2,}{d}_{12}=d_{21}=0.$

Собственные значения матрицы 𝐵₀при выбранных значениях параметров равны

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm 3i,{\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm 9i.$

Поскольку для системы (6) частоты собственных колебаний совпадают с частотами вынужденных колебаний, то для система (6), а значит и системы (1) имеет место случай резонанса. В этом случае $T=\frac{2\pi }{3}$ и задача сводится к нахождению $\frac{2\pi }{3}$ − периодического решения системы (5).

Вычислим обобщенный жорданов набор оператора

$B_0=B_{0}x-A\frac{dx}{dt}$

по формулам

$B_0{\phi }_k^{\left(1\right)}=\mathrm{0,}{B}_0{\phi }_k^{\left(j\right)}=B_1{\phi }_k^{(j-1)},$(7)

где $j=\overline{\mathrm{2,}{p}_k},k=\overline{\mathrm{1,}n}.$

Согласно методу Эйлера, решения уравнений (7), будем искать в виде

${\phi }_k^{\left(j\right)}=u_k^{\left(j\right)}{e}^{\lambda t},$ (8)

где $\lambda \in R,u_k^{\left(j\right)}\in R^4$.

Подставляя формулы (8) в уравнения (7), получим следующие элементы обобщенных жордановых цепочек оператора B₀

${\phi }_1^{\left(1\right)}\left(t\right)=e^{i3t}\left(\begin{array}{l}-\frac{i}{3}\\ 1\\ -\frac{i}{3}\\ 1\end{array}\right),{\phi }_1^{\left(2\right)}\left(t\right)=e^{3it}\left(\begin{array}{l}-\frac{i}{54}\\ \frac{1}{18}\\ 0\\ 0\end{array}\right),$ (9)

${\phi }_2^{\left(1\right)}\left(t\right)=e^{i9t}\left(\begin{array}{l}-\frac{i}{9}\\ -1\\ -\frac{i}{9}\\ 1\end{array}\right),{\phi }_2^{\left(2\right)}\left(t\right)=e^{i9t}\left(\begin{array}{l}-\frac{i}{54}\\ \frac{1}{18}\\ 0\\ 0\end{array}\right).$ (10)

Здесь число и длины жордановых цепочек равны =2, 𝑝₁=𝑝₂=2, соответственно.

Элементы обобщенных жордановых цепочек сопряженного оператора $B_0^{*}$, удовлетворяющих условию биортогонализации, имеют вид

Коэффициенты $c_{kj}$ в разложении искомого периодического решения вычислим по формулам

${\psi }_1^{\left(1\right)}=e^{3it}\left(\begin{array}{l}81\\ 27i\\ 81\\ 27i\end{array}\right),{\psi }_1^{\left(2\right)}=e^{3it}\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ -\frac{9}{2}\\ -\frac{3i}{2}\end{array}\right)$ (11)

${\psi }_2^{\left(1\right)}=e^{9it}\left(\begin{array}{l}729\\ 81i\\ -729\\ -81i\end{array}\right),{\psi }_2^{\left(2\right)}=e^{9it}\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ -\frac{81}{2}\\ -\frac{9i}{2}\end{array}\right).$ (12)

Учитывая формулы (11) и (12), получим

$\begin{array}{l}{c}_{11}=\frac{27r_{11}{e}^{i{\theta }_{11}}}{2}+\frac{27r_{12}{e}^{i{\theta }_{12}}}{2},c_{12}=\frac{3r_{12}{e}^{i{\theta }_{12}}}{4},\\ c_{21}=\frac{81r_{21}{e}^{i{\theta }_{21}}}{2}-\frac{81r_{22}{e}^{i{\theta }_{22}}}{2},c_{22}=\frac{9r_{22}{e}^{i{\theta }_{22}}}{4}.\end{array}$ (13)

Для того, чтобы система (6) имела T-периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы 𝑐₁₁=0 и 𝑐₂₁=0 [1], что эквивалентно следующим условиям, соответственно,

$r_{11}{e}^{i{\theta }_{11}}+r_{12}{e}^{i{\theta }_{12}}=\mathrm{0,}$ (14)

$r_{21}{e}^{i{\theta }_{21}}+r_{22}{e}^{i{\theta }_{22}}=0$ (15)

Решения уравнений (14) и (15) можно записать в параметрической форме, соответственно,

$r_{11}=r_{12}=r_1,{\theta }_{11}={\theta }_1{\theta }_{12}={\theta }_1+\pi ,$ (16)

$r_{21}=r_{22}=r_2,{\theta }_{21}={\theta }_2{\theta }_{22}={\theta }_2,$ (17)

где  $r_k,{\theta }_k,k=\mathrm{1,2,}$ – произвольные вещественные параметры.

После подстановки формул (16) и (17) в выражения (13), получим

$c_{11}=\mathrm{0,}{c}_{12}=\frac{3r_1{e}^{i{\theta }_1}}{4},c_{21}=\mathrm{0,}{c}_{22}=-\frac{9r_2{e}^{i{\theta }_2}}{4}.$ (18)

Тогда при 𝜀 ≠ 0 вычисляя величины ${\xi }_k$ по формулам (3.3) из работы [1], получим

${\xi }_1=-\frac{3r_1{e}^{i{\theta }_1}}{4\epsilon },{\xi }_2=-\frac{9r_2{e}^{i{\theta }_2}}{4\epsilon }$ (19)

Дополнительное слагаемое y (𝜀), входящее в  $\frac{2\pi }{3}$ −периодическое решение системы (5) и принадлежащие к дополнению корневого пространства, имеет вид

$y(t,\epsilon )=\left(\begin{array}{l}-\frac{(18\epsilon +1)}{36{\epsilon }^2-36}{r}_1\sin (3t+{\theta }_1)-\frac{(18\epsilon -1)}{36{\epsilon }^2-36}{r}_2\sin (9t+{\theta }_2)\\ -\frac{(18\epsilon +1)}{12{\epsilon }^2-12}{r}_1\cos (3t+{\theta }_1)-\frac{(18\epsilon -1)}{4{\epsilon }^2-4}{r}_2\cos (9t+{\theta }_2)\\ -\frac{\epsilon }{2{\epsilon }^2-2}{r}_1\sin (3t+{\theta }_1)+\frac{\epsilon }{2{\epsilon }^2-2}{r}_2\sin (9t+{\theta }_2)\\ -\frac{3\epsilon }{2{\epsilon }^2-2}{r}_1\cos (3t+{\theta }_1)-\frac{9\epsilon }{36{\epsilon }^2-36}{r}_2\cos (9t+{\theta }_2)\end{array}\right)$ (20)

Таким образом, подставляя формулы (9), (10), (18) и (19) в выражение (3.4) из работы [1], получим $\frac{2\pi }{3}$– периодическое решение системы (5)

$x(t,\epsilon )=\left(\begin{array}{l}-\frac{1}{2\epsilon }{r}_1\sin (3t+{\theta }_1)-\frac{1}{2\epsilon }{r}_2\sin (9t+{\theta }_2)\\ -\frac{3}{2\epsilon }{r}_1\cos (3t+{\theta }_1)-\frac{9}{2\epsilon }{r}_2\cos (9t+{\theta }_2)\\ -\frac{1}{2\epsilon }{r}_1\sin (3t+{\theta }_1)+\frac{1}{2\epsilon }{r}_2\sin (9t+{\theta }_2)\\ -\frac{3}{2\epsilon }{r}_1\cos (3t+{\theta }_1)-\frac{9}{2\epsilon }{r}_2\cos (9t+{\theta }_2)\end{array}\right)$ (21)

Построение графиков компонент периодического решения и фазовых траекторий системы (3).

Учитывая замену (4) из формулу (21), получим

$\begin{array}{l}{q}_1(t,\epsilon )=-\frac{1}{2\epsilon }{r}_1\sin (3t+{\theta }_1)-\frac{1}{2\epsilon }{r}_2\sin (9t+{\theta }_2),\\ q_2(t,\epsilon )=-\frac{1}{2\epsilon }{r}_1\sin (3t+{\theta }_1)+\frac{1}{2\epsilon }{r}_2\sin (9t+{\theta }_2).\end{array}$

Для построения графиков компонент решений и фазовых траекторий системы (3) выберем следующие наборы параметров:

$\begin{array}{l}1)r_1=\mathrm{0,5};r_2=\mathrm{0,3};{\theta }_1=0;{\theta }_2=0;\\ 2)r_1=\mathrm{0,5};r_2=\mathrm{0,3};{\theta }_1=0;{\theta }_2=\frac{2\pi }{5};\\ 3)r_1=\mathrm{0,5};r_2=\mathrm{0,3};{\theta }_1=0;{\theta }_2=\frac{4\pi }{5}.\end{array}$

На рис. 1 и рис. 2. для случая 1) приведены графики компонент $\frac{2\pi }{3}$−периодического решения и фазовых траекторий системы (3) при различных значениях параметра 𝜀.

Рис. 1. Графики компонент а) ${\mathit{q}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{,}\mathit{\epsilon }\mathbf{)}$ и б) ${\mathbf{q}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{,}\mathbf{\epsilon }\mathbf{)}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$  — периодического решения системы (3) при различных значениях параметра 𝜀 в случае 1).

Рис. 2. График фазовой траектории системы (3) в конфигурационном пространстве 𝑂𝑞₁𝑞₂ при различных 𝜀 в случае 1).

На рис. 3 и рис. 4. для случая 2) приведены графики компонент $\frac{2\pi }{3}$−периодического решения и фазовых траекторий системы (3) при различных значениях параметра 𝜀.

Рис. 3. Графики компонент а) ${\mathit{q}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{,}\mathit{\epsilon }\mathbf{)}$ и б) ${\mathit{q}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{,}\mathit{\epsilon }\mathbf{)}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$ — периодического решения системы (3) при различных значениях параметра 𝜀 в случае 2).

Рис. 4. График фазовой траектории системы (3) в конфигурационном пространстве 𝑂𝑞₁𝑞₂ при различных 𝜀 в случае 2).

На рис. 5 и рис. 6. для случая 3) приведены графики компонент  − периодического решения и фазовых траекторий системы (3) при различных значениях параметра 𝜀.

Рис. 5. Графики компонент а)${\mathit{q}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{,}\mathit{\epsilon }\mathbf{)}$ и б)${\mathit{q}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{,}\mathit{\epsilon }\mathbf{)}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$  − периодического решения системы (3) при различных значениях параметра 𝜀 в случае 3).

Рис. 6. График фазовой траектории системы (3) в конфигурационном пространстве 𝑂𝑞₁𝑞₂ при различных 𝜀 в случае 3).

Заключение.

Из формулы (21) следует, что каждая компонента $\frac{2\pi }{3}$ – периодического решения системы (3) имеют полюс первого порядка в точке 𝜀 = 0 и зависит от тех же начальных фаз ${\theta }_{ks}$ и амплитуд $r_{ks}$, что и периодические функции 𝐹1(t) и 𝐹2(t).