Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 65, № 2 (2025)
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ВЫВОД ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТИ СНИЗУ ДЛЯ БИЛИНЕЙНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ВЕСОМ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация
Изучается трехслойный по времени билинейный метод конечных элементов с весом для начально-краевой задачи для одномерного волнового уравнения. Дается вывод оценок погрешности снизу порядков (h + τ)2λ/3, 0 ⩽ λ ⩽ 3 в нормах L1 и W1,1 h . В них каждая из двух начальных функций или свободный член в уравнении принадлежат пространствам типа Гёльдера соответствующих порядков гладкости. Они обосновывают точность по порядку соответствующих известных оценок погрешности (сверху) метода конечных элементов с весом второго порядка аппроксимации для гиперболических уравнений второго порядка, а также невозможность их улучшения при максимальном ослаблении степени суммируемости в нормах погрешности и максимальном ее усилении в нормах данных. Вывод основан на методе Фурье. Библ. 10.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):140-149
140-149
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ
Аннотация
Классическая задача интерполяции и аппроксимации функций полиномами здесь рассматривается как частный случай спектрального представления функций. Этот подход был ранее развит нами для ортогональных полиномов Лежандра и Чебышёва. Здесь в качестве базисных функций мы используем фундаментальные полиномы Ньютона. Показано, что спектральный подход имеет вычислительные преимущества по сравнению с методом разделенных разностей. В ряде задач интерполяции Ньютона и Эрмита неразличимы при нашем подходе и вычисляются по одним и тем же формулам. Также вычислительные алгоритмы, предложенные нами ранее с использованием ортогональных полиномов, переносятся без изменений на полиномы Ньютона и Эрмита. Библ. 13.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):150-161
150-161
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД ЧЕБЫШЁВА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Разработаны приближенные численные алгоритмы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений вида обобщенного уравнения Прандтля. Предлагаемые приближенные схемы основаны на представлении решения уравнения в виде разложения по ортогональному базису полиномов Чебышёва. Использование известных спектральных соотношений позволило получить аналитическое выражение для сингулярной составляющей уравнения. Как следствие, предлагаемая методика демонстрирует превосходную точность и экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения относительно степени интерполяционных многочленов. Вычислительные качества предложенной методики продемонстрированы на тестовом примере. Библ. 12. Фиг. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):162-171
162-171
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ВОЗМОЖНОСТИ ЗОНДИРОВАНИЙ НА КОНЕЧНОМ НАБОРЕ ЧАСТОТ
Аннотация
Рассмотрена двумерная среда, в которой поля описываются уравнением Гельмгольца. Изучена линеаризованная постановка задачи, которая в итоге сводится к восстановлению неизвестной правой части неоднородного уравнения Гельмгольца в бесконечной полосе. Указанная правая часть в данной работе берется в виде суммы дельта-функций, которые можно интерпретировать как суммарные проводимости тонких слоев. В качестве информации для решения обратной задачи используются значения решения уравнения Гельмгольца и нормальной производной решения на границе полосы для нескольких значений параметра в уравнении Гельмгольца. Эти данные можно интерпретировать как значения напряженностей электрического и магнитного полей на границе полосы для конечного набора частот. С помощью разложения в ряды Фурье получено интегральное уравнение, связывающее искомые величины с данными для решения обратной задачи. При использовании преобразования Фурье установлены условия однозначности решения обратной задачи. Наряду с этим даны примеры многозначности решения обратной задачи в неожиданных ситуациях. Библ. 12.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):172-179
172-179
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР РАЗРЫВОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ МАГНИТОУПРУГОЙ СРЕДЫ И РАЗРАБОТКА ОБЩЕГО ПОДХОДА К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Аннотация
Рассматриваются численные решения уравнений магнитоупругости. Применяется численная схема на основе центральных разностей для пространственных производных и метода Рунге–Кутты четвертого порядка для временных производных. В качестве начальных данных используются данные типа уединенной волны и сглаженной ступеньки (задача о распаде разрыва). Исследование проводится от более простых уравнений к более сложным. Выявляются новые типы структур разрывов, исследуются условия корректности уравнений. Библ. 9. Фиг. 5.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):180-192
180-192
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ БИКОМПАКТНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Аннотация
Одномерные задачи для системы уравнений Максвелла охватывают широкий круг важных прикладных проблем. Среди них – задачи фотоники, плазмоники, СВЧ-техники и др. Для таких задач нами ранее была предложена бикомпактная (двухточечная полностью консервативная) разностная схема. Построено точное решение соответствующей системы сеточных уравнений. Оно применимо для задач в кусочно-однородных средах при произвольной конфигурации объемных и поверхностных токов. Построенное решение позволяет кардинально снизить трудоемкость расчета таких задач. Библ. 8.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):193-202
193-202
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПУАЗЕЙЛЕВСКИХ ТЕЧЕНИЙ ПОЛИМЕРНОЙ ЖИДКОСТИ ПОД ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Аннотация
Получена система нестационарных уравнений с частными производными, описывающая неизотермические течения пуазейлевского типа несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с сечением между двумя софокусными эллипсами. Для системы поставлена начально-краевая задача, описывающая течение в дюзе 3D принтера с нагревательным элементом при импульсном изменении градиента давления в дюзе и температуры элемента. Для численного решения задачи разработан алгоритм, учитывающий особенности искомых функций и основанный на полиномиальных и дробно-рациональных приближениях по пространственным переменным и на применении неявной разностной схемы по времени. Исследованы распределения скорости и температуры жидкости в канале, зависимости потока и средней температуры от времени, рассчитаны критические соотношения между величинами амплитуд и продолжительностей импульсных воздействий на жидкость, при задании которых течение теряет устойчивость. Библ. 32. Фиг. 9. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):203-221
203-221
КОМБИНИРОВАНИЕ СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА С РАЗРЫВНЫМ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ СРЕДАХ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Аннотация
В данной работе рассматривается пример совместного использования сеточно-характеристического метода на регулярных структурированных расчетных сетках и разрывного метода Галеркина на тетраэдральных сетках для решения трехмерной прямой задачи распространения упругих волн в геологической среде, состоящей из четырех слоев, представляемых в виде линейно-упругой среды, с разными параметрами и произвольными криволинейными границами. Для сшивки численных методов используется специальный алгоритм, учитывающий особенности перехода от нерегулярной тетраэдральной расчетной сетки к регулярной структурированной расчетной сетки в трехмерном пространстве. Приведен сравнительный анализ сходимости полученного комбинированного метода с сеточно-характеристическим методом на криволинейных структурированных расчетных сетках в зависимости от изменения шага по пространственным направлениям. Получено волновое поле модуля скорости распространения возмущения от источника. Библ. 32. Фиг. 14. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):222-234
222-234
ИНФОРМАТИКА
ДОСТАТОЧНЫЙ РАЗМЕР ВЫБОРКИ: БУТСТРАПИРОВАНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ
Аннотация
Определение подходящего размера выборки имеет решающее значение для построения эффективных моделей машинного обучения. Существующие методы часто либо не имеют строгого теоретического обоснования, либо привязаны к конкретным статистическим гипотезам о параметрах модели. В настоящей работе представляются два новых метода, основанных на значениях правдоподобия на бутстрапированных подвыборках. Демонстрируется корректность одного из этих методов на в модели линейной регрессии. Вычислительные эксперименты как с синтетическими, так и с реальными наборами данных показывают, что предложенные функции сходятся по мере увеличения размера выборки, что подчеркивает практическую полезность подхода. Библ. 13. Фиг. 4. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2025;65(2):235-242
235-242