Mathematical model for reducing active power losses by regulating reactive power at enterprises with continuous production mode

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Снижение потерь активной мощности в электрических сетях является одной из ключевых задач для промышленных предприятий, в особенности с непрерывным циклом производства, таких как металлургические заводы, хлопкоочистительные комплексы и химические предприятия. Эти предприятия потребляют значительные объемы электроэнергии, и даже небольшая доля ее потерь может приводить к значительным финансовым убыткам и снижению эффективности производства. Суточные колебания реактивной мощности создают на таких предприятиях сложности в обеспечении энергетического баланса и увеличивают потери активной мощности, снижая эффективность потребления ими электроэнергии.

Управление реактивной мощностью – один из эффективных способов снижения потерь активной мощности. Как известно, реактивная мощность не выполняет полезной работы, но необходима для поддержания напряжения в сети и обеспечения нормального функционирования электрооборудования. Однако избыток или недостаток реактивной мощности может приводить к значительным потерям активной мощности из-за повышенного тока в сети.

Управление величиной генерации/потребления реактивной мощности позволяет не только снизить потери активной мощности, но и улучшить качество электроэнергии, снизить нагрузку на оборудование и увеличить срок его службы. В современных условиях, когда энергетическая эффективность и экономия ресурсов становятся все более важными, разработка и внедрение математических моделей для управления величиной реактивной мощности на промышленных предприятиях является актуальной задачей [1–7].

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ СОЗДАНИЯ МОДЕЛИ

Потребление электроэнергии на предприятиях состоит из двух основных составляющих: а) постоянная составляющая потребления электроэнергии W₀, не зависящая от основного технологического процесса и включающая расход электроэнергии на освещение, отопление, вентиляцию; б) расход электроэнергии W_тех, зависящий от основного технологического процесса. Очевидно, что общее потребление электроэнергии предприятием равно:

$W=W_0+W_{\text{тех}}$.                                                                                                 (1)

Соответственно, расходы на оплату электроэнергии также состоят из двух частей:

$Z=Z_0+Z_{\text{тех}}$,                                                                                                 (2)

где Z₀ и Z_тех – соответственно, стоимость электроэнергии, не зависящей от основного технологического процесса, и стоимость электроэнергии, потребляемой для обеспечения основного технологического процесса, р. (или другие денежные единицы).

Очевидно, что Z₀ при расчете затрат можно принять постоянной. Эти затраты не зависят не от объема и качества продукции, а от энергосберегающего или энергорасточительного поведения персонала предприятия. Основные затраты зависят от стоимости энергоресурсов, технологического уровня предприятия и стоимости запускаемого оборудования (устройств) – Z_тех. Следовательно, величина Z_тех зависит от производственной культуры на предприятии. Таким образом, целью управления потреблением электроэнергии на предприятиях является минимизация потребления как в основном технологическом процессе, так и для обеспечения вспомогательных нужд. Снижение удельного электропотребления экономически обоснованными методами приводит к снижению себестоимости продукции [8–10].

Основной целью исследования является повышение энергоэффективности предприятий на основе минимизации потерь активной мощности за счёт компенсации реактивной мощности. Исходя из этого, математическое моделирование ориентируется на выравнивание соотношения между производимой и потребляемой реактивной мощностью. Выполнение условия Q_сеть = Q_КТ + Qпот + ΔQ обеспечивает удовлетворительную величину напряжения на шинах потребителей. Для проверки выполнения этого условия проанализирован суточный график электрической нагрузки объекта исследования. Результаты анализа показали переменный характер потребления реактивной мощности. Это обусловлено сложностью обеспечения баланса реактивной мощности на объектах с нерегулируемыми конденсаторными батареями (КБ), так как из-за избыточного производства реактивной мощности увеличиваются потери активной мощности [11–15].

Потери активной мощности (Δ𝑃) в электрической сети предприятия напрямую связаны с уровнем реактивной мощности (𝑄) через ток, протекающий по линии. Это объясняется тем, что реактивная мощность увеличивает полную мощность (𝑆) системы, которая рассчитывается как $S=\sqrt{P^2+Q^2}$ , где 𝑃 – активная мощность. При возрастании 𝑄 возрастает и ток в сети (𝐼=𝑆/𝑈, где 𝑈 – напряжение), что, в свою очередь, увеличивает потери активной мощности, определяемые по формуле Δ𝑃=𝐼²⋅𝑅, где 𝑅 – активное сопротивление линии. В более развернутом виде эти потери могут быть записаны в виде выражения Δ𝑃 = $\frac{\left(P^2+Q^2\right)·R}{U^2}$. Оно показывает, что потери активной мощности прямо пропорциональны реактивной мощности. Следовательно, увеличение реактивной мощности приводит к росту потерь активной мощности из-за увеличения тока, протекающего через сеть, и повышения нагрузок на линии. Управление реактивной мощностью (например, с помощью КБ) является ключевым фактором для минимизации этих потерь и повышения энергоэффективности системы. Если потери реактивной мощности в основном связаны с реактивным током, то Δ𝑃 =  $\frac{Q^2·R}{U^2}$. В этом случае учитывается только влияние реактивной мощности.

Условие баланса реактивной мощности на предприятии с учетом потерь мощности в цехах можно отобразить уравнением:

$\sum _{i=1}^n$$Q_{\text{КБ}}+Q_{\text{пот}}+\mathrm{\Delta }Q-Q_{\text{р}}=0$                                                                                     

где $\sum _{i=1}^n{Q}_{\text{КБ}}$ – суммарная мощность КБ, установленных в цехах, кВар; $Q_{\text{пот}}$ – реактивная мощность, потребляемая цехом, кВар; $\mathrm{\Delta }Q$ – потери реактивной мощности, кВар; $Q_{\text{р}}$ – расчетное значение реактивной мощности, кВар.

Потери реактивной мощности также связаны с потребляемыми активной и реактивной мощностями и могут быть выражены следующим образом:

$\mathrm{\Delta }Q=$$\frac{\left(P^2+Q^2\right)·X}{U^2}$                                                                                              

где X – реактивное сопротивление линии, U – напряжение в сети.

Видно, что увеличение потерь реактивной мощности (ΔQ) приводит к росту потока потребляемой реактивной мощности (Q_p​), что, в свою очередь, вызывает увеличение потерь активной мощности в системе электроснабжения предприятия. Это подчеркивает важность эффективного управления реактивной мощностью для минимизации общих энергетических потерь и повышения энергоэффективности предприятия.

При решении задачи оптимизации потребления электроэнергии учитывается только часть затрат, которая непосредственно связана с производственным процессом. Другие затраты (заработная плата, амортизация, затраты на содержание зданий и сооружений) либо не учитываются, либо учитываются в виде фиксированной величины [16–19].

Первая часть затрат включает не только оплату за полезно потребленную электроэнергию, но и за потери электроэнергии в технологических линиях электропередачи предприятия. Эти затраты определяются для любого периода Т следующим образом:

$Z=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{W}_i$,                                                                                                    

где N – цена 1 кВт·ч электроэнергии по тарифу; ΔW_i – потери электрической энергии в i-м цехе, кВт·ч.

Потери активной мощности каждого цеха ΔP_i рассчитываются по формуле:

$\Delta W_i^t=\underset{0}{\overset{T}{}}\Delta P_{i}dt.$                                                                                                    

Величина ΔP_i учитывает все режимы работы предприятия в рассматриваемый период.

Методы оптимального распределения реактивной мощности в цехах предприятий. При установке на предприятии источников реактивной мощности (ИРМ) необходимо тщательно подбирать оптимальные режимы их работы. При этом выбирается режим с наименьшими потерями активной мощности, что обеспечивает баланс реактивной мощности. Оптимальный режим ИРМ определяется в основном двумя методами: безусловной и условной минимизации. Первый метод на практике используется редко, но он составляет основу метода условной минимизации. Условную минимизацию применяют при наличии условных экстремумов целевой функции, то есть при наличии ограничений и граничных условий. Использование этих методов привело к разработке дополнительных методов, таких как градиентный, графоаналитический, метод неопределенных множителей Лагранжа и других [20–23].

Принцип равенства относительного прироста потерь активной мощности. Суммарные потери активной мощности на предприятии (ΔP_i) определяются из выражения:

ΔP =  ΔP₁+ ΔP₂ + ... + ΔP_i .                                                                                         (3)

Здесь ΔP – общие потери активной мощности на предприятии, ΔP_i – потери активной мощности в i-м цехе предприятия. Все составляющие в (3) оцениваются в кВт. Для обеспечения баланса реактивной мощности в процессе оптимизации условно предполагается использование одной из установленных на предприятии КБ в качестве балансирующей. Обычно для этой цели выбирается КБ с наибольшей емкостью, поскольку она способна генерировать достаточный объем реактивной мощности для компенсации небаланса в сети. Генерируемая этой балансирующей КБ реактивная мощность обозначается как 𝑄_𝑏 и рассматривается как ключевой параметр при расчете распределения реактивной мощности между другими элементами энергосистемы. Такой подход позволяет минимизировать потери активной мощности и обеспечить более стабильный режим работы электрической сети предприятия.

Следовательно, выражение для баланса реактивной мощности можно записать в виде:

$\underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum Q_{КБ}}}+Q_{\text{пот}}+∆Q-Q_{\text{р}}\pm Q_b=0$.                                                                        (4)

где Q_b – балансирующая реактивная мощность, кВар, которую можно определить из выражения (5):

$\pm Q_b=Q_{\text{р}}-\left(\underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum Q_{КБ}}}+Q_{\text{пот}}+∆Q\right)$.                                                                       (5)

где, знак «±» интерпретируется следующим образом: если в цехе наблюдается недостаток реактивной мощности, используется знак «–»; в нормальном режиме применяется знак «+».

Подход, отраженный формулой (3), можно применить для определения оптимального распределения реактивной мощности между цехами внутри предприятия, исходя из условия минимума потерь активной мощности. Для нахождения экстремума функции (3) необходимо приравнять нулю частные производные реактивной мощности от общих потерь активной мощности через независимые переменные n:

$\frac{\partial ∆P_i}{\partial Q_i}=0,i=\mathrm{1,}\dots ,n$

Дифференцируя (6) с учетом (8), получим:

$\frac{\partial \mathrm{\Delta }{P}_i}{\partial Q_i}+\left(\frac{\partial \mathrm{\Delta }{P}_b}{\partial Q_b}\right)\left(\frac{\partial Q_b}{\partial Q_i}\right)=0$.                                                                                     

Поскольку реактивная мощность балансирующего ИРМ является функцией, зависящей от переменной Q_b, то ее можно выразить как:

$\mathrm{\Delta }{p}_i=\frac{\partial \mathrm{\Delta }{P}_i}{\partial Q_i}$.                                                                                                     

В соответствии с методом Лагранжа, оптимальное распределение достигается при условии равенства относительного прироста потерь активной мощности [6]:

$∆p_i=\frac{\partial ∆P_1}{\partial Q_1}+\frac{\partial ∆P_2}{\partial Q_2}=\dots =\frac{\partial ∆P_i}{\partial Q_i}.$                                                                              

После дифференцирования уравнения (8) путем подстановки значения производной  получаем:

$\mathrm{\Delta }{p}_i+\mathrm{\Delta }{p}_b\left(\frac{\partial Q_b}{\partial Q_i}\right)=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,n.$                                                                             

Для обеспечения оптимальности режимов работы на предприятиях должно выполняться равенство относительных приростов потерь активной мощности:

$∆p_1=∆p_2=\mathrm{...}=∆p_n=∆p_b.$                                                                                      (6)

Из (6) следует, что критерием оптимальности является равенство относительных приростов потерь активной мощности.

Метод неопределенных множителей Лагранжа для расчета потерь активной мощности. Эффективность метода Лагранжа при оптимизации давно подтверждена в многочисленных исследованиях, особенно в решении сложных задач нелинейного математического программирования. Метод Лагранжа для оптимального выбора и распределения устройств компенсации реактивной мощности в электрических сетях промышленных предприятий обладает несколькими ключевыми преимуществами:

1. Учет ограничений – метод позволяет учитывать технические и экономические ограничения системы, что обеспечивает оптимизацию работы сетей без превышения предельных значений.
2. Гибкость – может быть адаптирован к различным условиям при решении задачи минимизации потерь и стоимости компенсации.
3. Минимизация затрат – оптимизирует количество и расположение устройств компенсации, снижая эксплуатационные расходы и потери энергии.
4. Динамическая адаптация – учитывает изменения в сети, что важно для промышленных процессов с переменной нагрузкой.
5. Взаимодействие устройств компенсации – позволяет учитывать взаимодействие различных устройств, что делает решение более точным и эффективным.
6. Повышение надежности – помогает повысить стабильность работы сети и снизить риски перегрузок.

Применение данного метода в рассматриваемой задаче обосновано тем, что он обеспечивает точное соблюдение условий баланса реактивной мощности и минимизацию потерь активной мощности в системе электроснабжения. Таким образом, метод Лагранжа обеспечивает эффективное и экономичное управление компенсацией реактивной мощности, повышая надежность и снижая затраты на энергоснабжение предприятий [24, 25].

Предположим, что существует целевая функция F(Х₁, Х₂,..., Х_n), экстремум которой определен в виде:

$\left.\begin{array}{c}{W}_1(X_1, X_2,\dots ,X_n=0\\ W_2(X_1, X_2,\dots ,X_n=0\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \end{array}\right\}$.                                                                                     (7)

Вместо экстремума функции F(X₁,...,Х_n) определяется условие экстремума специально построенной функции Лагранжа, включая целевую функцию и уравнения связи. Функция Лагранжа преобретает следующий вид:

$\text{Ф}=F+\underset{i=1}{\overset{i=k}{}}{\text{λ}}_i{W}_i.$                                                                                                  

Фиксированные множители  называются неопределенными множителями Лагранжа. Экстремум определяется путем дифференцирования функции по независимым переменным (Х₁,..,Х_n) и приравнивания ее частных производных нулю. Интерполяционное выражение Лагранжа описывает произвольную кривую как полином n-й степени:

$F\left(x\right)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\dots \left(x-x_n\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\dots \left(x_0-x_n\right)}\cdot y_0+$                                                                      

$+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\dots \left(x-x_n\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\dots \left(x_1-x_n\right)}\cdot y_1+$                                                                             

$+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)\dots \left(x-x_n\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)\dots \left(x_2-x_n\right)}\cdot y_2+\dots$                                                     

$\mathrm{...}+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\dots \left(x-x_{n-1}\right)}{\left(x_n-x_0\right)\left(x_n-x_1\right)\dots \left(x_n-x_{n-1}\right)}\cdot y_n.$                                                                     (8)

$F\left(x\right)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+\dots +a_2\cdot x^2+a_1\cdot x^1+a_0.$                         (9)

С использованием выражений (8) и (9) можно аппроксимировать произвольную кривую, что позволяет моделировать потери активной мощности в различных условиях. Для аппроксимации потерь активной мощности достаточно применять полином 2-й степени (10), поскольку квадратичная функция обладает рядом преимуществ. В частности, её математическая простота обеспечивает легкость нахождения экстремальных значений (максимума или минимума), что делает её удобным инструментом для оптимизационных расчетов. Кроме того, полином 2-й степени достаточно точен для описания зависимостей, характерных для систем энергоснабжения, что позволяет с высокой степенью достоверности прогнозировать изменения потерь мощности при варьировании параметров системы. При выборе формы 2-го были учтены простота формы и удобства использования в расчетах. По этим критериям квадратичная форма является наилучшей. Она относительно проста, удобна в расчетах и легко дифференцируема.

$F\left(\text{Δ}P\right)=\frac{\left(Q-Q_2\right)\left(Q-Q_3\right)}{\left(Q_1-Q_2\right)\left(Q_1-Q_3\right)}\cdot \text{Δ}{P}_1+\frac{\left(Q-Q_1\right)\left(Q-Q_3\right)}{\left(Q_2-Q_1\right)\left(Q_2-q_3\right)}\cdot \text{Δ}{P}_2+\frac{\left(Q-Q_1\right)\left(Q-Q_2\right)}{\left(Q_3-Q_1\right)\left(Q_3-Q_2\right)}\cdot \text{Δ}{P}_3$.       (10)

После упрощения выражение (10) преобретает вид:

$\text{Δ}{P}_i\left(Q_i\right)=a_{0i}+a_{1i}{Q}_i+a_{2i}{Q}_i^2,$                                                                                                       (11)

где i – номер цеха.

Дифференцируя выражение (11), находим аналитические зависимости для относительного прироста потерь активной мощности:

$\text{Δ}{p}_i\left(Q_i\right)=\frac{\partial \text{Δ}{P}_i\left(Q_i\right)}{\partial Q_i}=a_{1i}+2a_{2i}{Q}_i$.                                                                              

Система уравнений (7) с учетом уравнения баланса реактивной мощности (4) отражает оптимальное распределение потребления реактивной мощности:

$2a_1{Q}_1+0+.\dots \dots \dots \dots \dots .-2a_b{Q}_b=\mathrm{\Delta }{p}_b-\mathrm{\Delta }{p}_1;$                                                                  

$2a_2{Q}_2+0+.\dots \dots \dots \dots \dots .-2a_b{Q}_b=\mathrm{\Delta }{p}_b-\mathrm{\Delta }{p}_2;$                                                                 

$2a_n{Q}_n-2a_b{Q}_b=∆p_b-∆p_n;$                                                                                     

$Q_1+Q_2+Q_3+\dots +Q_n+Q_b=Q_{∆}$.                                                                            

Полученная система линейных алгебраических уравнений решается методом Гаусса, или квадратного корня [2, 12]. С его помощью определяют оптимальное распределение нагрузки в КБ при заданном значении реактивной нагрузки предприятия Q_р.

Решение можно найти следующим методом.

Функция Лагранжа Q₁….Q_п дифференцируется по переменным, а ее производная принимается равной нулю:

$\left.\begin{array}{c}\frac{\partial \text{Ф}}{\partial Q_1}=\frac{\partial \Delta P_1}{\partial Q_1}+\lambda \left(1-\frac{\partial \pi }{\partial Q_1}\right)=0\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \frac{\partial \text{Ф}}{\partial Q_n}=\frac{\partial \Delta P_n}{\partial Q_n}+\lambda \left(1-\frac{\partial \pi }{\partial Q_n}\right)=0\end{array}\right\}$.                                                                                           (12)

Система уравнений (12) показывает, что:

$\frac{\partial \text{Ф}}{\partial Q_n}=\frac{\partial ∆P_n}{\partial Q_n}+\lambda \left(1-\frac{\partial \pi }{\partial Q_n}\right)$,                                                                                     

$\frac{\frac{\partial △P_1}{\partial Q_1}}{1-\frac{\partial \pi }{\partial Q_1}}=\mathrm{...}=\frac{\frac{\partial △P_n}{\partial Q_n}}{1-\frac{\partial \pi }{\partial Q_n}}$

Здесь Δp_i =$\frac{\partial \Delta P_i}{\partial Q_i}$ – относительный прирост потерь активной мощности на предприятии. Это означает, что изменение потерь активной мощности при изменении реактивной мощности на одну единицу в цехе предприятия описывает зависимость между этими величинами и позволяет оценить влияние реактивной мощности на общее энергопотребление.

Алгоритм расчета следующий:

1. Установка начального значения реактивной мощности Q = Q_нач.
2. Вычисление потерь активной мощности по (20), ΔP⁽ⁱ⁾ = $=\frac{Q^2·R}{U^2}$при текущем значении Q.
3. Обновление значения реактивной мощности Q в соответствии с выбранным методом оптимизации Q⁽ⁱ⁺¹⁾=Q⁽ⁱ⁾.
4. Проверка выполнения условия остановки, например, достижение минимального значения потерь или максимальное количество итераций ɛ ≤ [ΔP⁽ⁱ⁺¹⁾– ΔP⁽ⁱ⁾], где ε –точность расчёта.
5. Фиксация оптимального значения реактивной мощности Q и соответствующих потерь активной мощности ΔP.

Дополнительные затраты возникают в основном из-за того, что оборудование предприятия находится под непрерывно изменяющейся нагрузкой и работает в экономически неэффективных режимах (рисунок). В результате резких и частых изменений режимов потребления реактивной мощности, в зависимости от параметров технологического процесса, снижается эксплуатационная надежность большинства КБ, а также надежность собственных электропотребляющих механизмов, прежде всего, электроприводов с асинхронными двигателями.

Анализ графика показал, что потребление реактивной мощности значительно влияет на эффективность работы оборудования. Суточные колебания реактивной мощности создают неравномерную нагрузку на энергосистему, что приводит к увеличению потерь активной мощности и снижению общей эффективности. В периоды пиковых нагрузок, например, с 17 до 22 часов, потребление реактивной мощности достигает максимума, что снижает эффективность работы оборудования до 85 %. Это связано с повышенной нагрузкой на КБ и увеличением токов в сети.

 

Рисунок. Изменения реактивной мощности (1) и эффективности оборудования (2)

Figure. Changes in reactive power (1) and equipment efficiency (2)

 

Наоборот, в стабильные периоды, такие как с 2 до 5 часов, уровень реактивной мощности остаётся низким, что позволяет поддерживать высокую эффективность оборудования на уровне 95 %. Это подчёркивает важность управления реактивной мощностью для обеспечения стабильной работы энергосистемы.

Для повышения энергоэффективности рекомендуется оптимизировать работу конденсаторных батарей, особенно в часы пиковых нагрузок, и применять устройства компенсации реактивной мощности. Такой подход позволит снизить потери и обеспечить стабильность работы оборудования на предприятиях с непрерывным производственным циклом.

Практический расчет потерь электроэнергии на хлопкоочистительном предприятии «BCT Cluster Agrokompleks» для их минимизации

Хлопкоочистительное предприятие «BCT Cluster Agrokompleks» потребляет значительные объемы электроэнергии, обеспечивающей работу технологического оборудования, систем освещения и вентиляции. Помимо активной мощности, им необходима и реактивная мощность, которая используется для создания магнитных полей в электродвигателях, трансформаторах и другом оборудовании.

Потребление реактивной мощности на хлопкоочистительном предприятии «BCT Cluster Agrokompleks» связано с работой мощных электродвигателей в устройствах для очистки, сортировки и упаковки хлопка. Для поддержания стабильности напряжения и предотвращения потерь энергии необходима компенсация реактивной мощности. Вопросы оптимального выбора и распределения устройств компенсации на таком предприятии особенно актуальны, поскольку неправильная компенсация приводит к снижению эффективности, увеличению затрат и энергетическим потерям. Оптимизация компенсации позволяет повысить коэффициент мощности, улучшить стабильность работы электросети и снизить эксплуатационные расходы.

На предприятии установлены КБ суммарной мощностью 825 кВар. Конденсаторные батареи устанавливаются в соответствии со значениями потребляемой реактивной мощности в номинальных режимах работы цехов предприятия. Также при разных режимах работы, например, минимальной или максимальной нагрузке в конденсаторах, появляются избыточные потери активной мощности.

 

Таблица 1. Параметры конденсаторных батарей, установленных на предприятии

Table 1. Parameters of capacitor banks installed at the enterprise

Номер группы Group number	Марка Brand	Количество конденсаторных батарей Number of capacitor banks	Напряжение, В Voltage, V	Мощность, кВар Power, kvar
№ 1	УКРМ-0,4-25-5	10	400	250
№ 2	УКРМ-0,4-25-5	14	400	350
№ 3	УКРМ-0,4-25-5	9	400	225

 

Измерениями и расчетами найдены потери активной мощности, соответствующие значению реактивной мощности, вырабатываемой каждой группой КБ. Измеренные значения приведены в табл. 2.

 

Таблица 2. Мощности конденсаторных батарей, установленных в цехах предприятия

Table 2. Capacity of capacitor banks installed in workshops of the enterprise

Группа/Group
1		2		3
Q, кВАр/kVAr	ΔР, кВт/kW	Q, кВАр/kVAr	ΔР, кВт/kW	Q, кВАр/kVAr	ΔР, кВт/kW
100	5,95	150	8,74	75	5,12
150	9,73	250	16,26	150	10,32
250	20,29	350	25,78	225	18,89

 

Приведенные в табл. 3 данные получены по графику электрической нагрузки, построенному по суточному потреблению предприятием реактивной мощности. По нему рассчитаны оптимальные значения потребления активной мощности.

Полиномиальное определение зависимости потерь активной мощности от реактивной мощности батареи конденсаторов ΔP_i(Q_i) с использованием интерполяционного выражения Лагранжа

Потери активной мощности для групп КБ в цехах завода можно рассчитать, используя следующие выражения:

$\mathrm{\Delta }{P}_I\left(Q_I\right)=\frac{\left(Q^I-150\right)\left(Q^I-250\right)}{\left(100-150\right)\left(100-250\right)}\cdot \mathrm{5,95}+\frac{\left(Q^I-100\right)\left(Q^I-250\right)}{\left(150-100\right)\left(150-250\right)}\cdot \mathrm{9,73}+$                                                                     

$+\frac{\left(Q^I-100\right)\left(Q^I-150\right)}{\left(250-100\right)\left(250-150\right)}·\mathrm{20,29}=$$\mathrm{0,0002}{Q^I}^2+\mathrm{0,0256}{Q}^I+\mathrm{1,3875};$                                                                               

$\mathrm{\Delta }{P}_{II}\left(Q_{II}\right)=\frac{\left(Q^{II}-250\right)\left(Q^{II}-350\right)}{\left(150-250\right)\left(150-350\right)}\cdot \mathrm{8,74}+\frac{\left(Q^{II}-150\right)\left(Q^{II}-350\right)}{\left(250-150\right)\left(250-350\right)}·\mathrm{16,26}+$                                                                             

$+\frac{\left(Q^{II}-150\right)\left(Q^{II}-250\right)}{\left(350-250\right)\left(350-150\right)}·\mathrm{25,78}=\mathrm{0,0001}{Q^{II}}^2+\mathrm{0,0352}{Q}^{II}+\mathrm{1,205};$                                                                              

$∆P_{III}\left(Q_{III}\right)=\frac{\left(Q^{III}-150\right)\left(Q^{III}-225\right)}{\left(75-150\right)\left(75-225\right)}·\mathrm{5,12}+\frac{\left(Q^{III}-75\right)\left(Q^{III}-225\right)}{\left(150-75\right)\left(150-225\right)}·\mathrm{10,32}+$                                                                    

$+\frac{\left(Q^{III}-75\right)\left(Q^{III}-150\right)}{\left(225-75\right)\left(225-150\right)}·\mathrm{18,89}=\mathrm{0,0003}{Q^{III}}^2+\mathrm{0,0018}{Q}^{III}+\mathrm{3,3.}$                                                                             

В результате получены следующие полиномиальные зависимости потерь активной мощности групп конденсаторных батарей в цехах предприятия:

$∆P_I\left(Q_I\right)=\mathrm{0,0002}{Q^I}^2+\mathrm{0,0256}{Q}^I+\mathrm{1,3875}$;

$∆P_{II}\left(Q_{II}\right)=\mathrm{0,0001}{Q^{II}}^2+\mathrm{0,0352}{Q}^{II}+\mathrm{1,205}$;

$∆P_{III}\left(Q_{III}\right)=\mathrm{0,0003}{Q^{III}}^2+\mathrm{0,0018}{Q}^{III}+\mathrm{3,3}$.

Математическая модель скалярной оптимизации

Задачу минимизации потерь активной мощности в электрических сетях предприятия можно решить выявлением оптимального распределения реактивной мощности КБ между цехами предприятия.

Целевая функция в модели оптимизации имеет вид:

$F=∆P_{\text{Σ}}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}\left(∆P_I\left(Q_I\right)+∆P_{II}\left(Q_{II}\right)+\mathrm{...}+∆P_n\left(Q_n\right)\right)\to \text{min}.$                                                    

Для предприятия «BCT Cluster Agrokompleks»:

$∆P_{\text{Σ}}=∆P_I\left(Q_I\right)+∆P_{II}\left(Q_{II}\right)+∆P_{III}\left(Q_{III}\right)\to \text{min}$,

$∆P_{\text{Σ}}=\mathrm{0,0002}{Q^I}^2+\mathrm{0,0256}{Q}^I+\mathrm{1,3875}+\mathrm{0,0001}{Q^{II}}^2+\mathrm{0,0352}{Q}^{II}+\mathrm{1,205}+$                                                                       

$+\mathrm{0,0003}{Q^{III}}^2+\mathrm{0,0018}{Q}^{III}+\mathrm{3,3}=\mathrm{5,8925}+\mathrm{0,0002}{Q^I}^2+\mathrm{0,0256}{Q}^I+$                                                                              

$+\mathrm{0,0001}{Q^{II}}^2+\mathrm{0,0352}{Q}^{II}+\mathrm{0,0003}{Q^{III}}^2++\mathrm{0,0018}{Q}^{III}\to \text{min}$.

Уравнения зависимости потерь активной мощности от реактивной мощности, генерируемой КБ, можно представить как:

$∆P_i\left(Q_i\right)=a_{0i}+a_{1i}{Q}_i+a_{2i}{Q}_i^2;$                                                                                    

$\left\{\begin{array}{c}\Delta {\text{Р}}_1\left(Q_1\right)=a_{01}+a_{11}{Q}_1+a_{21}{Q}_1^2\\ \Delta {\text{Р}}_2\left(Q_2\right)=a_{02}+a_{12}{Q}_2+a_{22}{Q}_2^2\\ \Delta {\text{Р}}_3\left(Q_3\right)=a_{03}+a_{13}{Q}_3+a_{23}{Q}_3^2\end{array}\right.$                                                                                  

 

Таблица 3. Суточное потребление предприятием реактивной мощности по интервалам

Table 3. Daily consumption of reactive power by the enterprise by intervals

Интервал, ч Interval, h	0–2	2–5	5–6	6–8	8–9	9–10	10–11	11–12	12–13	13–15	15–16	16–17	17–22	22–23	23–24
Q∑, кВАр/kVAr	550	500	550	750	700	670	600	700	720	650	680	700	800	700	600

 

$\left\{\begin{array}{c}∆P_I\left(Q_I\right)=\mathrm{1,3875}+\mathrm{0,0256}{Q}^I+\mathrm{0,0002}{Q^I}^2\\ ∆P_{II}\left(Q_{II}\right)=\mathrm{1,205}+\mathrm{0,0352}{Q}^{II}+\mathrm{0,0001}{Q^{II}}^2\\ ∆P_{III}\left(Q_{III}\right)=\mathrm{3,3}+\mathrm{0,0018}{Q}^{III}+\mathrm{0,0003}{Q^{III}}^2\end{array}\right.$.

При решении задачи накладываются следующие ограничения:

а) ограничение в виде неравенства (автономное ограничение) устанавливает допустимые пределы изменения реактивной мощности КБ:

$Q_{\text{min}}^i\le Q^i\le Q_{\text{max}}^i$;

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_{\text{min}}^I\le Q^I\le Q_{\text{max}}^I\\ Q_{\text{min}}^{II}\le Q^{II}\le Q_{\text{max}}^{II}\\ Q_{\text{min}}^{III}\le Q^{III}\le Q_{\text{max}}^{III}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}100\le Q^I\le 250\\ 150\le Q^{II}\le 350\\ 75\le Q^{III}\le 225\end{array}\right.$.

б) ограничение в виде равенства суммарной реактивной нагрузки предприятия заданной расчетной мощности Q_р:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{Q}_{\text{КБ}}+Q_{\text{пот}}+\mathrm{\Delta }Q=Q_{\text{р}}.$                                                                                         

Суточный график электрической нагрузки по реактивной мощности, представленный в табл. 3, показывает, что величина потребления реактивной мощности в течение суток состоит из 15 интервалов. Для оптимального распределения реактивной нагрузки между КБ в каждый интервал суток необходимо, в первую очередь, обеспечить баланс:

$550=Q_I^I+Q_{II}^I+Q_{III}^I; 500=Q_I^{II}+Q_{II}^{II}+Q_{III}^{II}; 550=Q_I^{III}+Q_{II}^{III}+Q_{III}^{III}$;

$750=Q_I^{IV}+Q_{II}^{IV}+Q_{III}^{IV}; 700=Q_I^V+Q_{II}^V+Q_{III}^V; 670=Q_I^{VI}+Q_{II}^{VI}+Q_{III}^{VI}$;

$600=Q_I^{VII}+Q_{II}^{VII}+Q_{III}^{VII}; 700=Q_I^{VIII}+Q_{II}^{VIII}+Q_{III}^{VIII}; 720=Q_I^{IX}+Q_{II}^{IX}+Q_{III}^{IX}$;

$650=Q_I^X+Q_{II}^X+Q_{III}^X; 680=Q_I^{XI}+Q_{II}^{XI}+Q_{III}^{XI}; 700=Q_I^{XII}+Q_{II}^{XII}+Q_{III}^{XII}$;

$800=Q_I^{XIII}+Q_{II}^{XIII}+Q_{III}^{XIII}; 700=Q_I^{XIV}+Q_{II}^{XIV}+Q_{III}^{XIV}; 600=Q_I^{XV}+Q_{II}^{XV}+Q_{III}^{XV}$.

Оптимальное распределение реактивной нагрузки на конденсаторные батареи

Полиномиальное представление уравнений потерь активной мощности в КБ выглядит так:

$∆P_i\left(Q_i\right)=a_{0i}+a_{1i}{Q}_i+a_{2i}{Q}_i^2;$                                                                                    

$\begin{array}{c}∆P_I\left(Q_I\right)=\mathrm{1,3875}+\mathrm{0,0256}{Q}^I+\mathrm{0,0002}{Q^I}^2; \\ ∆P_{II}\left(Q_{II}\right)=\mathrm{1,205}+\mathrm{0,0352}{Q}^{II}+\mathrm{0,0001}{Q^{II}}^2;\\ ∆P_{III}\left(Q_{III}\right)=\mathrm{3,3}+\mathrm{0,0018}{Q}^{III}+\mathrm{0,0003}{Q^{III}}^2.\end{array}$                                                                   

Сравнительные показатели потребления активной мощности определены дифференцированием уравнений, описывающих потребление, соответствующее мощностям КБ. Они представляют собой изменение активной мощности вследствие потерь в цехе, где размещена i-я КБ, при изменении реактивной нагрузки каждого цеха предприятия на величину дQ_i:

$\Delta {\text{р}}_i\left(Q_i\right)=\frac{\partial \Delta {\text{Р}}_i\left(Q_i\right)}{\partial Q_i}=a_{1i}+2a_{2i}{Q}_i$                                                                               

$∆p_I\left(Q_I\right)=\mathrm{0,0256}+2∆\mathrm{0,0002}{Q}^I=\mathrm{0,0256}+\mathrm{0,0004}{Q}^I;$                                                      

$∆p_{II}\left(Q_{II}\right)=\mathrm{0,0352}+2∆\mathrm{0,0001}{Q}^{II}=\mathrm{0,0352}+\mathrm{0,0002}{Q}^{II};$                                                    

$∆p_{III}\left(Q_{III}\right)=\mathrm{0,0018}+2∆\mathrm{0,0003}{Q}^{III}=\mathrm{0,0018}+\mathrm{0,0006}{Q}^{III}.$                                                   

Анализ результатов расчетов (табл. 4, 5) показал, что выбор оптимальной комбинации КБ обеспечивает не только улучшение технико-экономических показателей предприятия, но и снижение активных потерь мощности (рисунок).

При выборе оптимального состава КБ по методу Лагранжа общие потери электроэнергии за счёт оптимальной выработки реактивной мощности в течение суток определяется следующим образом:

ΔW_{∑ i} = ∑(ΔР_i· t_пр).

ΔW_1Σ=5,95∙6+9,73∙2+11,99∙2+5,95∙1+11,99∙1+9,73∙1+11,99∙4+20,29∙5+11,99∙1+5,95∙1=274,16 кВт∙ч;

ΔW_2Σ=14,19∙6+25,78∙2+20,77∙4+25,78∙1+20,77∙4+ +25,78∙5+20,77∙2=499,08 кВт∙ч;

ΔW_3Σ=15,66∙6+18,89∙2+15,66∙2+12,8∙1+15,66∙1+ +18,89∙1+15,66∙4+18,89∙5+15,66∙1+12,8∙1=395,96 кВт∙ч.

После оптимизации режимов работы КБ общие потери электроэнергии в течение суток при компенсации реактивной мощности равны:

ΔW_∑ = ∑W_{i ∑} = 274,16 + 499,08 + 395,96 = 1169,2 кВт·ч.

До применения предложенной модели и методов оптимизации потери электроэнергии на предприятии составляли 1560 кВт‧ч [6]. При следовании рекомендациям, основанным на расчетах по предложенной модели, удается снизить потери электроэнергии на 391 кВт·ч.

 

Таблица 4. Распределение мощностей реактивной нагрузки между КБ на предприятии

Table 4. Distribution of reactive load power between capacitor banks at the enterprise

Расчетное время, кВАр Estimated time, kVAr	Интервал/Interval
	0–2	2–5	5–6	6–8	8–9	9–10	10–11	11–12	12–13	13–15	15–16	16–17	17–22	22–23	23–24
Q∑	525	525	525	725	675	675	575	675	725	675	675	675	825	675	575
Q1	100	100	100	150	175	175	100	175	150	175	175	175	250	175	100
Q2	225	225	225	350	300	300	300	300	350	300	300	300	350	300	300
Q3	200	200	200	225	200	200	175	200	225	200	200	200	225	200	175

 

Таблица 5. Потери активной мощности ΔР_i как функция реактивных нагрузок Q_i для каждого интервала времени по методу Лагранжа

Table 5. Active power losses ΔР_i as a function of reactive loads Q_i for each time interval using the Lagrange method

Расчетное время Estimated time			Интервал/Interval
			0–2	2–5	5–6	6–8	8–9	9–10	10–11	11–12	12–13	13–15	15–16	16–17	17–22	22–23	23–24
Q∑, кВАр,kVAr			525	525	525	725	675	675	575	675	725	675	675	675	825	675	575
Группа/Group	1	Q1, кВАр/kVAr	100	100	100	150	175	175	100	175	150	175	175	175	250	175	100
		ΔР1, кВт,kW	5,95	5,95	5,95	9,73	11,99	11,99	5,95	11,99	9,73	11,99	11,99	11,99	20,29	11,99	5,95
	2	Q2, кВАр,kVAr	225	225	225	350	300	300	300	300	350	300	300	300	350	300	300
		ΔР2, кВт,kW	14,19	14,19	14,19	25,78	20,77	20,77	20,77	20,77	25,78	20,77	20,77	20,77	25,78	20,77	20,77
	3	Q3, кВАр,kVAr	200	200	200	225	200	200	175	200	225	200	200	200	225	200	175
		ΔР3, кВт,kW	15,66	15,66	15,66	18,89	15,66	15,66	12,80	15,66	18,89	15,66	15,66	15,66	18,89	15,66	12,80
	ΔР∑, кВт,kW		35,8	35,8	35,8	54,4	48,42	48,42	39,52	48,42	54,4	48,42	48,42	48,42	64,96	48,42	39,52

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследования и их апробации на предприятии «BCT Cluster Agrokompleks» можно обобщить в следующем виде:

1. Предложенный авторами метод оптимального выбора и распределения устройств компенсации реактивной мощности учитывает специфику непрерывных производственных процессов, что позволяет адаптировать решения к реальным условиям эксплуатации. Использование метода Лагранжа обеспечивает эффективное решение задач нелинейного программирования с учётом ограничений на параметры оборудования и режимы работы. Экспериментальные данные демонстрируют снижение потерь активной мощности до 25 %, улучшение коэффициента мощности и снижение энергозатрат. Модель проста для интеграции в существующие системы управления энергией, что делает её применимой и экономически выгодной для промышленных предприятий.
2. Разработанная математическая модель позволяет учитывать особенности непрерывных производственных процессов, анализировать суточные графики нагрузки и использовать метод Лагранжа для оптимизации распределения реактивной мощности. Это дает возможность минимизировать потери активной мощности и повысить энергоэффективность системы электроснабжения. Оптимизация величины реактивной мощности позволила уменьшить потери электроэнергии на 391 кВт·ч по сравнению с величиной, достигнутой применяемыми ранее методами управления.
3. Результаты исследования и рекомендации, разработанные на их основе, могут применяться на других предприятиях с непрерывным характером производства. Ссылки на существующие работы, подтверждающие эффективность метода Лагранжа, дополнительно усиливают обоснованность его выбора. Они демонстрируют успешное применение метода в аналогичных задачах, таких как распределение нагрузки в энергосистемах, управление реактивной мощностью и оптимизация энергопотребления. Выбор метода Лагранжа для решения данной задачи является не только оправданным, но и наиболее подходящим с точки зрения точности, надежности и практической применимости [6].
4. Разработанная математическая модель станет основой для дальнейших исследований и практических разработок в области энергетической эффективности потребления электрической энергии промышленными предприятиями. Полученные результаты представляют собой важный шаг в направлении оптимизации объемов их энергопотребления. Практическая применимость и эффективность предложенной модели как важного инструмента для управления энергопотреблением подтверждены экспериментальными данными.

About the authors

Ikromjon U. Rakhmonov

Tashkent State Technical University

Author for correspondence.
Email: ilider1987@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-2076-5919

Dr. Sc., Professor, Tashkent State Technical University,

Uzbekistan, 2, Universitetskaya street, Tashkent, 100095

Numon N. Niyozov

Tashkent State Technical University

Email: nomon.niyozov_2422@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1031-3460

PhD, Associate Professor

Uzbekistan, 2, Universitetskaya street, Tashkent, 100095

Komoliddin B. Nimatov

Karshi Engineering and Economics Institute

Email: k.b.nimatov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-4579-1160

Senior Lecturer

Uzbekistan, 225, Mustakillik street, Karshi, 180100

Vasily Ya. Ushakov

National Research Tomsk Polytechnic University

Email: vyush@tpu.ru
ORCID iD: 0000-0003-2931-2086

Dr. Sc., Professor

Russian Federation, 30, Lenin avenue, Tomsk, 634050

Fakhriddin B. Omonov

Termez Institute of Engineering and Technology

Email: faxriomonov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-0303-9704

PhD., Associate Professor

Uzbekistan, 288 A, Islam Karimov street, Termez, 190100

Kamal M. Reymov

Karakalpak State University

Email: kamal_tstu@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2520-6422

PhD., Associate Professor

Uzbekistan, 1, Ch. Abdirov street, Nukus, 230100

Aysulu M. Najimova

Karakalpak State University

Email: a_najimova@karsu.uz
ORCID iD: 0009-0001-7336-8362

PhD., Associate Professor

Russian Federation, 1, Ch. Abdirov street, Nukus, 230100

References

Supplementary files