Том 19, № 3 (2015)
- Год: 2015
- Статей: 12
- URL: https://ogarev-online.ru/1991-8615/issue/view/1217
Олег Игоревич Маричев (к 70-летию со дня рождения)
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):407-414
407-414
Модель Изинга с дальним взаимодействием
Аннотация
Методом Монте-Карло исследуется фазовый переход в двумерной и трехмерной моделях Изинга с дальним взаимодействием спинов. Область взаимодействия каждого спина с окружающими его спинами характеризуется радиусом $R$. На основе численного моделирования показано, что температура фазового перехода $T_c$ зависит от радиуса $R$ области взаимодействия между спинами. Построена аналитическая функция $T_c (R)$, аппроксимирующая данную зависимость.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):415-424
415-424
Контракция калибровочной группы электрослабой модели и ее естественные энергетические пределы
Аннотация
Из первых принципов калибровочных теорий на уровне классических калибровочных полей рассматривается высоко- и низкоэнергетические поведение электрослабой модели. Оба предела порождаются одной и той же контракцией калибровочной группы при разных согласованных преобразованиях пространства полей. Математический параметр контракции в обоих случаях физически интерпретируется как энергия. Очень слабое взаимодействие нейтрино с веществом, особенно при малых энергиях, объясняется стремящимся к нулю контракционным параметром, зависящим от энергии нейтрино. В высокоэнергетическом пределе все частицы электрослабой модели теряют массу, так что лагранжиан предельной модели содержит только безмассовые нейтральные Z-бозоны, безмассовые u-кварки, нейтрино и фотоны, а также их слабые и электромагнитные взаимодействия. Слабые взаимодействия становятся дальнодействующими и осуществляются посредством только нейтральных токов. Предельная модель отвечает развитию Вселенной в первую секунду после Большого взрыва.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):425-440
425-440
Рождение D-мезонов на большом адронном коллайдере в реджевском пределе КХД
Аннотация
В работе рассматривается инклюзивное рождение очарованных $D^{0}$, $D^{+}$, $D^{\star+}$ и $D_{s}^{+}$ мезонов в протон-антипротонных соударениях на коллайдере Тэватрон и протон-протонных соударениях на Большом адронном коллайдере (БАК). Теоретические расчёты проведены в лидирующем порядке теории реджезованных партонов (ТРП), основанной на эффективной квантовой теории поля Л. Н. Липатова и подходе $k_{T}$-факторизации при высоких энергиях. В работе были использованы универсальные функции фрагментации (ФФ), полученные фитированием данных рождения $D$-мезонов на линейном электрон-позитронном коллайдере LEP1. Нами описаны распределения $D$-мезонов по поперечному импульсу, измеренные в центральной области быстрот коллаборациями CDF на Тэватроне ($|y|<1$) и ALICE на БАК ($|y|<0.5$) в пределах ошибок измерений и без привлечения свободных параметров. На стадии численных расчётов нами использовались неинтегрированные глюонные функции распределения (ФР) Кимбера, Мартина и Рыскина (КМР).
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):441-461
441-461
Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля
Аннотация
Ранее авторами было найдено полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики в 4-мерном пространстве конформной связности без кручения при отсутствии электромагнитного поля. Позже, в другой статье, авторы нашли решения уравнений Янга-Миллса для этой же метрики при наличии электромагнитного поля специального вида, предполагая, что его компоненты зависят не от четырех, а только от двух переменных. Там же авторы провели сравнение получившегося решения с хорошо известным решением Райсснера-Нордстрема и указали причину того, что эти решения не совпадают. В настоящей работе авторы не накладывают никаких предварительных ограничений на компоненты электромагнитного поля. Это сильно усложняет вывод уравнений Янга-Миллса. Тем не менее, все вычислительные трудности были преодолены. Оказалось, что решения этих уравнений всё равно зависят только от двух переменных, и новых решений, кроме полученных ранее, не возникает. Авторы делают вывод, что найдены все решения уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии произвольного электромагнитного поля, согласованного с уравнениями Янга-Миллса в пространстве без кручения (то есть без источников). Эти решения выражаются через эллиптическую функцию Вейерштрасса.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):462-473
462-473
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
Аннотация
В рамках квазипотенциального метода в квантовой электродинамике вычислены поправки порядка $\alpha^5$ и $\alpha^6$ в сверхтонкой структуре $S$-состояний мюонного дейтерия. Учтены релятивистские поправки, эффекты поляризации вакуума в первом, втором и третьем порядках теории возмущений, эффекты структуры и поправки на отдачу. Полученные численные значения сверхтонких расщеплений $\Delta E^{hfs}(1S)=50.2814$~meV ($1S$-состояние) и $\Delta E^{hfs}(2S)=6.2804$ meV ($2S$-состояние) можно использовать для сравнения с будущими экспериментальными данными коллаборации CREMA. Интервал сверхтонкой структуры $\Delta_{12}=8\Delta E^{hfs}(2S)-\Delta E^{hfs}(1S)=-0.0379$ meV можно использовать для прецизионной проверки квантовой электродинамики.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):474-488
474-488
Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью
Аннотация
В работе рассматривается волновое уравнение для среды с памятью, полученное при исследовании усредненных моделей комбинированных сред и описывающее одномерный вариант закона Кельвина-Фойгхта вязкоупругих колебаний комбинированных сред. Задача состоит в определении функции, с физической точки зрения отвечающей за среднее смещение материала. Для этого с помощью формулы распространяющихся волн строится решение через общее решение системы первого порядка, в которой каждое уравнение является уравнением переноса вдоль соответствующей характеристики. Основной результат сформулирован в виде двух теорем для дискретной и непрерывной модификации уравнения. В работе также содержатся наглядные соображения, приводящие к построению классического решения уравнений.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):489-503
489-503
Релаксация остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом полупространстве в условиях ползучести
Аннотация
Предложен метод решения задачи релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом слое полупространства в условиях ползучести. На первом этапе решена задача восстановления напряжённо-деформированного состояния в полупространстве после процедуры поверхностного пластического деформирования на основании частично известной информации о распределении одной компоненты тензора остаточных напряжений, определённой экспериментально. На втором этапе решена задача релаксации самоуравновешенных остаточных напряжений в условиях ползучести на основе численного метода. Для решения задачи введена декартова система координат: плоскость x0y совмещена с упрочнённой поверхностью полупространства, а ось 0z направлена по глубине упрочнённого слоя. Введены гипотезы плоских сечений, параллельных плоскостям x0z и y0z. Выполнен детальный теоретический анализ поставленной задачи. Для проверки адекватности численного метода выполнено сравнение расчётных значений с экспериментальными данными в плоских образцах (прямоугольные параллелепипеды) из сплава ЭП742 при T = 650 °С после ультразвукового упрочнения при четырёх режимах упрочнения. Поскольку глубина залегания остаточных напряжений на два порядка меньше характерного размера образца, в качестве математической модели плоского образца использовано полупространство. Показано, что для всех четырёх режимов упрочнения расчётные и экспериментальные значения остаточных напряжений после процесса ползучести хорошо согласуются. Показано, что в процессе ползучести происходит уменьшение (по модулю) сжимающих остаточных напряжений в 1.4-1.6 раза.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):504-522
504-522
Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галёркина на неструктурированных сетках
Аннотация
Для решения уравнений диффузионного типа в настоящее время широко применяется конечно-элементный метод Галёркина с разрывными базисными функциями (РМГ), который характеризуется высоким порядком точности получаемого решения. Для применения РМГ исходное уравнение второго порядка преобразуется к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные потоковые переменные. В соответствии с традиционным подходом в РМГ решение в каждой ячейке основной сетки представляется в виде линейной комбинации базисных функций. Тепловой поток ищется в виде линейной комбинации базисных функций на ячейках двойственной сетки. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов, построенных относительно вершин основной сетки. Интегрирование по объемам и граням ячеек базируется на использовании квадратурных формул Гаусса. Численный алгоритм рассматривается на примере решения начально-краевой задачи для трехмерного уравнения теплопроводности. Численная методика реализована в виде программного продукта и ориентирована на решение трехмерных задач теплопроводности на неструктурированных тетраэдральных сетках. В работе представлены результаты расчетов ряда тестовых задач, демонстрирующие возможности и точность методики.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):523-533
523-533
Математические основы теории познания на основе экспериментов
Аннотация
В статье рассматриваются математические предпосылки для разработки теории познания, использующей информацию о реальных экспериментах, проводимых над реальными объектами с помощью формально-технологических аналогов машин Тьюринга. Такие аналоги, получившие название «универсальных синтезаторов-анализаторов объектов», теоретически позволяют выполнять синтез и анализ самых разнообразных конструкций (в том числе объектов, полученных путем соединения конечного числа исходных более мелких объектов, так называемых элементов базы) по различным алгоритмам в рамках некоторых ограничений, накладываемых алгоритмическими системами, названными формальными технологиями. Эти алгоритмические системы оказываются весьма близкими по своей формальной структуре и сути к структурам алгебраических систем Мальцева. Формальная близость таких алгоритмических систем позволяет, во-первых, выдвинуть гипотезу об алгоритмической основе практически всех окружающих нас понятных или непонятных (пока) нам физических процессов, что в какой-то степени объясняет широкую применимость математики к объяснению самых различных особенностей окружающего нас мира; во-вторых, она же позволяет сформулировать и доказать ряд теорем (называемых утверждениями), касающихся особенностей и ключевых характеристик алгоритмов познания в одномерных, двухмерных и трехмерных средах для различных формальных технологических систем, включая так называемую «теорему об эффективности накопленных знаний». Теорема (утверждение) оказывается применимой к очень широкому классу технологий, использующих в качестве операции анализа предикат равенства двух объектов. В статье приводятся и доказываются утверждения о существовании алгоритмов познания с различными наборами технологических операций типа синтеза и декомпозиции, а также с различными наборами операций анализа, включая предикат равенства, операцию «случайного стационарного отображения» (механизм действия которой неизвестен, а потому близок к концепции оракулов в машинах Тьюринга), операции определения формы объектов и др. Приводится структура соответствующего автоматически действующего устройства, названного «познавателем».
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):534-558
534-558
Сходимость матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
Аннотация
Исследованы вопросы устойчивости и сходимости предложенного ранее матричного метода численного интегрирования краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Использование многочленов Тейлора произвольных степеней позволило повысить порядок аппроксимации метода до произвольного натурального числа и отказаться от аппроксимации производных конечными разностями. При выборе второй степени многочлена Тейлора уравнения метода совпали с известными уравнениями традиционного метода численного интегрирования краевых задач, в котором производные аппроксимированы конечными разностями. Показано, что достаточный критерий устойчивости при использовании в методе многочленов Тейлора степени три и выше совпадает с достаточным критерием устойчивости традиционного метода сеток для численного интегрирования краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода. Теоретически установлено, что скорость сходимости матричного метода интегрирования краевых задач с граничными условиями первого рода пропорциональна степени используемого многочлена Тейлора в случае, когда эта степень является чётной, и пропорциональна числу, меньшему степени на единицу, когда эта степень является нечётной; при интегрировании краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода скорость сходимости метода пропорциональна степени используемого многочлена Тейлора независимо от её чётности и меньше неё на единицу. Полученные теоретические результаты подтверждены численным экспериментом.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):559-577
559-577
Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса для неньютоновской жидкости, движущейся в ламинарном режиме в круглой трубе
Аннотация
Сформулирована задача теплопереноса (с учётом диссипации механической энергии) в неньютоновской жидкости, протекающей по круглой трубе в стабилизированном ламинарном режиме. Рассмотрены два варианта постановки: 1) нестационарная задача с учётом диффузионной составляющей теплопереноса вдоль трубы; 2) стационарная задача без учёта продольной диффузионной составляющей теплопереноса в жидкости. Для приближённого решения поставленных задач использован синтез метода начальных функций и метода дополнительных граничных условий, что позволяет понизить размерность задачи по пространственным переменным на единицу. В стационарном случае за счёт еще одного дополнительного граничного условия удалось получить более высокую степень аппроксимации температурного поля, чем в нестационарном случае. Исследованы разные способы аппроксимации краевых условий для температуры жидкости на входе в трубу как согласованных, так и не согласованных с температурой стенки. Проведены расчёты температурных полей для расплава полиэтилена высокого давления с учётом и без учёта диссипации механической энергии в полимере. Выполнено сравнение с расчётами, проведёнными на основе другого, ранее разработанного приближённого метода, отличного от предложенного в настоящем исследовании.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(3):578-600
578-600