Calculating periodic solutions to non-autonomous duffing equation by small parameter method

Abstract

The article presents the result of automating the small parameter method in the Maple mathematical package for finding a periodic solution to the non-autonomous Duffing equation. Graphs of periodic solutions and phase trajectories of the Duffing equation are constructed for various values of a small parameter.

Full Text

Введение. В 1918 году Г. Дуффинг ввел в рассмотрение уравнение с кубической нелинейностью для описания эффекта жесткости пружины [1]. В дальнейшем такого вида уравнения получили название уравнение Дуффинга. В работах [2; 3] изложены различные подходы к нахождению периодических решениях неавтономного уравнения Дуффинга.

Одним из хорошо известных методов нахождения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений является метод малого параметра, предложенный А. Пуанкаре [4] и получивший свое развитие в последующих работах [5; 6].

В приведенных работах при вычислении периодического решения методом малого параметра, как правило, ограничиваются вычислениями первого или второго приближения в разложении искомого решения в ряд по малому параметру. В предлагаемой работе на основе автоматизации в математическом пакете Maple процесса нахождения приближений 2𝜋- периодического решения неавтономного уравнения Дуффинга приведены результаты по вычислению приближений до третьего порядка включительно. Разработанный программный модуль в пакете Maple позволяет по наперед заданному произвольному числу приближений найти эти приближения.

Вычисление периодического решения неавтономного уравнения Дуффинга вдали от резонанса. Рассмотрим уравнение Дуффинга в виде [5]

$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=\lambda \sin t+\gamma \mu x^3,$                                                                                                       (1)

где собственная частота 𝜔 – отличное от нечетного целого вещественное число, μ – малый параметр, λ и γ– некоторые вещественные параметры. Уравнение (1) будем называть возмущенным уравнением для случая вдали от резонанса.

Приведем результат работы программного модуля для n = 3, реализующего алгоритм вычисления методом малого параметра 2𝜋-периодического решения неавтономного уравнения Дуффинга при условии, что значение собственной частоты находится вдали от резонансных значений.

Представим периодическое решение уравнения (1) в виде

$x\left(t\right)=x_0\left(t\right)+\mu x_1\left(t\right)+{\mu }^2{x}_2\left(t\right)+{\mu }^3{x}_3\left(t\right)+о\left({\mu }^3\right).$                                                                     (2)

Подставляя выражение (2) в уравнение (1), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра μ в левой и правой частях и пренебрегая слагаемыми порядка  o(μ³), получим систему уравнений

$\begin{array}{l}{\ddot{x}}_0+{\omega }^2{x}_0=\lambda \sin t,{\ddot{x}}_1+{\omega }^2{x}_1=\gamma x_0^3,\\ {\ddot{x}}_2+{\omega }^2{x}_2=3\gamma x_0^2{x}_1,{\ddot{x}}_3+{\omega }^2{x}_3=3\gamma x_0^2{x}_2+3\gamma x_0{x}_1^2.\end{array}$                                                (3)

Последовательно решая уравнения системы (3) в пакете Maple, получим

$\begin{array}{l}{x}_0\left(t\right)=A_1\sin t,x_1\left(t\right)=B_1\sin t+B_3\sin 3t,\\ x_2\left(t\right)=C_1\sin t+C_3\sin 3t+{С}_5\sin 5t,x_3\left(t\right)=D_1\sin t+D_3\sin 3t+D_5\sin 5t+D_7\sin 7t,\end{array}$         (4)

где

  $A_1=\frac{\lambda }{{\omega }^2-1},B_1=\frac{3\gamma {\lambda }^3}{4{({\omega }^2-1)}^4},B_3=-\frac{\gamma {\lambda }^3}{4{({\omega }^2-1)}^3({\omega }^2-9)},$

$\begin{array}{l}{C}_1=\frac{3{\gamma }^2{\lambda }^5(5{\omega }^2-41)}{8{({\omega }^2-1)}^7({\omega }^2-9)},C_3=-\frac{3{\gamma }^2{\lambda }^5(5{\omega }^2-29)}{16{({\omega }^2-1)}^6{({\omega }^2-9)}^2},\\ C_5=\frac{3{\gamma }^2{\lambda }^5}{16{({\omega }^2-1)}^5({\omega }^2-9)({\omega }^2-25)},\end{array}$

$\begin{array}{l}{D}_5=\frac{3{\gamma }^3{\lambda }^7(7{\omega }^4-188{\omega }^2+901)}{16{({\omega }^2-1)}^8{({\omega }^2-9)}^2{({\omega }^2-25)}^2},\\ D_7=-\frac{3{\gamma }^3{\lambda }^7({\omega }^2-13)}{16{({\omega }^2-1)}^7{({\omega }^2-9)}^2({\omega }^2-25)({\omega }^2-49)}.\end{array}$

Первое уравнение системы (3) будем называть невозмущенным уравнением для случая вдали от резонанса.

В качестве приближения порядка  o(μ³) к 2𝜋-периодическому решению уравнения (1) возьмем

$S_3\left(t\right)=x_0\left(t\right)+\mu x_1\left(t\right)+{\mu }^2{x}_2\left(t\right)+{\mu }^3{x}_3\left(t\right),$                                                                               (5)

Приближения фазовых траекторий уравнения (1) будем строить как параметрические кривые .

1. Графики периодических решений и фазовые траектории уравнения Дуффинга вдали от резонанса.

Поскольку в этом параграфе рассматривается не резонансный случай, то в качестве собственной частоты выберем, например, 𝜔 = 2.

Приведем графики 2𝜋–периодических решений и фазовых траекторий уравнения (1) при λ = 1 и γ = 6 и различных значениях параметра μ (рис. 1, 2).

Рис. 1. Графики 2𝜋- периодических решений уравнения (1) в случае отсутствия резонанса при различных значениях параметра μ.

Рис. 2. Графики фазовых траекторий уравнения (1) в случае отсутствия резонанса при различных значениях параметра μ.

2.  Вычисление периодического решения неавтономного уравнения Дуффинга при резонансе. Рассмотрим случай, когда собственная частота 𝜔 равна единице или меньше ее на некоторый малый параметр. Тогда согласно [5] представим собственную частоту 𝜔 в виде

ω² = 1 + bμ                                                                                                                                (6)

и рассмотрим два случая:

1) резонанс: ω² = 1, b = 0

2) вблизи резонанса: ω² = 1 + μ, = 1, μ < 0

Тогда в первом случае уравнение (1) примет вид

$\ddot{x}+x=\mu (\gamma x^3+{\lambda }_1\sin t),$                                                                                                               (7)

во втором случае получим

$\ddot{x}+x=\mu (-x+\gamma x^3+{\lambda }_1\sin t).$                                                                                                       (8)

Здесь, λ = μλ₁. Уравнения (7) и (8) будем называть возмущенным уравнением для случаев 1 и 2, соответственно. Уравнение $\ddot{z}+z=\mathrm{0,}$

– невозмущенным уравнением для случаев 1 и 2, соответственно.

В виду громоздкости формул, выражающих аналитическую зависимость приближений периодических решений от параметров γ и λ₁, приведем результаты работы программного модуля для приближенного вычислений 2𝜋–периодических решений с точностью o(μ³) при значениях γ = 6 и λ₁ = 1 для случаев 1) ω² = 1, 𝑏 = 0

$\begin{array}{l}{S}_3\left(t\right)=-\mathrm{0,6057}\sin t+\mu (-\mathrm{0,1389}\cdot {10}^{-1}\sin t-\mathrm{0,4166}\cdot {10}^{-1}\sin 3t)+\\ +{\mu }^2(\mathrm{0,6372}\cdot {10}^{-2}\sin t+\mathrm{0,1434}\cdot {10}^{-1}\sin 3t-\mathrm{0,2866}\cdot {10}^{-2}\sin 5t)+\\ +{\mu }^3(-\mathrm{0,2679}\cdot {10}^{-2}\sin t-\mathrm{0,4470}\cdot {10}^{-2}\sin 3t+\mathrm{0,1447}\cdot {10}^{-2}\sin 5t-\mathrm{0,1971}\cdot {10}^{-3}\sin 7t),\end{array}$            (9)

и случая 2) ω² = 1 + μ, = 1, μ < 0

$\begin{array}{l}{S}_3\left(t\right)=-\mathrm{0,7265}\sin t+\mu (-\mathrm{0,2789}\cdot {10}^{-1}\sin t-\mathrm{0,7189}\cdot {10}^{-1}\sin 3t)+\\ +{\mu }^2(\mathrm{0,1448}\cdot {10}^{-1}\sin t+\mathrm{0,2542}\cdot {10}^{-1}\sin 3t-\mathrm{0,7117}\cdot {10}^{-2}\sin 5t)+\\ +{\mu }^3(-\mathrm{0,6310}\cdot {10}^{-2}\sin t-\mathrm{0,6766}\cdot {10}^{-2}\sin 3t+\mathrm{0,3783}\cdot {10}^{-2}\sin 5t-\mathrm{0,7042}\cdot {10}^{-3}\sin 7t).\end{array}$            (10)

Погрешность вычислений составляет 10⁻⁴.

3.  Графики периодических решений и фазовых траекторий уравнения Дуффинга при резонансе. Построим графики 2𝜋–периодических решений и фазовых траекторий уравнения (1) для случаев 1) ω² = 1, ω = 0 (рис. 3, 4) и 2) ω² = 1 + μ, 𝑏 = 1, μ < 0 (рис. 5, 6) при различных значениях параметра μ.

Рис. 3. Графики 2𝜋- периодическому решению уравнения (7) в случае резонанса при 𝜔²= 1 и различных значениях параметра μ.

Рис. 4. Графики фазовых траекторий уравнения (7) в случае резонанса при 𝜔²= 1 и при различных значениях параметра μ.

Рис. 5. Графики 2𝜋- периодическому решению уравнения (7) вблизи резонанса при 𝜔²= 1 + μ, 𝜔² = 1 + μ и различных значениях параметра μ.

Рис. 6. Графики фазовых траекторий уравнения (7) вблизи резонанса при 𝜔²= 1+ μ и при различных значениях параметра μ.

Обсуждение полученных результатов. Достоверность результатов, полученных с помощью метода малых параметров, подтверждается сравнением их с численными решениями задачи Коши для соответствующих уравнений (1), (7) и (8). Начальные данные численных решений определялись из приближенных решений, полученных методом малого параметра.

Из графиков (рис. 1–6) видно, что случаи вдали резонанса и вблизи него имеют общую закономерность, заключающуюся в том, что при уменьшении параметра μ по модулю 2𝜋– периодические решения и фазовые траектории возмущенных уравнений приближаются к 2𝜋– периодическим решениям и фазовым траекториям соответствующих невозмущенных уравнений. Причем вдали резонанса амплитуда колебания 2𝜋–периодических решений при положительных μ больше, чем при отрицательных.

Вместе с тем есть и существенные различия. Если в случае вдали от резонанса фазовые траектории представляют собой непересекающееся семейство замкнутых кривых, то в случае резонанса каждая фазовая траектория возмущенной системы пересекает фазовую траекторию невозмущенной системы в четырех точках. Причем в случае резонанса (𝜔²= 1+ μ, b = 0) эти четыре точки пересечения для всех фазовых траекторий возмущенной системы остаются неизменными, вблизи же резонанса (𝜔²= 1 + μ, b = 1, μ < 0) соответствующие точки пересечения для различных фазовых траекторий возмущенной системы несколько смещаются.