Mathematical modeling of functionally graded porous geometrically nonlinear micro/nano cylindrical panels

Full Text

Введение

Ресурсозатратным при разведке и разработке нефтегазовых месторождений является процесс бурения скважин. Важной составной частью бурильной колонны являются бурильные трубы, которые обеспечивают механическую и гидравлическую связь между работающим на забое режущим инструментом и поверхностным бурильным оборудованием.

Бурильные трубы используются для транспортировки породоразрушающего инструмента по скважине, образования нужного вращения и крутящего момента с одновременной передачей осевой нагрузки, создания гидравлической энергии при использовании забойных устройств и выполнении других технологических операций. Для нефтегазодобычи в настоящее время преимущественно осуществляется глубокое бурение в экстремальных условиях (температура, давление, агрессивная среда), скважин с большим отклонением и горизонтальным окончанием, что предъявляет высокие требования к надежности изделий, их способности выдерживать напряженно-деформированное состояние (НДС) и преодолевать силы сопротивления в процессе проводки ствола скважины [1–3].

Одним из путей преодоления указанных проблем является использование бурильных труб, изготовленных из специальных алюминиевых сплавов. Физико-механические свойства таких изделий отличаются от свойств стальных изделий низким удельным весом, высокой удельной прочностью, коррозионной стойкостью, виброподавляющими и немагнитными свойствами [3–5].

Перспективным направлением развития бурильных труб является создание функционально-градиентных (ФГ) материалов, механические свойства и химический состав которых изменяется по толщине. В работе рассматривается конструкция, материал которой состоит из керамики и алюминия. Он превосходит свойства алюминия по прочности и вибропоглощению [2, 4].

Пористые и функционально-градиентные материалы благодаря своим физическим свойствам: хорошему поглощению энергии и звука, теплообмену, инфильтрационным свойствам и низкой плотности, находят широкое применение в различных отраслях техники и промышленности: нефтегазодобыче, металлургии, медицине, авиапромышленности, машиностроении и др. В данном обзоре рассматриваются работы, посвященные исследованию геометрически нелинейных ФГ цилиндрических панелей и оболочек с учётом нелинейности фон Кармана–Доннела.

Метод Бунова–Галеркина (Bubnov-Galerkin method – BGM) в первом приближении является одним из наиболее широко используемых методов для анализа ФГ цилиндрических панелей и оболочек. Данный метод использовался при анализе ФГ цилиндрической панели при осевом сжатии [6], при исследовании ФГ двоякоизогнутых несовершенных неглубоких оболочек из композита, армированного углеродными нанотрубками [7], при анализе тонких оболочек в задачах динамики с учетом демпфирования под действием механических нагрузок [8]. Данный метод также применялся в работе [9] при анализе нелинейного отклика ФГ цилиндрических панелей при равномерном боковом давлении с учетом температурных эффектов и в работе [10] для исследования нелинейных динамических характеристик и свободных колебаний ФГ пористой усечено-конической панели. Аналитические выражения с применением процедуры BGM для получения явных выражений и соотношений между нагрузкой и прогибом для ФГ плоских и цилиндрических панелей, подверженных термомеханическим нагрузкам, опирающихся на упругие основания, представлены в [11, 12]. Отметим, что в указанных работах BGM использовался в первом приближении, что является приближенным решением и содержит большие погрешности. Данный метод также использовался при изучении влияния косых ребер жесткости на нелинейное статическое и динамическое поведение цилиндрических панелей [13] и при анализе характеристики свободных колебаний и нелинейных откликов цилиндрических панелей [14].

Анализ изгибания ФГ цилиндрической панели конечной длины, подверженной боковому давлению в тепловой среде, проведен в работе [15]. Для определения нагрузок смятия используется метод возмущений.

Термомеханический анализ разрушения цилиндрических панелей, изготовленных из ФГ материалов с термоупругими свойствами, представлен в [16]. Полуаналитический метод на основе дифференциальных квадратур (Differential Quadratures – DQ) используется для прогнозирования критической нагрузки смятия. Анализируется влияние зависящих от температуры свойств материала, осевой нагрузки, геометрических параметров и граничных условий на термомеханическое поведение панели.

Анализ вышеприведённых исследований позволяет сделать ряд выводов: расчёты выполнены для ФГ цилиндрических и сферических квадратных панелей в плане оболочек, описываемых уравнениями Кармана–Донелла на основе кинематических моделей Киргофа–Лява. В качестве метода расчёта в большинстве работ используется BGM в первом приближении для одного типа краевых условий. Применение метода Бубнова–Галеркина позволяет получить аналитическое решение, но это решение приближенное. Для получения достоверных результатов при проведении анализа нелинейного поведения пористых функционально-градиентных материалов (Porous Functional-Gradient Materials – PFGM) цилиндрических панелей следует проводить в высших приближениях, добиваясь сходимости метода (совпадения не только основных функции, но их производных, хотя бы до второго порядка включительно в зависимости от номера приближения). В настоящей работе решения получены для уравнений фон Кармана–Донелла, описывающих гибкие замкнутые цилиндрические оболочки (цилиндры), а также их фрагменты – цилиндрические панели, изготовленные из PFGM для различных параметров кривизны, пористости, граничных условий, наноэффектов. Основные результаты получены методом вариационных итераций – расширенным методом Канторовича (Variational Iteration Method – VIM). Эти решения сопоставляются с решениями, полученными методом Бубнова–Галеркина (BGM) в высших приближениях и методом конечных разностей (Finite Difference Method – FDM), а также с результатами, полученными другими авторами [9, 17]. Точность и эффективность метода вариационных итераций показана в работах [18–23]. Доказательство сходимости метода VIM опубликовано в работах [19]. Показано, что метод вариационных итераций обладает высокой скоростью и сходимостью.

Постановка задачи: математическая модель геометрически нелинейных функционально градиентных пористых микро/наноцилиндрических панелей

Рассмотрим цилиндрическую панель – фрагмент замкнутой цилиндрической оболочки, как трёхмерное тело VÎ{0≤x≤a, 0≤y≤b, –h/2≤z≤h/2} постоянной толщины h, со сторонами a, b в плоскости x, y (рис. 1).

 

Рис. 1. Расчетная схема цилиндрической панели – фрагмента замкнутой цилиндрической оболочки

Fig. 1. Calculation diagram of a cylindrical panel – fragment of a closed cylindrical shell

 

Срединную поверхность при z=0 обозначим как R={x,y/(x,y)Î[0,a]´[0,b]}. W(x,y) – область изменения переменных x и y.

Для получения исходных уравнений приняты следующие гипотезы:

1. Гипотеза Кирхгофа–Лява.
2. Геометрическая нелинейность по теории Теодора фон Кармана.
3. Наноэффекты введены согласно модифицированной моментной теории упругости [24], которая учитывает моменты высших порядков. Данная теория имеет то преимущество, что в ней используется только один параметр длины материала, что делает ее удобной для численной реализации.
4. Материал панели упругий, и его механические свойства зависят от координаты z: E(z), v(z) согласно функционально-градиентной теории [25, 26]:

I. U-PFGM

$\begin{array}{c}E\left(z\right)=\left(E_c-E_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p+E_m-\left(E_c+E_m\right)\frac{\text{Г}}{2},\\ \nu \left(z\right)=\left({\nu }_c-{\nu }_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p+{\nu }_m-\left({\nu }_c+{\nu }_m\right)\frac{\text{Г}}{2}.\end{array}$ (1)

II. X-PFGM

$\begin{array}{c}E\left(z\right)=\left(E_c-E_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p+E_m-\left(E_c-E_m\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{\left|z\right|}{h}\right)\text{Г},\\ \nu \left(z\right)=\left({\nu }_c-{\nu }_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p+{\nu }_m-\left({\nu }_c-{\nu }_m\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{\left|z\right|}{h}\right)\text{Г}.\end{array}$ (2)

III. O-PFGM

$\begin{array}{c}E\left(z\right)=\left(E_c-E_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p+E_m-\left(E_c+E_m\right)\frac{\left|z\right|\text{Г}}{h},\\ \nu \left(z\right)=\left({\nu }_c-{\nu }_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p+{\nu }_m-\left({\nu }_c+{\nu }_m\right)\frac{\left|z\right|\text{Г}}{h}.\end{array}$ (3)

IV. type 1

$\begin{array}{c}E\left(z\right)=\left[E_m+\left(E_c-E_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p\right]\left[1-\text{Г}\cos \left(\frac{\pi z}{h}\right)\right],\\ \nu \left(z\right)=\left[{\nu }_m+\left({\nu }_c-{\nu }_m\right){\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)}^p\right]\left[1-\text{Г}\cos \left(\frac{\pi z}{h}\right)\right],\end{array}$ (4)

где E_c, E_m, v_c, v_m – модули Юнга и коэффициенты Пуассона керамической и металлической фаз функционально-градиентного материала; p – функционально-градиентный материальный индекс. Коэффициент p определяет соотношения объёмных долей керамики и металла в материале. Г∈ [0;0, 4] – показатель пористости.

Пористость и градиентность материала панели определены с помощью степенных функций [25]: равномерная пористость (U-PFGM (I)), повышенная пористость от верхней и нижней поверхностей к центру (O-PFGM (II)), уменьшенная пористость от верхней и нижней поверхностей к центру (X-PFGM (III)) и тот же самый тип распределения пористости, в котором пористость и градиентность определены с помощью тригонометрических функций [26] (type 1 (IV)). Иллюстрация типов пористости маетриала приведена на рис. 2.

 

Рис. 2. Схемы пористого материала

Fig. 2. Schematics of porous material

 

Выражение упругой энергии имеет вид (5)

$U=\frac{1}{2}\underset{\Omega }{\int }\left(\begin{array}{l}{\sigma }_{xx}{\epsilon }_{xx}+{\sigma }_{yy}{\epsilon }_{yy}+{\sigma }_{xy}{\epsilon }_{xy}+\\ +\underset{¯}{m_{xx}{\chi }_{xx}+m_{yy}{\chi }_{yy}+m_{xy}{\chi }_{xy}}\end{array}\right)d\Omega ,$ (5)

первые три слагаемые – это классическая теория, а подчёркнутые слагаемые – компоненты симметричного тензора градиента кривизны, определяются по модифицированной моментной теории упругости [24], внешняя работа распределенных сил q(x,y) принимает вид (6)

$W=\underset{S}{\iint }q\left(x,y\right)w(x,y)dS,$ (6)

кинетическая энергия имеет вид (7)

$K=\frac{1}{2}\underset{R}{\int }\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}\rho (x,y,z){\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)}^{2}dzdR.$ (7)

где, $\rho (x,y,z)$ – плотность материала панели.

Деформации произвольной точки панели, согласно гипотезе Кирхгофа–Лява и соотношениям фон Кармана, вычисляется по формулам (8):

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}=-z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2\left(x\leftrightarrow y\right),\\ {\epsilon }_{xy}=-2z\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y}.\end{array}$ (8)

Напряжения, входящие в выражение для упругой энергии, вызванные кинематическими параметрами, определены следующими уравнениями состояния (9):

$\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}=\frac{E\left(z\right)({\epsilon }_{xx}-v(z\left){\epsilon }_{yy}\right)}{1-v{\left(z\right)}^2}\left(x\leftrightarrow y\right),\\ {\sigma }_{xy}=\frac{E\left(z\right)}{1+v\left(z\right)}{\epsilon }_{xy},m_{xy}=\frac{-E\left(z\right)}{(1+v(z\left)\right)}{l}^2{\chi }_{xy},\\ m_{xx}=\frac{E\left(z\right)}{(1+v(z\left)\right)}{l}^2{\chi }_{xx}\left(x\leftrightarrow y\right),\\ {\chi }_{xx}=\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\left(x\leftrightarrow y\right),{\chi }_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\right),\end{array}$ (9)

здесь σ_xx, σ_yy, σ_xy – компоненты классического тензора напряжений; m_xx, m_yy, m_xy – моменты высшего порядка девиаторной части симметричного тензора; χ_xx, χ_yy, χ_xy – компоненты симметричного тензора кривизны.

Согласно принципу Остроградского–Гамильтона (10)

$\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\delta \left(-U+W+K\right)dt=\mathrm{0,}$ (10)

получим систему вариационных и дифференциальных нелинейных уравнений в частных производных с учетом гипотез, изложенных выше, для пористых функционально-градиентных размерно-зависимых цилиндрических панелей в смешанной форме относительно функций прогиба w(x,y) и функции напряжений F(x,y). Для статики нелинейные дифференциальные уравнения фон Кармана–Донелла в безразмерном виде имеют вид (11)

$\begin{array}{c}D\Delta \Delta w-\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}\right)-\\ -k_y\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}-k_x\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}=q,\\ \Delta \Delta F+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\right)}^2+\\ +\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+k_y\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+k_x\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0.\end{array}$ (11)

Уравнения (11) приведены к безразмерным параметрам согласно (12)

$\begin{array}{c}\overline{w}=\frac{w}{h},\overline{x}=\frac{x}{a},\overline{y}=\frac{y}{b},\overline{q}=\frac{a^2{b}^2}{E{h}^4}q,\lambda =\frac{a}{b},\\ \overline{E}=\frac{E}{E_m},\overline{k_x}=\frac{k_x{a}^2}{h},\overline{k_y}=\frac{k_y{b}^2}{h},\overline{l}=\frac{l}{h},\end{array}$ (12)

где E(z) – модуль упругости; v(z) – коэффициент Пуассона функционально градиентного материала, определяемого соотношениями (1)–(4); q(x,y) – поперечная нагрузка на цилиндрическую панель;  $D=\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int }}\left(\frac{\overline{E}\left(z\right)z^3}{1-v\left(z\right)}+\frac{{\overline{l}}^2}{1+v\left(z\right)}\right)dz$ – цилиндрическая жёсткость панели с учетом размерно-зависимого параметра $\overline{l}$. При $\overline{l}\in (0;1]$ модифицированная моментная теория упругости позволяет учитывать масштабные микро/наноэффекты. Нанопанелью является панель, толщина которой находится в нанодиапазоне h<1000 нм. В работе [27] и в настоящей работе величина размерно зависимого нанопараметра принята l=2,9 нм, значение параметра $\overline{l}=0$ позволяет учитывать полноразмерные структуры. В уравнениях (11) и далее в работе черточки над безразмерными параметрами для простоты опущены.

Граничные условия:

I. Шарнирное опирание по контуру на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) в касательной плоскости ребра

$w(x,y){|}_{\overline{r}=0}=F(x,y){|}_{\overline{r}=0}=\frac{{\partial }^{2}w}{\partial {\overline{r}}^2}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\overline{r}}^2}=0$. (13)

II. Свободное опирание по контору

$\begin{array}{c}w=\mathrm{0,}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=\mathrm{0,}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}=\mathrm{0,}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}для\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x=0;\mathrm{1,}\\ w=\mathrm{0,}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=\mathrm{0,}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=\mathrm{0,}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}для\hspace{0.17em}}y=0;1.\end{array}$ (14)

III. Защемление по контуру

$w(x,y){|}_{\overline{r}=0}=F(x,y){|}_{\overline{r}=0}=\frac{\partial w}{\partial \overline{r}}=\frac{\partial F}{\partial \overline{r}}=0$. (15)

IV. Защемление по контуру на гибкие нерастяжимые (несжимаемы) касательные в плоскости ребра

$w(x,y){|}_{\overline{r}=0}=F(x,y){|}_{\overline{r}=0}=\frac{\partial w}{\partial \overline{r}}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\overline{r}}^2}=\mathrm{0,}$ (16)

где $\overline{r}$ – нормаль к серединной поверхности. Визуализация граничных условий приведена в табл. 1.

 

Таблица 1. Визуализация граничных условий

Table 1. Visualization of boundary conditions

Граничные условия Boundary conditions	(I), (13)
	(II), (14)
	(III),(15)
	(IV),(16)

 

Методы анализа геометрически нелинейных функционально градиентных пористых микро/нанопанелей

Первоначально следует доказать, что решения, полученные с помощью метода вариационных итераций для анализа НДС пористых функционально-градиентных цилиндрических панелей, обладают высокой точностью. С этой целью в исследовании разработаны альтернативные методы – это BGM в высших приближениях и FDM, для которых исследуется сходимость методов.

Метод вариационных итераций основан на идее Фурье разделения переменных. Представляем функции w, F в виде суммы произведений функций (17)

$w(x,y)=\sum _{i=1}^n{\tilde{x}}_i\left(x\right){\tilde{y}}_i\left(y\right),F(x,y)=\sum _{i=1}^n{X}_i\left(x\right)Y_i\left(y\right).$ (17)

Задаем функции $\tilde{x}\left(x\right),X\left(x\right)$ произвольным образом (даже не удовлетворяя краевым условиям), функции $\tilde{y}\left(y\right),Y\left(y\right)$ являются искомыми. Применяя процедуру BGM для полноразмерной структуры по координате x, получим по координате y систему 2N обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решая систему ОДУ методом конечных разностей второго порядка точности с соответствующими граничными условиями, находим функции $\tilde{y}\left(y\right),Y\left(y\right)$. Первая итерация VIM является методом Канторовича–Власова (Kantorovich–Vlasov Method – KVM).

Полученные таким образом функции $\tilde{y}\left(y\right),Y\left(y\right)$ на втором шаге считаем аппроксимирующими, а функции $\tilde{x}\left(x\right),X\left(x\right)$– искомыми. Далее, применяя процедуру Бубнова–Галеркина, получили по другой координате y систему обыкновенных 2N уравнений по другой координате x. Продолжаем данный итерационный процесс до тех пор, пока решения на двух последовательных итерациях не совпадут в пределах принятой точности вычислений

$\left.\left|\frac{w_i-w_{i-1}}{w_i}\right|\right|\epsilon ,$

где w_i=w(0,5;0,5) – решение, полученное на i-й итерации. Доказательство сходимости метода вариационных итераций дано в работе [20].

Замечание: при решении KVM и BGM функции задаются исходя из удовлетворения краевым условиям, в то время как в методе вариационных итераций (VIM) этого не требуется, можно задавать функции, не удовлетворяя краевым условиям.

Метод Бубнова–Галеркина также основан на идее Фурье о разделении переменных. Представим функции w(x,y),F(x,y) в следующем виде:

$\begin{array}{c}w(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{A}_{i,j}{\phi }_i\left(x\right){\psi }_j\left(y\right),\\ F(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{B}_{ij}{\alpha }_i\left(x\right){\beta }_j\left(y\right),\end{array}$ (18)

причём каждая из выбранных функций φ_i(x), Ψ_j(y), a_i(x), β_j(y) в (18) должна точно удовлетворять соответствующим граничным условиям. При решении уравнения (11) для граничных условий (13) функции представляются в виде (19)

$\begin{array}{c}w(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{A}_{i,j}\sin \left(i\pi x\right)\sin \left(j\pi x\right),\\ F(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{B}_{i,j}\sin \left(i\pi x\right)\sin \left(j\pi x\right).\end{array}$ (19)

Применив BGM, получим систему 2N² нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i,j, B_i,j. Полученную систему решаем методом Ньютона–Рафсона.

К системе нелинейных уравнений в частных производных фон Кармана–Донела (11), описывающих устойчивость гибких наноцилиндрических панелей по пространственным координатам W(x,y), применим метод конечных разностей второго порядка точности (FDM), заменив производные разностными соотношениями значений функции при делении области на n² отрезков, получим систему 2N² нелинейных алгебраических выражений. Полученную систему решаем методом Ньютона–Рафсона. Деление области W(x,y) на конечные разности проводилось до совпадения решения не только основных функций w(x,y),F(x,y), но и их производных, до второго порядка включительно.

Достоверность получаемых результатов

Для получения достоверных результатов сопоставим решения q[w(0,5;0,5)], полученные методами вариационных итераций в первом и втором приближении (VIM 1, VIM 2), Бубнова–Галеркина в высших приближениях N=7 (BGM), конечных разностей второго порядка точности (FDM) (область Ω разбита на 35‧35 отрезков), Канторовича–Власова в первом и втором приближении (KVM 1, KVM 2), которые сравниваются c решениями D. Duc [9], полученными методом Бубнова–Галеркина в форме П.Ф. Папковича в первом приближении при следующих значениях параметров: λ=1, l=0, p=1, Г=0,4, k_x=0, k_y=4 для ФГ полноразмерной цилиндрической панели из диоксида циркония E_с=151 ГПа, v_с=0,3 и алюминия E_с=70 ГПа, v_с=0,3 [9] (рис. 3).

 

Рис. 3. Зависимость q[w(0,5;0,5)] для l=1, l=0, Г=0, граничных условий (13), полученная методами (BGM, VIM 1, VIM 2, FDM), X. Zhao [17] и D. Duc [9]

Fig. 3. Dependence q[w(0,5;0,5)] for boundary conditions (13) obtained by methods (MBG, MVI 1, MVI 2, MKR) and X. Zhao [17] and D. Duc [9] for the l=1, l=0, Г=0

 

В табл. 2 указаны значения функций w(0,5;0,5), ¶²w(0,5;0,5)/¶x² и погрешность относительно метода VIM 2. Погрешность определяется следующими соотношениями

$\begin{array}{c}{R}_1=\left|w_{vim2}-w_k\right|/w_{vim2},\\ R_2=\frac{({\partial }^2{w}_{vim2}/\partial x^2-{\partial }^2{w}_k/\partial x^2)}{{\partial }^2{w}_{vim2}/\partial x^2},\end{array}$

где w_vim2 – решение w(0,5;0,5), полученное методом VIM 2, w_k – решение, полученное для соответствующего метода в табл. 2.

 

Таблица 2. Сопоставление решения системы (11), полученной методами (BGM, VIM 1, VIM 2, FDM), и решений X. Zhao [17] и D. Duc [9] при q=40

Table 2. Comparison of the solution of system (11) obtained by the methods (BGM, VIM 1, VIM 2, FDM) and the solutions X. Zhao [17] and D. Duc [9] at q=40

q=40, λ=1, l=0, kx=0, ky=4, p=1, Г=0
Методы Methods	w(0,5;0,5)	R1, %		R2, %	Время расчёта, с Calculation time, s
Zhao	1,095	3,50	–	–	–
Duc	1,092	3,21	–	–	–
BGM N=1	1,088	2,84	–10,736	–17,46	0,35
BGM N=5	1,062	0,38	–9,626	–5,32	62,5
FDM (n‧n=35‧35)	1,057	0,09	–9,287	–1,61	1003
KVM 1 (n=49)	1,073	1,42	–9,321	–1,98	0,45
VIM 1 (n=49)	1,057	0,09	–9,237	–1,06	1,20
KVM 2 (n=49)	1,058	0,01	–9,307	–1,83	4,22
VIM 2 (n=49)	1,058	0,00	–9,14	0,00	8,21

 

Результаты, полученные методами (BGM N=7, VIM 1, VIM 2, FDM), хорошо согласуются между собой, максимальное различие в прогибах не превышает 1 %, а также близки к решениям работ [9, 17]. Отметим, что решение, полученное в работе Duc [9] методом Бубнова–Галеркина в форме П.Ф. Папковича в первом приближении, является неточным и имеет большую погрешность для вторых производных функций прогиба ¶²w/¶x². В связи с этим для получения достоверного решения методом BGM необходимо использовать высшие приближения.

Решения, приведённые на рис. 3 и в табл. 2, показывают, что разработанный метод VIM является наиболее эффективным, так как не требует построения системы аппроксимирующих функций, как в методе Бубнова–Галеркина. И результаты, полученные методом вариационных итераций во втором приближении VIM 2, можно считать точными, так как для этого метода имеется доказательство его сходимости [20] и решение удовлетворяет искомым дифференциальным уравнениям.

Затраты машинного времени для этого метода на шаге нагружения являются минимальными, для получения достоверного решения методом VIM 1 необходимо 3,6 секунды, VIM 2 – 16,2 секунды, а для метода конечных разностей FDM – более 1000 с. Расчёты проводились на компьютере с частотой процессора 2 ГГц.

Исследование напряжённо-деформированного состояния пористых функционально-градиентных цилиндрических панелей

В данной работе проведён анализ влияния типов пористости материалов, показателя пористости Г и функционально-градиентного материального индекса p для различных граничных условий для полноразмерной (l=0) и нанопанели (l=0,5) на НДС пористых ФГ цилиндрических панелей. В данном разделе расчеты проводились для ФГ из алюминия E_m=70 ГПа, v_m=0,33, ρ=2700 кг/м³ [25] и керамики диоксида циркония E_с=70 ГПа, v_с=0,33, ρ=2400 кг/м³ [25].

Исследуем НДС пористых ФГ размерно-зависимых квадратных в плане l=1 цилиндрических панелей, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений (11), при действии равномерно распределённой поперечной нагрузки q(x,y)=q, для четырех типов распределений пористости (type 1, U-PFGM, X-PFGM, O-PFGM), а также для сплошного металла и керамики. Сплошные линии решения получены для полноразмерных цилиндрических панелей l=0, пунктирные – для нанопанелей при l=0,5. Решения q[w(0,5;0,5)], приведенные на рис. 4, 5, получены методом вариационных итераций VIM 2. Отметим, что для полноразмерных цилиндрических панелей при k_y=30 наблюдается потеря устойчивости, т. е. критические нагрузки q_кр, стрелками на рис. 5 показаны направления перехода на устойчивую ветвь равновесия. Для наноструктур при l=0,5 при тех же параметрах k_x, k_y потеря устойчивости не наблюдается.

 

Рис. 4. Зависимость q[w(0,5;0,5)] при p=1, Г=0,4, k_x=0, k_y=10, λ=1 для (U-PFGM, X-PFGM, O-PFGM, type1, металл, керамика). Граничные условия: a) (13); б) (14)

Fig. 4. Dependence q[w(0,5;0,5)] at p=1, Г=0,4, k_x=0, k_y=10, λ=1 for (U-PFGM, X-PFGM, O-PFGM, type1, metal, ceramic). Boundary conditions: a) (13); b) (14)

 

Рис. 5. Зависимость q[w(0,5;0,5)] при p=1, Г=0, k_x=0, k_y=30, λ=1 для (U-PFGM, X-PFGM, O-PFGM, type1, металл, керамика). Граничные условия: a) (13); б) (14); в) (15); г) (16)

Fig. 5. Dependence q[w(0,5;0,5)] at p=1, Г=0, k_x=0, k_y=30, λ=1 for (U-PFGM, X-PFGM, O-PFGM, type1, metal, ceramic). Boundary conditions: a) (13); b) (14); c) (15); d) (16)

 

Результаты, представленные на рис. 4, 5, показывают, что увеличение показателя кривизны k_y приводит к качественному изменению характера изгибания цилиндрических панелей. При этом для малых значений параметров кривизны k_y≤10 график нагрузка-прогиб q[w(0,5;0,5)] близка к зависимости q[w(0,5;0,5)] для пластин. При увеличении параметра k_y при k_y=30 для полноразмерных пористых ФГ панелей наблюдется явление потери устойчивости для граничных условий (13), (14), в то время как для нанопанелей при l=0,5 данного явления не наблюдается. Кривые для цилиндрических панелей из PFGM занимают промежуточные положения на графиках q[w(0,5;0,5)] – между цилиндрическими панелями из металла и керамики без пористости. Таким образом, даже при наличии пористости при Г=0,4 добавление керамики в сплав позволяет увеличить несущую способность структур по сравнению с металлом без пористости. Учет размерно-зависимого параметра l=0,5 приводи к увеличению несущей способности цилиндрических панелей для всех рассматриваемых типов материала и граничных условий.

Из четырех рассмотренных типов пористости материалов наибольшей несущей способностью, как для полноразмерной, так и для наноцилиндрической панели, обладают type1 и X-PFGM. Данные типы пористости являются аппроксимацией случая, когда максимальный объём пор распределён в центре панели. Различия в прогибах между данными типами пор составляют менее 3 %. Из рассматриваемых типов пористости наименьшей несущей способностью обладают панели с распределением пор U-PFGM.

Проведём анализ влияния показателя пористости Г на изгибание пористой ФГ размерно-зависимой панели U-PFGM при действии равномерной нагрузки. Зависимости q[w(0,5;0,5)] для различных значений показателя пористости Г приведены на рис. 6 для граничных условий (13). Расчёты для ФГ материала из алюминия E_m=70, v_m=0,33 и керамики E_c=210, v_m=0,3 для следующих параметров p=1, λ=1. Стрелками показаны критические нагрузки, в которых происходит потеря устойчивости. В табл. 3 показаны величины критической нагрузки панели k_x=0, k_y=30 при действии поперечной равномерно-распределенной нагрузки.

 

Таблица 3. Критические нагрузки для цилиндрической панели k_x=0, k_y=30 с пористостью U-PFGM, p=1

Table 3. Critical loads for a cylindrical panel k_x=0, k_y=30 with U-PFGM porosity, when subjected to a transverse uniformly distributed load

Г	qкрит – граничные условия/boundary conditions
	l
	0	0,4	0	≥0,4
0	140	220	120	Критические нагрузки отсутствуют No critical loads
0,1	130	200	100
0,2	120	190	80
0,3	115	180	75
0,4	110	170	70

 

Анализ результатов, представленных на рис. 6 и в табл. 3, показывает, что величина показателя пористости Г существенно влияет на несущую способность пористых полноразмерных и наноцилиндрических панелей. Увеличение показателя пористости Г от 0 до 0,4 приводит к уменьшению функции прогиба как для полноразмерных (l=0), так и для наноцилиндрических (l=0,4) панелей. Учет параметра l для наноцилиндрических панелей существенно увеличивает несущую способность, практически в два раза, по сравнению с полноразмерными структурами.

 

Рис. 6. Зависимость q[w(0,5;0,5)] для U-PFGM при p=1, λ=1 для граничных условий (13) для а) k_x=0, k_y=10; б) k_x=0, k_y=30

Fig. 6. Dependence q[w(0,5;0,5)] for U-PFGM under p=1, λ=1, boundary conditions (13) for a) k_x=0, k_y=10; b) k_x=0, k_y=30

 

Увеличение параметра кривизны приводит к качественному изменению зависимости q[w(0,5;0,5)] и при k_y=30 для цилиндрических панелей происходит потеря устойчивости. При этом при увеличении размерно-зависимого параметра до l=0,6 потери устойчивости не наблюдается. Увеличение показателя пористости Г и размерно-зависимого параметра l приводит к возрастанию величины критической нагрузки при потере устойчивости.

Проведем анализ влияния функционально-градиентного индекса p на НДС пористой ФГ размерно-зависимой панели U-PFGM при действии равномерной нагрузки. На рис. 7 приведены зависимости q[w(0,5;0,5)] для граничных условий (13) при k_y=10 (рис. 7, а) и k_y=30 (рис. 7, б) для Г=0,4, l=1 в зависимости от параметра p. Критические нагрузки, в которых происходит потеря устойчивости, показаны стрелками на рис. 7.

 

Рис. 7. Зависимость q[w(0,5;0,5)] для U-PFGM при Г=0,4, λ=1 для граничных условий (13) для: а) k_x=0, k_y=10; б) k_x=0, k_y=30

Fig. 7. Dependence q[w(0,5;0,5)] for U-PFGM under Г=0,4, λ=1 boundary conditions (13) for: a) k_x=0, k_y=10; b) k_x=0, k_y=30

 

Функционально-градиентный индекс p отвечает за соотношение алюминия и керамики диоксида циркония [25] в панели. Изменение параметра p от 0,25 до 4 увеличивает объёмную долю металла в композите и приводит к уменьшению несущей способности как для полноразмерных, так и наноцилиндрических панелей. При увеличении параметра k_y при k_y³30 происходит потеря устойчивости панели. При этом при увеличении функционально градиентного индекса p величина критической нагрузки уменьшается.

Таким образом, использование функционально-градиентных материалов позволяет увеличить прочность изготавливаемых конструкций. Легкосплавные бурильные трубы изготавливаются методом горячего прессования из дюралюминия Д16Т [28]. В результате термообработки полученный сплав имеет следующие механические свойства: модуль Юнга E=72,1 ГПа, плотность ρ=2781 кг/м³. Полученный в данной работе функционально-градиентный материал обладает большей прочностью (модуль Юнга 112≤Е≤140) и меньшей плотностью 2035≤ρ≤2545 кг/м³ (что позволяет уменьшить вес конструкции) для пористого материала X‑PFGM 0≤Г≤0,4 при p=1.

Заключение

1. В работе проведено математическое моделирование конструкции из функционально-градиентных материалов в виде цилиндрических панелей, которые применяются для производства бурильных труб. Исследованы параметры, определяющие свойства указанных материалов, что позволяет выполнять анализ напряженно-деформированного состояния лекгосплавной трубы.
2. На напряжённо-деформированное состояние при исследовании гибких пористых функционально-градиентных нано- и полноразмерных цилиндрических панелей существенное влияние оказывают следующие физико-геометрические параметры: показатель пористости Г, функционально-градиентный индекс p, размерно-зависимый параметр l, геометрический параметр k_y, тип пористости материала. При увеличении параметра 0≤k_y<30 явления потери устойчивости не наблюдается, а при k_y³30 происходит потеря устойчивости панелей при шарнирном опирании по контуру. Из рассмотренных четырёх типов пористости панели с типами распределения пор type 1 и X-PFGM имеют наибольшую несущую способность. Изменение нанопараметра l от 0 до 0,4 приводит к повышению несущей способности пористых цилиндрических панелей и уменьшает прогиб w(0,5;0,5) панели на 40 % при k_y=10. Увеличение показателя пористости Г приводит к уменьшению несущей способности цилиндрических панелей. При изменении показателя Г от 0 до 0,4 при k_y=10 прогиб панели w(0,5;0,5) увеличивается на 30 %. Изменение параметра p от 0,2 до 4 приводит к увеличению величины w(0,5;0,5) более чем на 50 %.
3. Построенные математические модели панелей из PFGM дают обоснование для широкого использования этого типа материалов при изготовлении бурильных труб в нефтегазодобывающей отрасли. Такого типа трубы обладают малым весом, высокой удельной прочностью, коррозионной стойкостью, виброподавляющими и немагнитные свойствами.
4. Метод вариационных итераций во втором приближении (VIM 2) является наиболее эффективным методом исследования устойчивости и анализа НДС размерно-зависимых и наноцилиндрических панелей из PFGM по сравнению с методом Бубнова–Галекркина в высших приближениях (BGM) и конечных разностей второго порядка точности FDM, как по точности, так и по времени расчета. Для VIM доказана его сходимость [20], что является необходимым условием получения достоверных результатов.

About the authors

Anton V. Krysko

Moscow State University of Technology “STANKIN”

Author for correspondence.
Email: anton.krysko@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9389-5602

Dr. Sc., Chief Researcher

Russian Federation, 1, Vadkovsky lane, Moscow, 127055

Leonid A. Kalutsky

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: leon199703@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3335-4975

Junior Researcher

Russian Federation, 15, Akademik Lavrentiev avenue, Novosibirsk, 630090

Alyona A. Zakharova

Trapeznikov Institute of Control Problems, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: zaawmail@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-4221-7710

Dr. Sc., Chief Researcher

Russian Federation, 65, Profsoyuznaya street, Moscow, 117997

Vadim A. Krysko

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Institute for Precision Mechanics and Control Problems of the Russian Academy of Sciences

Email: tak@san.ru
ORCID iD: 0000-0002-4914-764X

Dr. Sc., Chief Researcher, Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Chief Researcher, Institute for Precision Mechanics and Control Problems of the Russian Academy of Sciences

Russian Federation, 15, Akademik Lavrentiev avenue, Novosibirsk, 630090; 24, Rabochaya street, Saratov, 410028

References

Supplementary files