Метод построения полной бифуркационной картины краевой задачи для нелинейных уравнений в частных производных: применение теоремы Колмогорова-Арнольда

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Цель настоящего исследования — разработка численного метода бифуркационного анализа для нелинейных уравнений в частных производных, основанного на методе сведения уравнений в частных производных к обыкновенным с использованием теоремы Колмогорова-Арнольда. Методы. В данной работе описывается метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным с использованием теоремы Колмогорова-Арнольда, а также метод бифуркационного анализа нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты. В работе представлен новый метод решения и бифуркационного анализа нелинейных краевых задач для уравнений в частных производных, допускающих вариационную постановку. Метод был применён к нелинейной двумерной задаче Брату с граничными условиями типа Дирихле. Заключение. Разработан новый метод бифуркационного анализа для нелинейных уравнений в частных производных, а именно был предложен метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным, который позволяет применять разработанный аппарат бифуркационного анализа для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод позволяет строить бифуркационные картины для нелинейных уравнений в частных производных произвольного вида.  

Об авторах

Василий Александрович Громов

Высшая школа экономики

ORCID iD: 0000-0001-5891-6597
Scopus Author ID: 35228959300
ResearcherId: M-6614-2015
101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20

Корней Кириллович Томащук

Высшая школа экономики

101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20

Юрий Николаевич Бесчастнов

Высшая школа экономики

ORCID iD: 0000-0001-6511-5894
101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20

Артём Александрович Сидоренко

Высшая школа экономики

101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20

Василий Владимирович Какурин

Высшая школа экономики

ORCID iD: 0009-0004-3660-871X
101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20

Список литературы

  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений: Монодромия и асимптотики интегралов. M.: Наукa, 1984. 355 c.
  2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2 т. М.: Мир. Т. 1. 1984. 350 c. T. 2. 1984. 286 c.
  3. Gilmore R. Catastrophe theory // In: Trigg G. L. (ed) Encyclopedia of Applied Physics. Vol. 3. N.Y.: Wiley, 1992. P. 85–115.
  4. Obodan N. I., Gromov V. A. Numerical analysis of the branching of solutions to nonlinear equations for cylindrical shells // Int. Appl. Mech. 2006. Vol. 42. P. 90–97. doi: 10.1007/s10778-006-0062-7.
  5. Obodan N. I., Lebedeyev O. G., Gromov V. A. Nonlinear Behaviour and Stability of Thin-Walled Shells. Berlin: Springer, 2013. 178 p. doi: 10.1007/978-94-007-6365-4.
  6. Obodan N. I., Adlucky V. J., Gromov V. A. Rapid identification of pre-buckling states: a case of cylindrical shell // Thin-Walled Structures. 2018. Vol. 124. P. 449–457. doi: 10.1016/j.tws. 2017.12.034.
  7. Obodan N. I., Adlucky V. J., Gromov V. A. Prediction and control of buckling: the inverse bifurcation problems for von Karman equations // In: Dutta H., Peters J. (eds) Applied Mathematical Analysis: Theory, Methods, and Applications. Cham: Springer, 2020. P. 353–381. doi: 10.1007/978-3-319- 99918-0_11.
  8. Obodan N. I., Gromov V. A. The complete bifurcation structure of nonlinear boundary problem for cylindrical panel subjected to uniform external pressure // Thin-Walled Structures. 2016. Vol. 107. P. 612–619. doi: 10.1016/j.tws.2016.07.020.
  9. Obodan N. I., Gromov V. A. Nonlinear behavior and buckling of cylindrical shells subjected to localized external pressure // Journal of Engineering Mathematics. 2013. Vol. 78. P. 239–248. doi: 10.1007/s10665-012-9553-1.
  10. Antman S. S. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems. San Francisco: WA Benjamin, 1969. 434 p.
  11. Kantorovich L. V. Approximate Methods of Higher Analysis. N.Y.: Interscience Publishers, 1958. 681 p.
  12. Awrejcewicz J., Krysko-Jr. V. A., Kalutsky L. A., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Review of the methods of transition from partial to ordinary differential equations: From macro- to nano-structural dynamics // Arch. Computat. Methods Eng. 2021. Vol. 28. P. 4781–4813. doi: 10.1007/s11831- 021-09550-5.
  13. Gromov V. A. On an approach to solve nonlinear elliptic equations of von Karman type // Вiсник Днiпропетровського унiверситету Серiя Моделювання. 2017. Т. 25, № 8. С. 122–141. doi: 10.15421/141707.
  14. Gromov V. A. Postcritical Behaviour and Solution Branching for the Cylindrical Shell Theory Nonlinear Problems. PHD Thesis. Dnepropetrovsk: Dnepropetrovsk State University, 2006.
  15. Колмогоров A. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 108. С. 179–182.
  16. Maiorov V., Pinkus A. Lower bounds for approximation by MLP neural networks // Neurocomputing. 1999. Vol. 25, iss. 1–3. P. 81–91. doi: 10.1016/S0925-2312(98)00111-8.
  17. Sprecher D. A. A numerical implementation of Kolmogorov’s superpositions // Neural Netw. 1996. Vol. 9, no. 5. P. 765–772. doi: 10.1016/0893-6080(95)00081-x.
  18. Sprecher D. A. A numerical implementation of Kolmogorov’s superpositions II // Neural Netw. 1997. Vol. 10, no. 3. P. 447–457. doi: 10.1016/s0893-6080(96)00073-1.
  19. Shapiro H. S. Topics in Approximation Theory. Berlin: Springer, 1971. 278 p. DOI: 10.1007/ BFb0058976.
  20. Doss R. Representations of continuous functions of several variables // American Journal of Mathematics. 1976. Vol. 98, no. 2. P. 375–383. doi: 10.2307/2373891.
  21. Витушкин А. Г. О многомерных вариациях. M.: Гостехиздат, 1955. 220 с.
  22. Bratu G. Sur les equations integrales non lineaires // Bulletin de la Soci et e Math ematique de France. 1914. Vol. 42. P. 113–142. doi: 10.24033/bsmf.943.
  23. Koppen M. On the training of a Kolmogorov network // In: Dorronsoro J. R. (ed) Artificial Neural Networks – ICANN 2002. Lecture Notes in Computer Science, vol. 2415. Berlin: Springer, 2002. P. 474–479. doi: 10.1007/3-540-46084-5_77.
  24. Actor J. Computation for the Kolmogorov Superposition Theorem. PhD Thesis. Houston: Rice University, 2018. 148 p.
  25. Liu Z., Wang Y., Vaidya S., Ruehle F., Halverson J., Soljaci c M., Hou T. Y., Tegmark M. KAN: Kolmogorov-Arnold networks // arXiv:2404.19756. ArXiv Preprint, 2024. DOI: 10.48550/ arXiv.2404.19756.
  26. Lorentz G. G. Approximation of Functions. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1966. 188 p.
  27. Nguyen V. P., Rabczuk T., Bordas S., Duflot M. Meshless methods: A review and computer implementation aspects // Mathematics and Computers in Simulation. 2008. Vol. 79, iss. 3. P. 763–813. doi: 10.1016/j.matcom.2008.01.003.
  28. Железко И. П., Ободан Н. И. Вторичные ветвления и закритическое поведение тонкостенных оболочек при неоднородной деформации // ПММ. 1997. Т. 61, № 2. С. 344–349.
  29. Poston T., Stewart I. Catastrophe Theory and Its Applications. Gloucester: Courier Corporation, 2014. 512 p.
  30. Gromov V. A., Borisenko E. A. Predictive clustering on non-successive observations for multi-step ahead chaotic time series prediction // Neural Comput. Applic. 2015. Vol. 26. P. 1827–1838. doi: 10.1007/s00521-015-1845-8.
  31. Андреев Л. В., Ободан Н. И., Лебедев A. Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988. 208 с.
  32. Фомин С., Алексеев В., Тихомиров В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005. 385 с.
  33. Odejide S. A., Aregbesola Y. A. S. A note on two dimensional Bratu problem // Kragujevac Journal of Mathematics. 2006. Vol. 29. P. 49–56.
  34. Temimi H., Ben-Romdhane M., Baccouch M., Musa M. O. A two-branched numerical solution of the two-dimensional Bratu’s problem // Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 153. P. 202–216. doi: 10.1016/j.apnum.2020.02.010.
  35. Boyd J. P. An analytical and numerical study of the two-dimensional Bratu equation // J. Sci. Comput. 1986. Vol. 1. P. 183–206. doi: 10.1007/BF01061392.
  36. Витушкин A. Г., Хенкин Г. M. Линейные суперпозиции функций // УМН. 1967. Т. 22, № 1. С. 77–124.
  37. Gromov V. A. Catastrophes of cylindrical shell // In: Dutta H. (ed) Mathematical Modelling: Principle and Theory. Providence: American Mathematical Society, 2023. P. 215–244. DOI:10.1090/ conm/786/15798.
  38. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. N.Y.: Wiley, 2008. 575 p.
  39. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
  40. Agapov M. S., Kuznetsov E. B., Shalashilin V. I. Numerical modeling of the problem of strong nonlinear deformation in Eulerian coordinates // Math. Models Comput. Simul. 2009. Vol. 1. P. 263–273. doi: 10.1134/S2070048209020094.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).