Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 64, № 7 (2024)
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ НА НЕСТАНДАРТНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ
Аннотация
При приближенном решении краевых задач для уравнений с частными производными широко используются разностные методы. Наиболее просто строятся сеточные аппроксимации при разбиении расчетной области на прямоугольные ячейки. Обычно узлы сетки совпадают с вершинами ячеек. Помимо таких узловых аппроксимаций применяются также сетки с узлами в центрах ячеек. Краевые задачи удобно формулировать в терминах инвариантных операторов векторного (тензорного) анализа, которым сопоставляются соответствующие сеточные аналоги. В работе строятся аналоги операторов градиента и дивергенции на нестандартных прямоугольных сетках, узлы которых состоят как из вершин расчетных ячеек, так и их центров. Предложенный подход иллюстрируется аппроксимациями краевой задачи для стационарного двумерного уравнения конвекции-диффузии. Отмечены ключевые особенности построения аппроксимаций для векторных задач при ориентации на прикладные задачи механики твердого тела. Библ. 20. Фиг. 6.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1097-1111
1097-1111
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВИРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗА
Аннотация
Для проведения термодинамического расчета цикла в двухфазной области необходимо уравнение состояния рабочего тела, в качестве которого используется вириальное уравнение с неизвестными функциями температуры. Построена вырожденная система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, которые являются значениями вириальных функций на дискретной температурной сетке. На основе метода регуляризации разработан вариациационно-итерационный алгоритм решения вырожденной системы уравнений. Проведен вычислительный эксперимент, подтверждающий работоспособность метода.Библ. 12. Фиг. 8.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1112-1127
1112-1127
MDM-АЛГОРИТМ И ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТРА
Аннотация
При разработке численных методов решения нелинейных минимаксных задач возникла следующая вспомогательная задача: в выпуклой оболочке некоторого конечного множества в евклидовом пространстве найти точку, имеющую наименьшую норму. В 1971 г. Б. Митчелл, В. Демьянов и В. Малоземов предложили нестандартный алгоритм решения этой задачи, который в дальнейшем получил название MDM-алгоритма (по заглавным буквам фамилий авторов). В данной статье рассматривается конкретная минимаксная задача: найти шар наименьшего объема, содержащий заданное конечное множество точек. Она называется задачей Сильвестра и является частным случаем задачи о чебышевском центре множества. Задаче Сильвестра сопоставляется выпуклая задача квадратичного программирования с симплексными ограничениями. Для решения этой задачи в статье предлагается использовать вариант MDM-алгоритма. С его помощью строится минимизирующая последовательность планов, такая, что у соседних планов различаются только две компоненты. Номера этих компонент выбираются на основе некоторых условий оптимальности. Доказывается слабая сходимость полученной последовательности планов, из которой следует сходимость по норме соответствующей последовательности векторов к единственному решению задачи Сильвестра. Приводятся четыре характерных примера на плоскости. Библ. 10. Фиг. 23.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1128-1144
1128-1144
О НОВЫХ КЛАССАХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ И О σ-КОММУТИРОВАНИИ (σ ̸= 0, ±1) ТЁПЛИЦЕВОЙ И ГАНКЕЛЕВОЙ МАТРИЦ В РАМКАХ УНИФИЦИРОВАННОГО ПОДХОДА
Аннотация
В предыдущей работе авторов был предложен унифицированный подход к конструированию пар матриц (𝑇, 𝐻), решающих задачу о σ-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц. В настоящей статье этот подход применяется к выводу новых классов решений. Библ. 8.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1145-1162
1145-1162
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ГРАНИЧНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМ КОНОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ ОПЕРАТОРА КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА И НЕЛИНЕЙНОМ ЧЛЕНЕ УРАВНЕНИЯ
Аннотация
В работе изучаются разностные аппроксимации задачи оптимального управления с граничным наблюдением конормальной производной состояния, описываемой задачей Дирихле для полулинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах оператора конвективного переноса и нелинейном члене уравнения. Рассматриваются вопросы корректности постановки задачи оптимального управления. Строятся разностные аппроксимации задачи оптимального управления. Изучаются вопросы сходимости аппроксимаций по функционалу и управлению. Проводится регуляризация аппроксимаций. Библ. 23.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1163-1182
1163-1182
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ БЫСТРОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ТОЧКИ ЗАПУСКА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Аннотация
Приведены основы быстрой универсальной тригонометрической интерполяции для непериодических функций, позволяющей получить приближенное решение с высокой точностью. Получены формулы для вычисления координат точки запуска летательного аппарата (ЛА) с высокой точностью за счет одновременного применения метода универсальных быстрых тригонометрических интерполяций и метода экстраполяций на концах некоторого заданного отрезка. Численные эксперименты показывают, что после запуска первого ЛА координаты пускового механизма могут быть определены за 7 сек с точностью 10−17 м. Библ. 17. Фиг. 3. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1183-1195
1183-1195
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ДУАЛИЗМ В ТЕОРИИ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ
Аннотация
Статья посвящена дуализму теорий солитонных решений и решений функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Представлены основы формализма такого дуализма, центральным элементом которого является понятие солитонного букета, а также дуальная пара “функция-оператор”. В рамках такого подхода удается описать все пространство солитонных решений с заданной характеристикой, а также их асимптотику как по пространству, так и по времени. На примере модели транспортного потока на манхэттенской решетке описано все семейство ограниченных солитонных решений. Библ. 28. Фиг. 2.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1196-1216
1196-1216
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА МАТРИЦ РАССЕЯНИЯ НА ЗАДАЧИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Аннотация
В последние годы большое внимание уделяется устройствам интегральной фотоники на основе нелинейных сред. Предложено обобщение метода матриц переноса на задачи в плоскопараллельных слоистых средах с квадратичной и кубической нелинейностью. Падающее излучение может быть как монохроматической волной, так и немонохроматическим импульсом. Ранее такие задачи удавалось решать только сеточными методами. Предлагаемые подходы существенно расширяют область применимости матричных методов и кардинально превосходят по экономичности известные сеточные методы. Библ. 16. Фиг. 4.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1217-1232
1217-1232
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ АППРОКСИМАЦИЙ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНЫХ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ДВУМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
Аннотация
Предлагаются полуаналитические аппроксимации касательной производной (КП) и нормальной производной (НП) потенциала простого слоя (ППС) вблизи границы двумерной области, выполненные в рамках коллокационного метода граничных элементов и не требующие аппроксимации координатных функций границы. Для получения аппроксимаций используются аналитическое интегрирование по гладкой компоненте функции расстояния и специальный аддитивно-мультипликативный способ выделения особенностей. Доказано, что такие аппроксимации обладают более равномерной сходимостью вблизи границы области по сравнению с аналогичными аппроксимациями КП и НП ППС на основе простого мультипликативного способа выделения особенностей. Установлена одна из причин сильно неравномерной сходимости традиционных аппроксимаций КП и НП ППС на основе квадратурных формул Гаусса. Библ. 26. Табл. 2.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1233-1252
1233-1252
ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕТОЧНОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ТЕОРИИ ДИСКРЕТНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Аннотация
В работе рассматривается проблема однозначного определения фундаментального решения сеточного аналога уравнения Лапласа в рамках теории дискретного гравитационного потенциала. Сеточное фундаментальное решение конечно-разностного аналога уравнения Лапласа играет ключевую роль при восстановлении непрерывно распределенного источника гравитационного или магнитного поля по разнородным и разноточным данным, полученным в точках некоторого сеточного множества. Библ. 15.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1253-1267
1253-1267
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА–АМПЕРА
Аннотация
Для кинетической модели плазмы, базирующейся на уравнениях Власова—Ампера, построена неявная схема типа Мак-Кормака. По сравнению с явной схемой она имеет более слабое ограничение на устойчивость, но сохраняет прежнюю вычислительную эффективность, т.е. не использует внутренние итерации. При этом погрешность полной энергии соответствует второму порядку точности алгоритма, а полный заряд (число частиц) сохраняется на сеточном уровне. В качестве моделируемого физического процесса рассматривается формирование плазменных волн, возбуждаемых коротким мощным лазерным импульсом. Библ. 31. Фиг. 8.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1268-1280
1268-1280
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
KP1-СХЕМА УСКОРЕНИЯ ВНЕШНИХ ИТЕРАЦИЙ ПО ОБЛАСТИ ТЕРМАЛИЗАЦИИ НЕЙТРОНОВ И ПО ИСТОЧНИКУ ДЕЛЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПОДКРИТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Аннотация
Для уравнения переноса в трехмерной 𝑟, #, 𝑧 геометрии построена KP1-схема ускорения сходимости внешних итераций по области термализации нейтронов и по источнику деления при решении подкритической краевой задачи, согласованная с Weighted Diamond Differencing (WDD) схемой, а также рассмотрено ее обобщение на случай нодальных Linear Discontinues (LD) и Linear Best (LB)-схем 3-го и 4-го порядка точности по пространственным переменным. Для решения 𝑃1-системы для ускоряющих поправок использован алгоритм, основанный на использовании циклического метода расщепления, аналогичный использованному ранее при построении KP1-схемы ускорения сходимости внутренних итераций. Рассмотрен алгоритм определения энергетической зависимости для ускоряющих поправок KP1-схемы ускорения сходимости внешних итераций. Рассмотрен вопрос выбора критерия сходимости внешних итераций, предложен интегральный по рассеянным вверх по энергии тепловым нейтронам критерий сходимости внешних итераций по области термализации нейтронов. Рассмотрена модификация алгоритма на случай трехмерной 𝑥, 𝑦, 𝑧 геометрии. Приведены численные примеры использования KP1-схемы ускорения сходимости внешних итераций для решения характерных задач переноса нейтронов в трехмерной геометрии. Библ. 39. Фиг. 2. Табл. 7.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1281-1304
1281-1304
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ НА ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАНОЧАСТИЦ ЩЕЛОЧНЫХ И БЛАГОРОДНЫХ МЕТАЛЛОВ
Аннотация
На основе метода дискретных источников построена математическая модель, позволяющая проводить сравнительный анализ влияния объемных и поверхностных квантовых эффектов на оптические свойства наночастиц щелочных и благородных металлов, располагающихся в плотной внешней среде. Установлено существенное отличие в проявлениях объемных и поверхностных квантовых эффектов в частицах щелочного металла. В частности, в таких частицах сдвиг плазмонного резонанса в случае объемного квантового эффекта происходит в область коротких волн (blue shift), в то время как поверхностный эффект приводит к сдвигу в длинноволновую область (red shift). Показано, что этот сдвиг существенно зависит от плотности окружающей среды и может достигать 50 нм в спектральной области. Библ. 26. Фиг. 4.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1305-1313
1305-1313
ЧИСЛЕННАЯ ДИАГНОСТИКА РАЗРУШЕНИЯ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ТЕПЛО-ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОЛУПРОВОДНИКА
Аннотация
Предложена система уравнений с нелинейностью относительно потенциала электрического поля и температуры, описывающая процесс нагрева полупроводниковых элементов электрической платы, причем с течением времени возможно возникновение теплового и электрического “пробоев”. В работе рассматривается метод численной диагностики разрушения решения. В процессе численного исследования этой задачи использовался подход, основанный на сведении исходной системы уравнений в частных производных к дифференциально-алгебраической системе с последующим решением этой системы с помощью одностадийной схемы Розенброка с комплексным коэффициентом. Численная диагностика разрушения точного решения указанной системы уравнений основывалась на методике вычисления апостериорной асимптотически точной оценки погрешности, получаемой при вычислении приближенного решения на последовательно сгущающихся сетках. Получены численные оценки момента времени разрушения для различных начальных условий. Библ. 34. Фиг. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1314-1322
1314-1322
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕСОВЫХ СХЕМ МОНТЕ–КАРЛО ДЛЯ СЛАБОИОНИЗОВАННЫХ РАЗРЕЖЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
Аннотация
Представлено описание процедур метода прямого статистического моделирования Монте—Карло слабоионизованных течений, возникающих при обтекании возвращаемых космических аппаратов. Для реакций ионизации и рекомбинации приводятся выражения для модельной зависимости вероятности реакций от скоростей и энергий реагентов. Представлен алгоритм диссоциативной рекомбинации, вычислительная эффективность реализации которого достигается обходом моделирования взаимодействия электронов и тяжелых частиц. Изложен подход к построению весовой схемы для упругих столкновений и химических реакций, которая существенно повышает вычислительную эффективность расчетов. Представлен пример использования описанных численных моделей и процедур для исследования слабоионизованного течения около возвращаемой капсулы в типичных условиях входа орбитальных космических аппаратов. Результаты расчетов сравниваются с данными измерений параметров плазмы в летном эксперименте. Библ. 32. Фиг. 4. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(7):1323-1334
1323-1334