Синтез законов управления движением объектов по предписанным траекториям

Аннотация

Приведены новые алгоритмы синтеза законов управления движением управляемого объекта по заданной предписанной траектории. Рассматриваются два варианта синтеза – с использованием аналитического описания траектории движения и табличного, проиллюстрированные на модельных примерах. Результаты моделирования показали конструктивность и высокую эффективность процедур синтеза.

Полный текст

В различных практических областях ставятся задачи по обеспечению движения объекта по предписанным траекториям. Это задачи управления движением рабочего органа манипулятора, лазерным лучом, промышленными роботами, рабочим органом 3D-принтера, квадрокоптерами и. т. д. Проблемы синтеза законов управления предписанным движением, на данное время до конца не решены, это связано с трудностями при рассмотрении многомерных, нелинейных систем, а также с трудностями аналитического описания предписанных траекторий движения. В большинстве случаев на практике, например, при построении систем управления с промышленными роботами или применения 3D-принтеров, предписанную траекторию движения описать аналитически очень сложно. В этом случае используется подход синтеза на основе табличного задания предписанной траектории движения.

Синтез законов управления в случаях задания предписанной траектории движения в аналитической форме. Рассмотрим объект, описываемый математической моделью в виде

$\dot{x}=F\left(x\right)+G\left(x\right)u$, (1)

где $x={(x_1,x_2,\mathrm{...,}{x}_n)}^T$ − вектор состояния;

$u={(u_1,u_2,\mathrm{...,}{u}_m)}^T$ − вектор управления;

F(x) − в общем случая нелинейная вектор-функция;

G(x) − матрица, элементы которой-нелинейные функции от “x”.

Данная структура модели включает в себя и случай линейного объекта:

$\dot{x}=Ax+Bu$,

где А, В – числовые матрицы.

Предписанная траектория движения задаётся в виде системы аналитических выражений:

${\Psi }_r(x,t)=\mathrm{0,} r=\overline{\mathrm{1,}s}$. (2)

Назначая далее требуемый закон отработки ошибки выполнения программы движения в виде

$\frac{d{\delta }_r}{dt}=R_r(\delta ,x,t), R_r(\mathrm{0,}x,t)=\mathrm{0,} {\delta }_r={\psi }_r(x,t)\ne 0$, (3)

синтезируется искомый закон управления из условия обеспечения δ_r→ 0 в виде

$U={\sum }_{i=1}^s{C}_i{G}^T\left(x\right)\frac{\partial {\psi }_r}{\partial x}$, (4)

где коэффициенты $C_i, r=\overline{\mathrm{1,}s}$ определяется из следующей системы:

${\sum }_{j=1}^s{C}_j\left(G^T\right(x)\frac{\partial {\psi }_i}{\partial x}, G^T(x\left)\frac{\partial {\psi }_j}{\partial x}\right)=R_i-\left(\frac{\partial {\psi }_i}{\partial x},F\left(x\right)\right)-\frac{\partial {\psi }_i}{\partial t}, i=\overline{\mathrm{1,}s}$; (5)

а искомый вектор управления существует при условии

$rank\left(G\left(x\right)⋮{\sum }_{i=1}^s{C}_i\frac{\partial {\psi }_i}{\partial x}\right)=rank G\left(x\right)$. (6)

Если данное условие не выполняется, то это говорит о невозможности осуществления движения управляемой системы по заданной (предписанной) траектории.

Пример синтеза алгоритмов осуществления предписанной траектории. В качестве примера рассмотрим управляемый объект, который описывается системой уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=-x_2+u_1;\\ {\dot{x}}_2=x_3;\\ {\dot{x}}_3=u_2;\end{array}\right.$ (7)

или

$\dot{x}=Ax+Bu$, (8)

где $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right); B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.                          

Поставим задачу осуществления движения системы по траектории, описываемой системой уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{\psi }_1(x_1,x_2,x_3,t)=x_1+x_2+x_3-1=0;\\ {\psi }_2(x_1,x_2,x_3,t)=x_2+2x_2+3x_3-5=0.\end{array}\right.$ (9)

Для решения задачи синтеза предварительно выясним вопрос линейной независимости векторов $B^T\cdot \frac{d{\psi }_i}{dx}$. Для этого определим

$B^T\cdot \frac{d{\psi }_1}{dx}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right]; B^T\cdot \frac{d{\psi }_2}{dx}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}1\\ -2\\ -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ -3\end{array}\right]$.

Согласно [1] закону управления (4), имеем выражения искомых законов

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{16}(12r_1+4r_2+16x_2-4x_3);\\ u_2=\frac{1}{16}(4r_1-4r_2-12x_3).\end{array}\right.$ (10)

Моделирование замкнутой системы управления с помощью ППП MATLAB. Уравнение замкнутой системы исходя из (7) и (10) определяется в виде

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=-\frac{1}{4}\cdot x_2;\\ {\dot{x}}_2=x_3;\\ {\dot{x}}_3=-\frac{12}{16}\cdot x_3.\end{array}\right.$ (11)

Моделирование осуществляется на основе системы (11). На рисунке 1 показана модель, выполненная в пакете Simulink. Результаты моделирования показаны на рисунке 2.

Рис. 1. Моделирование замкнутой системы управления в Simulink

Рис. 2. Результаты моделирования для x₁(t), x₂(t), x₃(t)

Таким образом, синтезированный закон обеспечивает движение системы по предписанной траектории, заданной в виде системы уравнений (9). Физическая реализация полученных синтезированных функций U1, U2 не вызывает никаких затруднений.

Модельный пример синтеза адаптивного закона управления программным движением. Пусть объект управления описывается системой

$\dot{X}=ax+вu+∆ax$, (12)

где $a=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right); в=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right); ∆a=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$ – параметрические возмущения.

Предписанная программа движения описывается гармоническим законом

$X\left(t\right)=A\sin \omega t или \psi (x_1,x_2)=x_1^2+\frac{x_2^2}{{\omega }^2}-A^2=0$. (13)

U_пр строится в виде:

$U_{пр}=\left(a\right(x)\cdot \psi (x,t)-2x_1{x}_2)\frac{{\omega }^2}{2x_2}$.

Окончательно уравнение замкнутой системы управления с учётом структуры регулятора вида

$U=U_{пр}-Cx$, (14)

где С – матрица параметрических возмущений, представится в виде:

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2+a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2;\\ {\dot{x}}_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2-{\omega }^2\left[x_1+a_0\left(x_1^2+\frac{x_2^2}{{\omega }^2}-A^2\right)x_2\right]-C_1{x}_1-C_2{x}_2;\\ {\dot{C}}_1=\frac{2x_1{x}_2}{{\omega }^2}\left(x_1^2+\frac{x_2^2}{{\omega }^2}-A^2\right);\\ {\dot{C}}_2=\frac{2x_2^2}{{\omega }^2}\left(x_1^2+\frac{x_2^2}{{\omega }^2}-A^2\right).\end{array}\right.$ (15)

Проинтегрировав приведенные выражения, можно исследовать процессы x₁(t), x₂(t), C₁(t), C₂(t) и наблюдать фазовые портреты с помощью пакета MATLAB.

Моделирование синтезированной адаптивной системы управления на MATLA Simulink. Зависимости x₁(t), x₂(t), C₁(t), C₂(t) можно исследовать, интегрируя выражения (17) с помощью пакета Simulink (рисунок 3). Полученные результаты моделирования показаны на рисунках 4–7, соотношение между изменением выхода параметры и скоростью изменения x₂(t) иллюстрируется фазовым портретом, представленном на рисунке 8.

Рис. 3. Структурная схема моделирования синтезированной системы в пакете MATLAB Simulink

Рис. 4. Процесс на выходе x₁(t)

Рис. 5. Процесс на выходе x₂(t)

Рис. 6. Процесс на выходе C₁(t)

Рис. 7. Процесс на выходе C₂(t)

Рис. 8. Фазовый портрет выходных сигналов x₁(t) и x₂(t)

Данный фазовый портрет полностью подтверждает теоретические выводы и показывает процедуру синтеза (определения) искомых законов управления, когда предписанная траектория задается в аналитической форме.

Подход к синтезу законов управления в случаях задания предписанной траектории движения в табличной форме. Во многих практических важных случаях, например, в задачах робототехники, при автоматизации раскроя и конструирования одежды, использования лазерных технологий микроэлектроники, в системах 3D-технологий и др. аналитическое представление предписанной программы движения вызывает большие затруднения. В этих случаях предлагается следующий подход к синтезу. Пусть объект описывается системой

$\dot{x}=f(x,u,t)$, (16)

где $x={(x_1,x_2,\mathrm{...,}{x}_n)}^T$ − вектор состояния;

$u={(u_1,u_2,\mathrm{...,}{u}_m)}^T$ − вектор управления.

Требуется синтезировать закон управления по осуществлению траектории движения управляемой системы, заданной в табличной форме (см. таблицу 1).

Таблица 1. Предписанная траектория движения, заданная в табличной форме

tk	t0	t1	t2	t3	. . .
x1	x10	x11	x12	x13	. . .
x2	x20	x21	x22	x23	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
xn	xn0	xn1	xn2	xn2	. . .

Для удобства принимается t_k = k, k = 0, 1, 2..., т. е. вводятся абстрактные дискретные моменты времени.

Математическая модель объекта записывается в дискретной форме

$\frac{x(k+1)-x\left(k\right)}{t_{k+1}-t_k}=f\left(x\right(k),u(k),k) или \frac{x(k+1)-x\left(k\right)}{∆}=f\left(x\right(k),u(k),k)$.

Ее представляем в виде

$x(k+1)=x\left(k\right)+f\left(x\right(k),u(k),k)∆$, (17)

где: x(k) – текущее состояние, x(k + 1) – состояние на следующем шаге.

Из выражения (17) можно определить u(k): u(k) = U(x(k), x(k + 1), k, Δ).

Управление будет определяться из условия минимизации квадрата невязки:

${||x_{табл}(k+1)-x_{текущ}(k+1)||}^2\Rightarrow \underset{u\left(k\right)}{\min }$. (18)

Для линейного объекта $\dot{x}=Ax+Bu$ вышеописанного процедура синтеза приводит к результату

$\begin{array}{l}u\left(k\right)=-\frac{1}{2{\delta }^2}{\left(B^{T}B\right)}^{-1}\left[2B^T\delta x_{табл}(k+1)-2B^T(A\delta +E)\delta x\left(k\right)\right]=\\ =-\frac{1}{{\delta }^2}{\left(B^{T}B\right)}^{-1}\left[B^T\delta x_{табл}(k+1)+B^T(A\delta +E)\delta x\left(k\right)\right].\end{array}$ (19)

Пример реализации предписанной траектории, заданной таблицей. Известно, что соответствующая математическая модель дискретного движения 3-х шаговых приводов по осям X, Y, Z описывается в виде следующей системы управлений

$\left\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}=x_k+n_{kx}\cdot L_{шx};\\ y_{k+1}=Y_k+n_{ky}\cdot L_{шy};\\ z_{k+1}=z_k+n_{kz}\cdot L_{шz};\end{array}\right.$ (20)

отсюда

$\left\{\begin{array}{l}{n}_{kx}=\frac{X_{k+1}-X_k}{L_{шx}};\\ n_{ky}=\frac{Y_{k+1}-Y_k}{L_{шy}};\\ n_{kz}=\frac{Z_{k+1}-Z_k}{L_{шz}}.\end{array}\right.$ (21)

Компьютерное моделирование траекторного движения с применением пакета MATLAB, на основе таблицы 2 и уравнений (20), (21) проведено на рисунке 9.

Таблица 2. Пример табличного задания предписанной программы движения

время коорд.	t0 = 0	t1 = 1	t2 = 2	t3 = 3	t4 = 4
xk	0	7	8	2,2	0
yk	0	7	8	2,2	0
zk	0	7	8	8	0

Рис. 9. Результат моделирования траекторного движения

Результат моделирования (рис. 9) показывает, что действительно, движение происходит по предписанной траектории, заданной в таблице 2.

Таким образом представлены процедуры синтеза законов управления, когда предписанная траектория задается аналитически, и синтез законов в случае, когда предписанная траектория движения задается в табличной форме. Проведенное моделирование демонстрирует конструктивность и высокую эффективность предлагаемых процедур синтеза.