Exact solution to one functional differential equation of parabolic type using semigroup theory and some of its applications

Full Text

Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа активно используются при решении целого ряда задач оптоэлектроники [1] и математической биологии [2]. Многие общие свойства уравнений такого типа описаны в обзоре [3]. Однако в математической физике важную роль играют не только свойства решений её уравнений, но и построение точных решений этих последних, поэтому рассмотрим задачу Коши на прямой:

$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}+\alpha \cdot u(-x,t),u\left(x\mathrm{,0}\right)=u_0\left(x\right),x\in R,\alpha \ne 0.$                                         (1)

Для этой задачи справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть, тогда точное решение задачи Коши (1) имеет вид:

$u(x,t)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}g(x,\xi ;t)\cdot u_0\left(\xi \right)\cdot d\xi ,$                                                                                            (2)

где интегральное ядро оператора эволюции равно

$g(x,\xi ;t)=ch(\alpha \cdot t)\cdot G(x-\xi ;t)+sh(\alpha \cdot t)\cdot G(x+\xi ;t),$                                                             (3)

$G(x;t)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{\pi \cdot t}}\cdot \exp \left(-\frac{x^2}{4\cdot t}\right).$                                                                                        (4)

Доказательство. Перепишем задачу Коши (1) для исходного функционально- дифференциального уравнения параболического типа в операторном виде:

$\frac{du}{dt}=Au,u\left(0\right)=u_0$                                                                                                      (5)

где

$A=D^2+\alpha \cdot P$                                                                                                                      (6)

— линейный оператор, действие которого на произвольную функцию f (x) можно

определить с помощью следующих правил: (Df )(x) =f’(x) (оператор дифференцирования) и (Pf )(x) =f (-x) .

Как хорошо известно [4], решение абстрактной задачи Коши (5) равно:

$u\left(t\right)=\exp \left(At\right)u_0.$                                                                                                                  (7)

Далее, входящий в формулу (6) оператор P есть не что иное, как широко используемый в квантовой механике оператор пространственной инверсии [5].

Этот оператор коммутирует с квадратом оператора дифференцирования D: [D², P]=0, следовательно:

$\exp \left[(D^2+\alpha P)\cdot t\right]=\exp (\alpha \cdot t\cdot \text{P})\cdot \exp (t\cdot D^2).$                                                                        (8)

Легко убедиться в том, что в пространстве L_(R) оператор инверсии P ограничен, причём || P || = 1, поэтому:

$\exp (\alpha \cdot t \cdot P)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^n{t}^n}{n!} \cdot P^n.$                                                                                              (9)

Но так как P² = I , где I ― тождественный оператор [5], то формула (9) упрощается:

$\exp (\alpha \cdot t \cdot P)=ch(\alpha \cdot t) \cdot I+sh(\alpha \cdot t) \cdot P.$                                                                           (10)

Наконец, ${\left\{\exp (t\cdot D^2)\right\}}_{t\ge 0}$ — оператор полугруппы Гаусса-Вейерштрасса, действие которого на произвольную функцию f ∈ L_∞ (R) задаётся её свёрткой с функцией (4) [6]:

$\left(\exp \right(t\cdot D^2)\cdot f)\left(x\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}G(x-\xi ;t)\cdot f\left(\xi \right)\cdot d\xi .$                                                                               (11)

Комбинируя формулы (7), (8), (10) и (11), придём к выражениям (2) и (3), то есть к условию теоремы.

Теорема полностью доказана.

Интегрируя соотношение (2) по x по всей прямой и переставляя затем порядки интегрирования по x и по ξ, получим следующее утверждение.

Следствие 1. Если u(x,t) — точное решение задачи Коши (1) с начальным условием u₀ ϵ L₁(R), то:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}u(x,t)\cdot dx=\exp (\alpha \cdot t)\cdot \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{u}_0\left(x\right)\cdot dx.$                                                                                    (12)

Соотношение (12) демонстрирует разницу между поведением решений обычного уравнения параболического типа (α = 0 ) и функционально-дифференциального уравнения параболического типа (α ≠ 0 ), а именно, площадь, ограниченная решением уравнения (1) и осью x , со временем либо экспоненциально растёт (при α > 0 ), либо экспоненциально убывает (при α < 0 ) — в отличие от площади, ограниченной решением уравнения диффузии-теплопроводности (α = 0 ), которая не меняется со временем.

Переходя в формуле (10) от гиперболических функций к экспоненциальным и используя затем формулу (8), легко вывести ещё одно следствие из доказанной выше теоремы.

Следствие 2. Оператор полугруппы, соответствующий инфинитезимальному генератору полугруппы (6), можно представить в виде:

$\exp \left(At\right)=\left[\exp (\alpha \cdot t)\cdot P_{+}+\exp (-\alpha \cdot t)\cdot P\_\right]\cdot ext(t\cdot D^2),$                                                              (13)

где $P_{+}=(I\pm P)/2$ — операторы, удовлетворяющие соотношениям $P_{\pm }^2=P_{\pm }$, то есть проекционные операторы.

Это представление эволюционного оператора задачи Коши (1) позволяет лучше понять общую структуру её точного решения (2), а именно, действуя согласно формуле (7) на начальное условие u₀ (x) оператором полугруппы в представлении (13), получим, что:

$u(x,t)=\exp (\alpha \cdot t) \cdot u^{+}(x,t)+\exp (-\alpha \cdot t) \cdot u^{-}(x,t),$                                                                  (14)

где соответственно чётная и нечётная части от функции , являющейся решением обычного уравнения теплопроводности с тем же начальным условием u₀ (x). Таким образом, из выражения (14) следует, что на больших временах при α > 0 остаётся и экспоненциально растёт чётная часть u⁺(x,t) от функции u⁰(x,t) , а при α < 0 остаётся и экспоненциально растёт нечётная часть u^-(x,t) от функции u⁰(x,t).

Важной характеристикой инфинитезимального генератора (6) рассматриваемой полугруппы является его резольвента $R_{\lambda }\left(A\right)={(A-\lambda I)}^{-1}\left[\mathrm{4,6}\right].$

Пусть функция r(x, ξ; λ) – интегральное ядро оператора резольвенты. Оно действует на произвольный вектор f ϵ L_∞ (R) следующим образом:

$\left(R_{\lambda }\right(A\left)f\right)\left(x\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}r(x,\xi ;\lambda )\cdot f\left(\xi \right)\cdot d\xi .$                                                                                           (15)

Применив к выражениям (2)-(4) формулу связи между оператором резольвенты и оператором полугруппы [4, 6]:

$\left(R_{\lambda }\right(A\left)f\right)\left(x\right)=-\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}exp(-\lambda \cdot t) \cdot \left(\exp \right(At\left)f\right)\left(x\right) \cdot dt$                                                               (16)

и сравнив между собой выражения (15) и (16) после использования известных свойств преобразования Лапласа [7] и известного выражения интегрального ядра для резольвенты

 R(D² ) оператора D²[6], несложно получить ещё одно утверждение.

Следствие 3. Интегральное ядро оператора резольвенты инфинитезимального генератора полугруппы (6) равно:

$r(x,\xi ;\lambda )=\frac{p(x,\xi ;\lambda -\alpha )+p(x,-\xi ;\lambda -\alpha )+p(x,\xi ;\lambda +\alpha )-p(x,-\xi ;\lambda +\alpha )}{2},$                                     (17)

С другой стороны, подстановка представления (13) оператора рассматриваемой полугруппы в формулу (16) позволяет переписать выражение для резольвенты в операторном виде:

$R_{\lambda }(D^2+\alpha \cdot P)=P_{+}\cdot R_{\lambda -\alpha }\left(D^2\right)+P_{-}\cdot R_{\lambda +\alpha }\left(D^2\right).$                                                                   (18)

Очевидно, что формулы (17) и (18) эквивалентны друг другу.

Рассмотрим пример точного решения задачи Коши (1). Выберем её начальное условие в виде гауссоиды с характерной шириной l₀ , сдвинутой относительно начала координат на расстояние x₀ :

$u_0\left(x\right)=\exp \left[-\frac{{(x-x_0)}^2}{4\cdot l_0^2}\right].$                                                                                                         (19)

Оператор полугруппы Гаусса-Вейерштрасса ${\left(\exp \right(D^{2}t\left)\right)}_{t\ge 0}$ трансформирует во времени функцию (19) следующим образом:

$u^0(x,t)=\frac{l_0}{\sqrt{l_0^2+t}}\exp \left[-\frac{1}{4}\frac{{(x-x_0)}^2}{l_0^2+t}\right].$                                                                                      (20)

Наконец, из функции (20) по формуле (14) получаем точное решение задачи Коши (1) с начальным условием (19):

$u(x,t)=\frac{l_0}{\sqrt{l_0^2+t}}\cdot \left(ch\left(\alpha t\right)\cdot \exp \left[-\frac{1}{4}\frac{{(x-x_0)}^2}{l_0^2+t}\right]+sh\left(\alpha t\right)\cdot \exp \left[-\frac{1}{4}\frac{{(x+x_0)}^2}{l_0^2+t}\right]\right).$                       (21)

Графики функции (21) при x₀ = 2, l₀ =1 и различных значениях α приведены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Временная эволюция смещённой гауссоиды при α = 1,5.

Рис. 2. Временная эволюция смещённой гауссоиды при α = -1,5.

Из рисунка 1 видно, что на больших временах экспоненциально растёт чётная часть гауссоиды (20). Из рисунка 2 видно, что на больших временах экспоненциально растёт её нечётная часть. Таким образом, этот пример полностью иллюстрирует доказанную в данной работе теорему.

В заключение необходимо отметить, что полученные результаты могут быть применены для дальнейшего развития теории полугрупп, в частности, построенное точное решение задачи Коши (1) может быть положено в основу различных схем теории возмущений, а найденное в следствии 3 теоремы интегральное ядро оператора резольвенты инфинитезимального генератора полугруппы (6) даёт возможность вычислить резольвенты последовательных степеней этого оператора.

About the authors

A. E. Rassadin

Author for correspondence.
Email: ogarevonline@yandex.ru
Russian Federation

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Time evolution of the shifted Gaussian at α = 1.5.

Download (90KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Time evolution of the shifted Gaussian function at α = -1.5.

Download (85KB)

Indexing metadata