Том 33, № 4 (2025)
От редактора
431-434
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос
Метод построения полной бифуркационной картины краевой задачи для нелинейных уравнений в частных производных: применение теоремы Колмогорова-Арнольда
Аннотация
Цель настоящего исследования — разработка численного метода бифуркационного анализа для нелинейных уравнений в частных производных, основанного на методе сведения уравнений в частных производных к обыкновенным с использованием теоремы Колмогорова-Арнольда. Методы. В данной работе описывается метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным с использованием теоремы Колмогорова-Арнольда, а также метод бифуркационного анализа нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты. В работе представлен новый метод решения и бифуркационного анализа нелинейных краевых задач для уравнений в частных производных, допускающих вариационную постановку. Метод был применён к нелинейной двумерной задаче Брату с граничными условиями типа Дирихле. Заключение. Разработан новый метод бифуркационного анализа для нелинейных уравнений в частных производных, а именно был предложен метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным, который позволяет применять разработанный аппарат бифуркационного анализа для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод позволяет строить бифуркационные картины для нелинейных уравнений в частных производных произвольного вида.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):435-465
435-465
Прикладные задачи нелинейной теории колебаний и волн
Нелинейная динамика цилиндрического резонатора волнового твердотельного гироскопа при разном числе электростатических датчиков управления
Аннотация
Цель данного исследования — выявить различие в нелинейностях математических моделей динамики и нелинейных эффектах динамики цилиндрического резонатора волнового твердотельного гироскопа при использовании разного количества электростатических датчиков управления. Методы. В данной работе рассматривается нелинейность колебаний резонатора как следствие действия электростатических сил датчиков управления при учёте конечного отношения малого прогиба резонатора к малому зазору электростатического датчика. Для построения приближённых математических моделей используется теорема Тихонова о предельном переходе, а также учитывается малый параметр, сингулярно входящий в систему дифференциальных уравнений. Уравнения динамики резонатора осредняются по методу Крылова – Боголюбова. Результаты. Определено отличие нелинейных слагаемых в уравнениях динамики резонатора при использовании восьми и шестнадцати датчиков управления. Установлено, что нелинейные эффекты проявляются сильнее в случае гироскопа с шестнадцатью датчиками управления: больше угловая скорость дрейфа и смещение резонансного пика амплитудно-частотной характеристики, чем в случае с восьмью датчиками управления. Показано, что в случае схемы с восьмью датчиками управления угловая скорость дрейфа имеет переменное значение, а также содержит малую некомпенсируемую составляющую. Заключение. Построены математические модели динамики цилиндрического резонатора волнового твердотельного гироскопа, которые учитывают нелинейности, вызванные возбуждением колебаний восьмью и шестнадцатью электростатическими датчиками управления. Показано отличие нелинейных эффектов динамики резонатора волнового твердотельного гироскопа при использовании разного числа датчиков управления: угловой скорости дрейфа и смещения резонансного пика амплитудно-частотной характеристики. Сделаны выводы о применении схемы с восьмью датчиками управления.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):466-484
466-484
Свободные линейные колебания вязкоупругой сферической оболочки с заполнителем
Аннотация
Цель. Тонкие многослойные оболочки широко применяются в авиастроении, судостроении и машиностроении. В последнее время возрос интерес к динамическому расчету оболочечных конструкций под воздействием различных нагрузок. В данной работе изучается действие движущегося нормального внутреннего давления на вязкоупругую цилиндрическую оболочку. Методы. Вязкоупругая среда, заполняющая сферическую оболочку, имеет значительно меньший мгновенный модуль упругости, чем оболочка. Решение представлено для свободных колебаний вязкоупругой системы «оболочка – заполнитель». Построено аналитическое частотное уравнение в виде трансцендентного уравнения, которое решается численно методом Мюллера. Результаты. Обнаружено, что при некоторых значениях вязкоупругих и плотностных параметров возникают низкочастотные собственные колебания. Эти колебания представляют собой апериодическое движение, так как мнимая часть собственной частоты велика. Для вязкоупругих механических систем выявлена зависимость коэффициентов демпфирования от физико-механических параметров. Заключение. Построена теория и методы расчета комплексных собственных частот колебаний упругой сферической неоднородности в упругой среде. Проведена классификация таких колебаний на радиальные, крутильные и сфероидальные. Задача сводится к нахождению тех частот, при которых система уравнений движения имеет ненулевые решения в классе бесконечно дифференцируемых функций.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):485-496
485-496
Волоконно-оптический гироскоп с системой снижения шума в выходном сигнале: влияние параметров системы на шумоподавление
Аннотация
Цель настоящей работы заключается в определении оптимальных параметров согласования сигналов измерительных каналов системы снижения шума выходного сигнала волоконно-оптического гироскопа. Методы. В работе анализируется схема волоконно-оптического гироскопа с системой снижения уровня шума выходного сигнала на основе вычитания сигнала опорного измерительного канала, содержащего шум интенсивности источника оптического излучения из сигнала основного измерительного канала, содержащего полезный информационный сигнал и шумовую составляющую. Определено четыре условия согласования сигналов, невыполнение которых может привести к снижению эффективности шумоподавления или увеличению уровня шума. Для каждого из рассматриваемых условий определены параметры системы снижения шума и выведены математические зависимости их влияния на уровень спектральной плотности шума в выходном сигнале гироскопа, проведено математическое моделирование в широком диапазоне изменения рассматриваемых параметров. Для подтверждения полученных результатов проведена компьютерная симуляция работы цифрового волоконно-оптического гироскопа с замкнутым контуром обратной связи по измерению угловой скорости и системой снижения шума выходного сигнала в условиях варьирования параметров системы снижения уровня шума. Результаты. Для каждого рассматриваемого параметра получены форма и степень влияния на уровень шума, а также определено оптимальное значение каждого параметра, при котором наблюдается минимальное значение спектральной плотности шума в выходном сигнале. Заключение. Проведенное исследование подтверждает правильность вывода аналитических выражений, описывающих формирование шумовой составляющей выходного сигнала волоконно-оптического гироскопа с системой снижения уровня шума в условиях неполного согласования сигналов основного и опорного измерительных каналов. Получена количественная оценка требований к точности этого согласования по таким параметрам как: согласование во времени, согласование по интенсивности сигнала, по полосе пропускания и по состоянию поляризации оптического излучения.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):497-512
497-512
Динамическая модель возникновения экономических циклов
Аннотация
Цель. Изучение возможности возникновения экономических колебаний на основе модели производственной сети с кооперативными и конкурентными типами связей. В качестве элемента сети рассматривается модель производства в виде типовой системы автоматического управления добавленной стоимостью - переменной, определяющей прибыльность производства. Методы. Качественно-численные методы теории нелинейных динамических систем. Результаты. Моделирование нелинейной динамики малых ансамблей связанных элементов-производств указывает на существенную роль связей, в частности, введение антагонистических (конкурентных) связей приводит к возникновению регулярных и нерегулярных экономических колебаний (циклов).
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):513-530
513-530
Новое в прикладной физике
О структуре течения вязкой жидкости при периодических воздействиях, не имеющих выделенного направления в пространстве
Аннотация
Целью работы является обнаружение и изучение особенностей динамики вязкой жидкости, испытывающей периодические по времени воздействия, не имеющие выделенного направления в пространстве, в возможно более простых гидромеханических условиях (способных обеспечить нетривиальное поведение жидкости). Методы. Использованы аналитические методы исследования краевых задач для уравнений Навье–Стокса и неразрывности — метод возмущений, метод Фурье. Результаты. Поставлена и решена новая задача о течении вязкой жидкости. Гидромеханическая система состоит из несжимаемой вязкой жидкости и движущейся абсолютно твердой стенки, оказывающей на жидкость периодические воздействия. Обнаружена новая особенность динамики вязкой жидкости, состоящая в том, что — в простейших гидромеханических условиях — жидкость на фоне колебаний (в среднем по времени) совершает движение нового типа – стационарное, затухающее с расстоянием от стенки движение, характеризующееся наличием слоистой структуры. Заключение. Полученные результаты могут использоваться, в частности, в научном поиске подходов к управлению гидромеханическими системами, при разработке методов организации заданных течений жидких сред.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):531-544
531-544
Нелинейная динамика и нейронаука
Исследование волновых процессов и ритмической активности головного мозга человека с применением системы ортогональных функций Уолша
Аннотация
Цель настоящего исследования — изучение волновых процессов и ритмической активности головного мозга на основе многомасштабных параметрических отображений электроэнцефалограмм, полученных в результате алгоритмического применения системы дискретных функций. Методы. Для визуализации был использован разработанный ранее разномасштабный метод построения параметрических отображений молекулярно-генетической информации, при котором набор четырёх нуклеотидов рассматривается как система ортогональных функций Уолша. Результаты. В статье предложен новый метод визуализации данных электроэнцефалографии для исследования ритмических и волновых процессов биоэлектрической активности головного мозга. Для анализа данных электроэнцефалографии предварительно был осуществлен этап перекодирования зарегистрированных амплитуд путём взаимно-однозначного преобразования ЭЭГ-сигнала в символьную последовательность, алфавит которой состоял из четырех символов. На основе этого метода было проведено сравнение сигналов ЭЭГ испытуемого в состоянии покоя и при умственной нагрузке. В исследовании анализировали показания электродов, регистрирующих биопотенциалы лобных долей головного мозга. Заключение. Новые методы позволили выявить различные конфигурации кластеров в частотном пространстве визуализации, что можно использовать для сравнительного анализа энцефалограмм и выявления особенностей регистрируемых ЭЭГ-сигналов. Разработано специализированное программное обеспечение как инструмент изучения ритмической активности головного мозга путём построения параметрических отображений электроэнцефалограмм.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):545-556
545-556
Сравнение ансамблевых и корреляционных графов в задаче классификации состояний мозга на основе фМРТ данных
Аннотация
Изучение функциональных сетей мозга, которые поддерживают когнитивные процессы, является одной из центральных задач современной нейронауки. Функциональная магнитно-резонансная томография (фМРТ) широко используется для получения данных об активности мозга. Однако, высокая размерность и динамическая природа фМРТ данных делает их обработку сложной задачей. Сетевые методы представления данных предлагают перспективный подход, позволяющий описывать мозг в виде сети, где узлы соответствуют областям мозга, а рёбра — функциональным связям между ними. Это позволяет глубже исследовать топологию мозговых сетей и их роль в когнитивных состояниях. Цель данной работы — сравнить ансамблевые и корреляционные графы в задаче классификации состояний мозга на основе данных функциональной магнитно-резонансной томографии (фМРТ). Методы. В данной работе представлен новый метод репрезентации фМРТ данных в графовой форме, основанный на ансамблевом обучении. Для демонстрации эффективности метода представления данных, мы сравнили его с корреляционными графы, применяя затем для классификации состояний мозга графовую нейронную сеть. Результаты и Заключение. Наши результаты показали, что ансамблевые графы приводят к существенно более точной и стабильной классификации. Лучшая эффективность классификации позволяет предположить, что с использованием этого метода мы более эффективно определяем функциональные связи между регионами мозга при выполнении когнитивных задач.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):557-566
557-566
Взаимодействие и синхронизация ритмов в модели лимбической системы мозга
Аннотация
Цель настоящего исследования – построение сетевой математической модели взаимодействия ритмов лимбической системы мозга при распространении патологической эпилептиформной активности из её фокуса. Методы. На основе известных анатомических правил и биофизических законов строятся сети модельных нейронов гиппокампа, энторинальной и лобной коры обоих полушарий. Рассматривается процесс синхронизации хаотической динамики в относительно большой сети разнородных нейроосцилляторов сигналом кольцевого генератора регулярной активности (модели эпилептического фокуса). Результаты. Показано, что, несмотря на существенные различия между модельными уравнениями разных типов клеток и наличие собственных основных частот колебаний в бета- и гамма-диапазонах в модели лимбической системы в фоновом режиме, внешнее импульсное регулярное воздействие может приводить к синхронизации и частичному подавлению собственной активности, смещению пиков в спектре. Данный вывод оказывается справедлив не для одной модели, а для целого класса моделей, различающихся матрицами связей. Заключение. На биологически релевантной модели лимбической системы обоих полушарий мозга впервые показан механизм распространения патологического ритма активности, отвечающего за эпилептический приступ.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):567-589
567-589
Рекуррентная нейронная сеть, состоящая из систем ФитцХью–Нагумо: необходимые для обучения характеристики
Аннотация
Цель настоящего исследования — установить возможность и особенности обучения рекуррентной нейронной сети, состоящей из систем ФитцХью–Нагумо с запаздывающей обратной связью, для предсказания импульсного (спайкового сигнала). Методы. Рассматриваемая сеть состояла из N=60 систем ФитцХью–Нагумо с разным временем запаздывания. В процессе обучения решалась задача, какой именно нейрон должен быть активирован и с какой силой запаздывающей обратной связи. Обучение сети проводилось при помощи градиентного спуска с разных начальных условий. В процессе исследований было обнаружено, что использование стандартных для обучения рекуррентных сетей характеристик, таких как среднеквадратическая ошибка или средняя абсолютная ошибка, не применимо в рамках данной задачи, поэтому был предложен альтернативный метод вычисления функции потерь. Результаты. Новая предложенная комбинированная функция потерь представляет собой сумму среднеквадратической ошибки и ошибки межспайкового интервала, и поэтому обладает следующими преимуществами: 1 – учитывает периодичность спайков и межспайковые интервалы, 2 – адекватно реагирует на отсутствие выходного сигнала сети, 3 – наряду с импульсной динамикой учитывает и колебания небольшой амплитуды, что позволяет предсказывать сложные квазипериодические сигналы. Было показано, что градиентный спуск может быть использован для поставленной задачи, но из-за нелинейности функции потерь необходимо использовать несколько начальных условий. Чем больше начальных условий – тем точнее результат. Заключение. Была успешно решена задача предсказания импульсного (спайкового) сигнала при помощи самозамкнутой рекуррентной нейронной сети, состоящей из систем ФитцХью–Нагумо с запаздывающей обратной связью. Наглядно было показано, какие особенности при этом должна учитывать функция потерь, и каким образом должен быть реализован градиентный спуск.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(4):590-604
590-604