Новые двусторонние оценки полных эллиптических интегралов первого и второго рода

Аннотация

В работе доказаны две теоремы, в которых установлены оценки снизу и сверху для полных эллиптических интегралов первого и второго рода, выражающиеся через элементарные функции. Эти теоремы применены к модельному геометрическому примеру. Кроме того, в статье представлены графики зависимостей от модуля этих интегралов как полученных оценок, так и их относительных погрешностей. Применимость найденных аппроксимаций для технических приложений также обсуждена.

Полный текст

Необходимость в вычислении значений полных эллиптических интегралов первого:

$K\left(k\right)=\underset{0}{\overset{\pi /\text{2}}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$ (1)

и второго рода:

$E\left(k\right)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }\cdot d\phi$(2)

часто возникает в самых разнообразных задачах (см., например, [1, 2]).

При фиксированном k Î(0,1) существует целый ряд алгоритмов для определения величин интегралов (1) и (2). Например, полный эллиптический интеграл первого рода можно вычислять методом арифметико-геометрического среднего, который предложил ещё К.Ф. Гаусс [3, с. 160], а полный эллиптический интеграл второго рода можно найти способом, описанным в [4]. Однако для теоретического исследований выражений, содержащих функции (1) и (2), эти методы неудобны. Более эффективными в такой ситуации являются двусторонние оценки интегралов (1) и (2). Примеры таких оценок дают следующие теоремы.

Теорема 1. При k Î[0, 1] полный эллиптический интеграл второго рода удовлетворяет неравенствам:

$E^{-}\left(k\right)\le E\left(k\right)\le E^{+}\left(k\right),$(3)

где

$E^{-}\left(k\right)=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot \frac{1-{\left(1-k^2\right)}^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{6}}$(4)

и

$E^{+}\left(k\right)=\frac{\pi }{2}\cdot \sqrt{1-\frac{4\cdot k^2}{{\pi }^2}.}$(5)

Доказательство. При k Î[0,1) производная от функции (2) по модулю k имеет вид:

$\frac{dE\left(k\right)}{dk}=-k\cdot \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{{\sin }^2\phi \cdot d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}.$(6)

Представим подинтегральное выражение в правой части формулы (6) как произведение двух функций: $f\left(\phi \right)={\sin }^2\phi иg\left(\phi \right)={\left(1-k^2{\sin }^2\phi \right)}^{-1/2}$, и применим к этому интегралу как прямое, так и обратное неравенство Гёльдера [5, с. 11].

Сначала выберем следующие значения показателей Гёльдера: $p=q=2$, тогда прямое неравенство Гёльдера есть не что иное, как неравенство Коши-Буняковского, а равенство (6) при $k\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ даёт:

$-\frac{\left|1\right.}{k}\frac{dE\left(k\right)}{dk}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{{\sin }^2\phi \cdot d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}\le \sqrt{\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^4\phi \cdot d\phi }\cdot \sqrt{\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{1-k^2{\sin }^2\phi }}.$(7)

Интегралы в правой части этого неравенства вычисляются элементарно. Таким образом, неравенство (7) сводится к следующей оценке для производной от функции (2):

$-\frac{dE\left(k\right)}{dk}\le \frac{\pi }{4}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{k}{\sqrt[4]{1-k^2}},k\in \left(\mathrm{0,1}\right).$(8)

Интегрируя неравенство (8) по модулю эллиптического интеграла от 0 до k , используя свойства интеграла Римана и учитывая, что E(0) = p 2 , получим, что при $k\in \left(\mathrm{0,1}\right)E^{-}\left(k\right)\le E\left(k\right)$ с функцией (4) в левой части этого неравенства. Справедливость неравенства при k = 0 и k = 1 проверяется непосредственно.

Далее, применим к выражению (6) обратное неравенство Гёльдера [5, с. 16] с показателями Гёльдера p = 1 2 (для функции f (j) ) и q = -1 (для функции g (j ) ):

$-\frac{1}{k}\frac{dE\left(k\right)}{dk}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{{\sin }^2\phi \cdot d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}\ge {\left[\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\left({\sin }^2\phi \right)}^{1/2}d\phi \right]}^2\cdot {\left[\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }\cdot d\phi \right]}^{-1}.$(9)

Неравенство (9) даёт для производной функции (2) следующую оценку:

$-\frac{dE\left(k\right)}{dk}\ge \frac{k}{E\left(k\right)},k\in \left(\mathrm{0,1}\right).$(10)

Обращаясь с неравенством (10) так же, как и в предыдущем случае, для  получим неравенство E(k ) £ E+ (k ) с функцией (5) в правой части этого неравенства. Справедливость неравенства при k = 0 и k = 1 проверяется непосредственной проверкой. Теорема доказана.

Теорема 1 иллюстрируется рис. 1, на котором представлены графики двусторонней оценки (3). Они демонстрируют, что при k Î(0,1) функции (4) и (5) приближают функцию (2) весьма неплохо.

Рис. 1. Оценки полного эллиптического интеграла второго рода.

Для того, чтобы выразить количественно, насколько хорошо приближают полный эллиптический интеграл второго рода его оценки снизу (4) и сверху (5), введём относительные погрешности:

$\delta E^{-}\left(k\right)=\frac{E\left(k\right)-E^{-}\left(k\right)}{E\left(k\right)},\delta E^{+}\left(k\right)=\frac{E{\left(k\right)}^{+}-E\left(k\right)}{E\left(k\right)}.$(11)

Графики функций (11) в зависимости от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 2. Из этого рисунка видно, что dE- (k ) < 0,05 при k Î[0, 0, 9] , а dE+ (k ) < 0,05 при k Î[0, 0, 76] , следовательно, при k Î[0, 0, 76] функции (4) и (5) можно применять при решении прикладных задач для оценки полного эллиптического интеграла второго рода с инженерной точностью.

Рис. 2. Относительная погрешность оценок полного эллиптического интеграла второго рода.

Аналогичная теорема может быть доказана и для функции (1).

Теорема 2. При k Î[0,1) полный эллиптический интеграл первого рода удовлетворяет неравенствам:

$K^{-}\left(k\right)\le K\left(k\right)\le K^{+}\left(k\right),$(12)

где

$K^{-}\left(k\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\cdot \frac{1-{\left(1-k^2\right)}^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{6}}-\frac{\pi }{4}\cdot \left(1-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\cdot In(1-k^2)$(13)

и

$K^{+}\left(k\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\cdot \sqrt{1-\frac{4}{{\pi }^2}}\cdot In\left(1-k^2\right)+\frac{\pi }{2}\cdot \sqrt{1-\frac{4}{{\pi }^2}}\cdot In\frac{\sqrt{1-4k^2/{\pi }^2}+\sqrt{1-4/{\pi }^2}}{1+\sqrt{1-4/{\pi }^2}}.$(14)

Доказательство. В работе [6] выведена следующая нелокальная связь между функциями (1) и (2), справедливая при k Î[0,1) :

$K\left(k\right)=E\left(k\right)+\underset{0}{\overset{k}{\int }}\frac{q\cdot E\left(q\right)\cdot dq}{1-q^2}.$ (15)

Комбинируя соотношение (15) с двусторонней оценкой (3) с функциями (4) и (5) и выполняя элементарное интегрирование, придём к двусторонней оценке (12) с функциями (13) и (14). Теорема доказана.

На рис. 3, который иллюстрирует утверждение теоремы 2, приведены графики двусторонней оценки (12).

Рис. 3. Оценки полного эллиптического интеграла первого рода.

Из этого рисунка видно, что при k Î[0,1) функции (13) и (14) приближают функцию (1) довольно хорошо.

Для того, чтобы выразить количественно, насколько хорошо приближают полный эллиптический интеграл первого рода его оценки снизу (13) и сверху (14), введём относительные погрешности:

$\delta K^{-}\left(k\right)=\frac{K\left(k\right)-K^{-}\left(k\right)}{K\left(k\right)},\delta K^{+}\left(k\right)=\frac{K^{+}\left(k\right)-K\left(k\right)}{K\left(k\right)}.$ (16)

Графики зависимостей функций (16) от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 4. По нему можно заметить, что dK- (k) < 0,05 при k Î[0, 0, 99] , а dK+ (k) < 0,05 при k Î[0, 0, 81] , значит, при k Î[0, 0, 81] функции (13) и (14) можно применять при решении прикладных задач для оценки полного эллиптического интеграла первого рода с инженерной точностью.

Рис. 4. Относительная погрешность оценок полного эллиптического интеграла первого рода.

Продемонстрируем применение доказанных теорем на следующем примере.

Рассмотрим два круговых цилиндра радиусов 1 и k ( 0 < k < 1), оси которых пересекаются под прямым углом (см. рис. 5).

Рис. 5. Круговые цилиндры разных радиусов с осями, пересекающимися под прямым углом.

Объём тела, ограниченного ими, равен [7, с. 214]:

$V\left(k\right)=\frac{8}{3}\cdot \left[\left(1+k^2\right)\cdot E\left(k\right)-(1-k^2)\cdot K\left(k\right)\right].$ (17)

Комбинируя неравенства (3) и (12), для величины (17) легко получить следующую двустороннюю оценку:

$V^{-}\left(k\right)\le V\left(k\right)\le V^{+}\left(k\right),$ (18)

где

$V^{-}\left(k\right)=\frac{8}{3}\cdot \left[\left(1+k^2\right)\cdot E^{-}\left(k\right)-(1-k^2)\cdot K^{+}\left(k\right)\right]$ (19)

и

$V^{+}\left(k\right)=\frac{8}{3}\cdot \left[\left(1+k^2\right)\cdot E^{+}\left(k\right)-(1-k^2)\cdot K^{-}\left(k\right)\right].$ (20)

Графики функций (17), (19) и (20) в зависимости от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 6.

Рис. 6. Оценки объёма пересечения двух круговых цилиндров разных радиусов с осями, пересекающимися под прямым углом.

Для количественной характеризации качества приближения объёма (17) величинами (19) и (20), построенными с помощью функций (4), (5), (13), (14), как и ранее, введём относительные погрешности:

$\delta V^{-}\left(k\right)=\frac{V\left(k\right)-V^{-}\left(k\right)}{V\left(k\right)},\delta V^{+}\left(k\right)=\frac{V^{+}\left(k\right)-V\left(k\right)}{V\left(k\right)}.$ (21)

Графики зависимостей функций (21) от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 7.

Рис. 7. Относительная погрешность оценок объёма пересечения двух круговых цилиндров разных радиусов с осями, пересекающимися под прямым углом.

Из этого графика видно, что dV ± (k) > 0,05 при всех k Î (0,1) , при этом кривая dV + (k ) уходит вверх до заметных значений. Однако кривая dV - (k ) остаётся ограниченной и снизу, и сверху: 0,068 < dV - (k ) < 0,084 , следовательно, формула (19) вполне пригодна для определения по заданному k значения объёма (17) с инженерной точностью.

Таким образом, теоремы 1 и 2, доказанные в этой работе, применимы для оценки величин как полных эллиптических интегралов первого и второго рода, так и их линейных комбинаций, с инженерной точностью.

В заключение отметим следующее обстоятельство: как хорошо известно, полные эллиптические интегралы первого и второго рода выражаются через гипергеометрические функции [3, c. 151]:

$E\left(k\right)=\frac{\pi }{2}\cdot F\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\mathrm{,1,}{k}^2\right),K\left(k\right)=\frac{\pi }{2}\cdot F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\mathrm{,1,}{k}^2\right),$(22)

следовательно, утверждения теорем 1 и 2 означают, что специальные функции (22), являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, могут быть эффективно приближены с помощью элементарных функций.