Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 60, № 7 (2024)
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ, ВОЗМУЩЕННОГО ДЕЛЬТА-ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
Аннотация
В гильбертовом пространстве 𝐿2[0,+∞) рассмотрено возмущение оператора Штурма–Лиувилля дельта-функцией Дирака. Гладкий потенциал, растущий на бесконечности, обеспечивает дискретность спектра невозмущённого оператора. Найдено распределение собственных значений возмущения и установлена асимптотика собственных значений в зависимости от параметров возмущения.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):867–875
867–875
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ФАКТОРИЗОВАННЫМ ОПЕРАТОРОМ
Аннотация
При приближённом решении задачи Коши для эволюционных уравнений оператор задачи часто можно представить в виде суммы более простых операторов. Это даёт возможность строить операторно-разностные схемы расщепления, когда переход на новый слой по времени обеспечивается решением задач для отдельных операторных слагаемых. В статье рассмотрены нестационарные задачи, основная особенность которых связана с представлением оператора задачи в виде произведения оператора 𝐴 и его сопряжённого оператора 𝐴*. На основе трансформации исходного уравнения к системе двух уравнений строятся аппроксимации по времени для эволюционных уравнений второго порядка, когда аддитивное представление имеет место для оператора 𝐴. Предложены безусловно устойчивые схемы расщепления, исследования которых выполнены с привлечением общих результатов теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем в гильбертовых пространствах.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):876–885
876–885
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО ПОРЯДКУ ПРЯМОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОСОБЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Найдено приближённое решение линейного интегро-дифференциального уравнения с особым дифференциальным оператором в главной части в пространстве обобщённых функций. Предложен обобщённый сплайн-метод и установлена его оптимальность по порядку точности.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):886–896
886–896
ЗАДАЧА О ПАДЕНИИ ЛЕНТЫ ЛАЙНЕРА НА НАКЛОННУЮ ОПОРУ
Аннотация
Рассмотрена задача численного моделирования контактного взаимодействия металлической пластины, движущейся со скоростью около 0.5 км/с, с закреплённой наклонной опорой за время порядка 100 мкс. Для описания пластины и опоры применена модель упругопластического тела для больш´их деформаций. Для учёта граничных условий на контактирующих поверхностях в расчётах использован итерационный алгоритм, относящийся к методам типа Неймана–Дирихле. Для пространственной дискретизации применён метод конечных элементов. Приведены результаты расчётов. Рассмотрены модельные одномерные задачи, позволяющие качественно оценить результаты расчётов, полученные в двумерном случае.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):897–910
897–910
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КОНСЕРВАТИВНОСТЬ РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТЕФАНА НА ПОДВИЖНЫХ И ФИКСИРОВАННЫХ СЕТКАХ
Аннотация
Предложена консервативная разностная схема для уравнения теплопроводности в двумерной области с подвижными границами. Изложение ведётся на примере двухфазной задачи Стефана. С помощью динамической замены переменных область с внутренней подвижной границей отображается в прямоугольную область с фиксированными границами, совпадающими с координатными линиями. Разностная схема построена с помощью интегро-интерполяционного метода на неподвижной прямоугольной сетке. Получены формулы, позволяющие вычислять якобиан замены переменных и скорость границы контрольного объёма, удовлетворяющие дискретному аналогу уравнения переноса якобиана и обеспечивающие выполнение геометрического закона сохранения в физической системе координат. Доказано, что предложенная разностная схема наследует основные свойства исходной дифференциальной задачи.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):911–927
911–927
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Аннотация
Рассмотрена начально-краевая задача для сингулярно возмущённой системы уравнений с частными производными. Поставлена обратная задача, состоящая в определении неизвестного граничного условия по одной из компонент решения начально-краевой задачи, заданной в фиксированной точке пространства. Предложены методы приближённого решения обратной задачи, основанные на использовании разложения решения начально-краевой задачи по малому параметру 𝜀. Получены оценки точности приближённых решений. Приведены результаты численных расчётов, иллюстрирующие точность предложенных методов.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):928–936
928–936
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ С ХОРОШО КОНТРОЛИРУЕМОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ КАПИЛЫ
Аннотация
Для решения уравнений модели Капилы, описывающей двухфазные течения, являющейся неконсервативной гиперболической системой уравнений первого порядка и, таким образом, требующей указания конкретного вида регуляризующего диссипативного оператора, выделяющего единственное решение задачи, применяется разностная схема с хорошо контролируемой диссипацией. Суть таких схем заключается в том, что диссипативный оператор, который определяется видом их первого дифференциального приближения, совпадает с точностью до малых высшего порядка с заданным оператором, использованным при определении обобщённого решения в континуальной постановке. В результате ожидается сходимость численного решения схемы к заданному решению. Численные эксперименты, представленные в работе, демонстрируют эффективность такого подхода. В качестве точных решений используются численные решения типа бегущей волны, полученные другим методом.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):937–953
937–953
МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Рассматриваются вопросы параметрической идентификации дробно-дифференциальных моделей, описывающих процессы аномальной диффузии/теплопроводности. Акцент делается на варианте с пространственно локализованным начальным условием, что соответствует экспериментальному подходу к определению диффузионных характеристик. Предлагаются методы решения задачи идентификации, не требующие многократного решения прямой задачи. Проводится тестирование методов в режиме квазиреального эксперимента.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):954–966
954–966
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕДУЩЕГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ И СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СОБСТВЕННОГО ЭЛЕМЕНТА ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
Аннотация
Исследована симметричная задача на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметра в гильбертовом пространстве, которое является векторной решёткой с конусом положительных элементов. Установлено существование положительного простого минимального собственного значения, соответствующего единственному нормированному положительному собственному элементу. Изучена аппроксимация задачи в конечномерном подпространстве. Получены результаты о сходимости и погрешности приближений к минимальному собственному значению и соответствующему положительному собственному элементу. Разработаны и обоснованы вычислительные методы решения матричных задач на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметра. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующие теоретические выводы.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):967–989
967–989
ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Аннотация
Для построения дополнительных уравнений для описания турбулентных моментов применена кинетическая модель, используемая для вывода квазигазодинамической системы уравнений. Модель построна на примере пространственно-двумерной задачи для описания течения слабосжимаемого газа.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):990–1000
990–1000
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ УЗАДЕЛЯ
Аннотация
Рассматривается нелинейная одномерная задача для уравнений теории сверхпроводимости, особенностью которой является нестандартное условие сопряжения Робена на внутренней границе и разрывное решение. Для задачи строится оптимальная однородная монотонная разностная схема, включая условие на интерфейсе. Используя решение серии эллиптических задач и метод Ньютона, решается полная система уравнений Узаделя, которые являются базовой математической моделью на микроуровне для описания токов и полей в сверхпроводниках с джозефсоновскими переходами. Приводятся результаты расчётов для задачи о грануле с абрикосовским вихрем.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(7):1001–1008
1001–1008