Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 87, № 5 (2023)
Статьи
Памяти Василия Сергеевича Владимирова
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):3-3
3-3
Fermions from classical probability and statistics defined by stochastic independence
Аннотация
The case study of fermions and the attempt to deduce their structure from classical probability opens new ways for classical and quantum probability, in particular, for the notion of stochastic coupling which, on the basis of the example of fermions, we enlarge to the notion of algebraic coupling, and for the various notions of stochastic independence. These notions are shown to be strictly correlated with algebraic and stochastic couplings. This approach allows to expand considerably the notion of open system. The above statements will be illustrated with some examples. The last section shows how, from these new stochastic couplings, new statistics emerge alongside the known Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein and Fermi–Dirac statistics.Bibliography: 5 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):5-40
5-40
О слабых решениях граничных задач для некоторых общих дифференциальных уравнений
Аннотация
Изучаются обобщенные постановки задачи Дирихле, Неймана, других граничных задач для уравнений и систем вида $\mathcal{L}^+ A\mathcal{L}u=f$ с общей, вообще говоря, матричной дифференциальной операцией $\mathcal{L}$ и некоторым линейным или нелинейным оператором $A$, действующим в векторных пространствах $L^k_2(\Omega)$. Получены утверждения о существовании и единственности слабого решения и корректности поставленных граничных задач. В качестве оператора $A$ рассмотрены случаи операторов Немыцкого, а также интегральных операторов. Рассмотрены случаи вхождения младших производных.Библиография: 19 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):41-56
41-56
On the detailed structure of quantum control landscape for fast single qubit phase-shift gate generation
Аннотация
In this work, we study the detailed structure of quantum control landscape for the problem of single-qubit phase shift gate generation on the fast time scale. In previous works, the absence of traps for this problem was proven on various time scales. A special critical point which was known to exist in quantum control landscapes was shown to be either a saddle or a global extremum, depending on the parameters of the control system. However, in the case of a saddle the numbers of negative and positive eigenvalues of the Hessian at this point and their magnitudes have not been studied. At the same time, these numbers and magnitudes determine the relative ease or difficulty for practical optimization in a vicinity of the critical point. In this work, we compute the numbers of negative and positive eigenvalues of the Hessian at this saddle point and, moreover, give estimates on magnitude of these eigenvalues. We also significantly simplify our previous proof of the theorem about this saddle point of the Hessian [Theorem 3 in B. O. Volkov, O. V. Morzhin, A. N. Pechen, J. Phys. A: Math. Theor. 54, 215303 (2021)].Bibliography: 42 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):57-70
57-70
Two-weight estimates for Hardy–Littlewood maximal functions and Hausdorff operators on $p$-adic Herz spaces
Аннотация
This paper is concerned with some sufficient conditions for the boundedness of Hardy–Littlewood maximal functions, rough Hausdorff and matrix Hausdorff operators on two-weighted Herz spaces on $p$-adic fields through its atomic decomposition.Bibliography: 34 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):71-91
71-91
92-98
Operator-norm Trotter product formula on Banach spaces
Аннотация
Proof of the operator-norm convergent Trotter product formula on a Banach space is unexpectedly elaborate and a few of known results are based on assumption that at least one of the semigroups involved into this formula is holomorphic. Here we present an example of the operator-norm convergent Trotter product formula on a Banach space, where this condition is relaxed to demand that involved semigroups are contractive.Bibliography: 21 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):99-123
99-123
Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней
Аннотация
Рассматриваются системы с торическим конфигурационным пространством и кинетической энергией в виде “плоской” римановой метрики на торе. Потенциальная энергия $V$ – гладкая функция на конфигурационном торе. Динамика таких систем описывается “натуральными” гамильтоновыми системами дифференциальных уравнений. Если заменить $V$ на $\varepsilon V$, где $\varepsilon$ – малый параметр, то исследование таких гамильтоновых систем при малых значениях $\varepsilon$ относится к “основной проблеме динамики” по Пуанкаре. Обсуждается известная гипотеза об однозначных полиномиальных по импульсам интегралах уравнений движения: если имеется полиномиальный по импульсам интеграл степени $m$, то обязательно найдется линейный или квадратичный по импульсам первый интеграл. Эта гипотеза полностью доказана для $m=3$ и $m=4$. Обсуждаются случаи “высших” степеней, когда $m=5$ и $m=6$. Следуя теории возмущений гамильтоновых систем, вводятся резонансные прямые на плоскости импульсов. Если система допускает полиномиальный интеграл, то число этих прямых конечно. Найдены симметрии множества резонансных прямых, что дает, в частности, необходимые условия интегрируемости. Получены некоторые новые критерии существования однозначных полиномиальных интегралов.Библиография: 11 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):124-139
124-139
On the positivity of direct image bundles
Аннотация
In the present paper, we obtain an equivalent relation between the log-plurisubharmonicity of the relative Bergman kernel, the Griffiths and Nakano positivity for the direct image with the natural $L^2$ metric, by finding a converse of Berndtsson's theorem on the direct image. A converse of Berndtsson's generalization of Kiselman minimal principle is also obtained.Bibliography: 30 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):140-163
140-163
Преобразование ренормализационной группы в обобщенной фермионной иерархической модели
Аннотация
Рассматривается двумерная иерархическая решетка, в которой элементарная ячейка представлена вершинами квадрата. В обобщенной иерархической модели расстояние между противоположными вершинами квадрата отличается от расстояния между соседними вершинами и фактически является параметром новой модели. Гауссовская часть гамильтониана четырехкомпонентной обобщенной фермионной иерархической модели инвариантна относительно блок-спинового преобразования ренормализационной группы. Преобразование ренормгруппы в пространстве коэффициентов, задающих грассманово-значную плотность свободной меры, вычисляется явно как однородное отображение четвертой степени в двумерном проективном пространстве. Описываются свойства этого отображения.Библиография: 10 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):164-176
164-176
On optimization of coherent and incoherent controls for two-level quantum systems
Аннотация
This article considers some control problems for closed and open two-level quantum systems. The closed system's dynamics is governed by the Schrödinger equation with coherent control. The open system's dynamics is governed by the Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad master equation whose Hamiltonian depends on coherent control and superoperator of dissipation depends on incoherent control. For the closed system, we consider the problem for generation of the phase shift gate for some values of phases and final times for which we numerically show that zero coherent control, which is a stationary point of the objective functional, is not optimal; it gives an example of subtle point for practical solving quantum control problems. The two-stage method, which was developed in [A. Pechen, Phys. Rev. A., 84, 042106 (2011)] for generic $N$-level open quantum systems for approximate generation of a given target density matrix, is modified here for the case of two-level systems. We modify the first (“incoherent”) stage by numerically optimizing piecewise constant incoherent control instead of using constant incoherent control analytically computed using eigenvalues of the target density matrix. Exact analytical formulas are derived for the system's state evolution, the objective functions and their gradients for the modified first stage. These formulas are then applied in the two-step gradient projection method. The numerical simulations show that the modified first stage's duration can be significantly less than the unmodified first stage's duration, but at the cost of performing optimization in the class of piecewise constant controls.Bibliography: 72 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):177-203
177-203
Топологические фазы в теории твердого тела
Аннотация
Статья представляет собой обзор, посвященный топологическим фазам – одному из активно развивающихся направлений в теории твердого тела. Приводится интерпретация топологических фаз в терминах обобщенных теорий когомологий и $K$-теории. Библиография: 13 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):204-214
204-214
О нетривиальной разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений на всей прямой
Аннотация
Рассматривается система сингулярных интегральных уравнений с монотонной и выпуклой нелинейностью на всей числовой прямой. Данная система имеет приложения во многих направлениях естествознания. В частности, такие системы встречаются в теории $p$-адических открыто-замкнутых струн, в математической теории пространственно-временного распространения эпидемии в рамках известной модели Дикмана–Капера, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения. Доказывается теорема существования нетривиального и ограниченного решения. Исследуется также асимптотическое поведение построенного решения на $\pm\infty$. Приводятся конкретные примеры нелинейностей и ядерных функций, имеющих прикладной характер.Библиография: 18 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):215-231
215-231
Classification of weighted dual graphs consisting of $-2$-curves and exactly one $-3$-curve
Аннотация
Let $(V, p)$ be a normal surface singularity. Let $\pi\colon (M, A)\to (V, p)$ be a minimal good resolution of $V$. The weighted dual graphs $\Gamma$ associated to $A$ completely describes the topology and differentiable structure of the embedding of $A$ in $M$. In this paper, we classify all the weighted dual graphs of $A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ such that one of the curves $A_i$ is $-3$-curve, and the rest are all $-2$-curves. This is a natural generalization of Artin's classification of rational triple points. Moreover, we compute the fundamental cycles of maximal graphs (see Section 5) which can be used to determine whether the singularities are rational, minimally elliptic or weakly elliptic. We also give the formulas for computing arithmetic and geometric genera of star-shaped graphs.Bibliography: 28 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(5):232-270
232-270