Two-color graph as means of classification of cartesian products of rough circle transformations

Abstract

The paper describes an algorithm for matching each diffeomorphism, which is a Cartesian product of two rough transformations of a circle, a two-color graph. Necessary and sufficient conditions for topological conjugacy of diffeomorphisms of the class under consideration using a two-color graph are found.

Full Text

Введение. Исследование грубых систем дифференциальных уравнений началось с работы [1] А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина. В 1939 году А. Г. Майер в работе [2] ввел понятие грубости для динамических систем с дискретным временем (каскадов) на окружности и классифицировал грубые диффеоморфизмы окружности, это была одна из первых работ по топологической классификации динамических систем.

В 1959 году М. Пейшото в статье [3] обобщил результаты А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина на произвольные ориентируемые замкнутые поверхности. В дальнейшем гиперболическая теория начала активно развиваться, С. Смейлом, Дж. Палисом, В. ди Мелу [4–6] была выстроена теория простейших структурно устойчивых систем, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа орбит, называемых системами Морса-Смейла (в книге [7] дано систематизированное изложение классификации систем Морса-Смейла).

В 1971 году М. М. Пейшото в работе [8] формализовал понятие схемы Леонтович Майера (введенное в 1955 г. в работе [9]) и доказал, что для систем Морса-Смейла на произвольных поверхностях, полным топологическим инвариантом является класс изоморфности его различающего графа. Результат Пейшото был обобщен В. З. Гринесом и А. Н. Безденежных для градиентно-подобных каскадов на ориентируемых поверхностях [10]. В работе [11] А. А. Ошемков и В. В. Шарко предложили поставить в соответствие потоку Морса-Смейла без замкнутых траекторий на поверхности трехцветный граф, который также является полным топологическим инвариантом, но по сравнению с графом Пейкшото, описание и проверка изоморфности трехцветных графов является значительно более простой. В работе [12] были классифицированы градиентно-подобные диффеоморфизмы на поверхностях посредством трехцветного граф (T_f, P_f). В статье [13] получена полная топологическая классификация n-кратных регулярных гомеоморфизмов окружности.

В настоящей работе рассматривается более узкий, по сравнению с работами [12; 13], класс G^* диффеоморфизмов, представляющих собой декартово произведение двух грубых преобразований окружности. В качестве претендента на роль топологического инварианта систем класса G^* предъявляется двуцветный граф и доказывается теорема о полноте множества найденных инвариантов.

Теорема. Диффеоморфизмы f, f' ∈ 𝐺^∗ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда двуцветные графы (D_f, P_f) и (D_f’, P_f’) изоморфны.

Пусть 𝑓:𝑀²→𝑀²- диффеоморфизм класса 𝐺^∗, представляющий собой декартово произведение двух грубых преобразований окружности.

Неблуждающее множество Ω диффеоморфизма 𝑓:𝑀²→𝑀² представляется в следующем виде объединения множества стоковых (Ω₀), седловых (Ω₁) и источниковых (Ω₂) точек диффеоморфизма 𝑓, то есть: Ω = Ω₀ ∪ Ω₁ ∪ Ω₂. Множество Ω₁ ≠ ∅ в силу того, что диффеоморфизмы класса 𝐺^∗ являются декартовым произведением двух грубых преобразований окружности и имеют по крайней мере две седловые точки, фазовый портрет простейшего представителя класса 𝐺∗ представлен на Рис. 3.

Следующее утверждение устанавливает топологический тип многообразий, допускающих диффеоморфизмы из класса G^*.

Утверждение. Пусть 𝑓 ∈ 𝐺^∗. Тогда 𝑀²  гомеоморфно либо тору 𝑇², либо бутылке Клейна 𝐾².

Двуцветный граф.

Определение. Граф D называется двуцветным графом, если:

• множество всех ребер графа D является объединением двух подмножеств, каждое из которых состоит из ребер одного цвета (цвета ребер обозначим буквами s, u);
• каждая вершина графа D инцидентна в точности четырем ребрам, причем из них два

ребра цвета u, два ребра цвета s;

• граф не содержит петель.

Рис. 1. Примеры двуцветных графов с двумя, тремя и четырьмя вершинами.

На рисунке 1 приведены примеры простейших двуцветных графов; в силу определения двуцветного графа (он не содержит петель) минимально возможный двуцветный граф состоит из 2 вершин и 4 соединяющих их ребер.

Взаимно-однозначное отображение P графа D на себя, переводящее вершины в вершины с сохранением отношений инцидентности и цветности, называется автоморфизмом графа D. В дальнейшем мы будем понимать под символом (D, P) граф D, оснащенный автоморфизмом P.

Два двуцветных графа (D, P) и (D', P') назовем изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие 𝜒 между множествами их вершин, сохраняющее отношения инцидентности и цветности, при этом сопрягающее автоморфизмы P и P', то есть P' 𝜒 = 𝜒 P.

Опишем процесс построения двуцветного графа для диффеоморфизмов класса G^*, для этого проведем предварительные разбиения поверхности.

Положим $\tilde{M}=M^2\backslash (W_{{\Omega }_0}^u\cup W_{{\Omega }_1}^u\cup W_{{\Omega }_1}^s{W}_{{\Omega }_2}^s).$

Множество $\tilde{M}$ представляется в виде объединения областей (ячеек), гомеоморфных открытому двумерному диску, граница каждой из которых имеет вид, изображенный на Рис. 2.

Рис. 2. Вид ячейки.

В границу каждой ячейки 𝛿 входят четыре периодические точки: источниковая точка 𝛼, седловые точки σᵢ и σⱼ , стоковая точка 𝜔, а также устойчивые сепаратри $l_{{\sigma }_i}^u$и $l_{{\sigma }_j}^u$ (s – кривые) с граничными точками 𝛼, 𝜎ᵢ и 𝛼, 𝜎ⱼ , неустойчивые сепаратрисы $l_{{\sigma }_i}^u$ и $l_{{\sigma }_j}^u$ (u-кривые) с граничными точками 𝜔, σᵢ и σⱼ , 𝜔 (см. Рис. 2). Стороной ячейки назовем замыкание s- или u-кривой.

Периодом ячейки 𝛿 называется наименьшее натуральное число 𝑘∈𝑁,, такое что f ^k(𝛿) = 𝛿.

Рис. 3. Фазовый портрет диффеоморфизма класса G* и соответствующий ему двуцветный граф.

Перейдем к непосредственному процессу построения двуцветного графа D_f, соответствующего диффеоморфизму f ∈ G^* (см. Рис. 3-4).

• Вершиныграфа Df взаимно-однозначно соответствуют ячейкам множества Δ;
• две вершины графа инцидентны ребру цвета s или u, если соответствующие этим вершинам ячейки имеют общую s или u кривую.

Обозначим через B_f множество вершин графа D_f. Так как каждая ячейка имеет 4 стороны и из них две имеют цвет u, оставшиеся две - цвет s, то в вершине, соответствующей ячейке, сходятся 4 ребра, причем из них два ребра цвета u, два ребра цвета s.

Цикл, все ребра которого имеют цвет u (s) назовем u (s)-циклом; su-циклом назовем цикл, цвета всех ребер которого чередуются. Так как две вершины графа могут быть инцидентны двум ребрам различного цвета, то для однозначности условимся, что при описании su-цикла первое ребро имеет цвет s.

Поскольку все стороны ячейки различны, то есть любая сторона ячейки примыкает к стороне другой ячейки, то граф D_f не имеет петель.

Таким образом, граф D_f удовлетворяет определению двуцветного графа. Положим 𝜋_𝑓 взаимно-однозначное отображение множества ячеек диффеоморфизма f на множество вершин графа D_f. Диффеоморфизм f индуцирует на множестве вершин и ребер графа Df автоморфизм

Лемма. Двуцветный граф (Df , 𝑃𝑓 ) обладает следующими свойствами:

• граф Df связен;
• каждое ребро принадлежит единственному su-циклу длины 4; каждый s-цикл имеет длину 4; каждый u-цикл имеет длину
• автоморфизм 𝑃_𝑓 является периодическим с периодом m_f.

Для диффеоморфизмов класса G^*, представляющих собой декартово произведение двух грубых преобразований окружности, найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов посредством двуцветного графа, которые сформулированы в следующей теореме.

Теорема. Диффеоморфизмы f, f' из класса G* топологически сопряжены тогда и только тогда, когда графы (Df; Pf), (Df'; Pf') изоморфны.

Рис. 4. Фазовый портрет диффеоморфизма класса G* и соответствующий ему двуцветный граф.

Заключение. В статье описан алгоритм сопоставления каждому диффеоморфизму, представляющему собой декартово произведение двух грубых преобразований окружности, двуцветного графа. Найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов, представляющих собой декартово произведение двух грубых преобразований окружности, посредством двуцветного графа.

Авторы благодарят О. В. Починку за консультации и внимание к работе.