Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 60, No 1 (2024)
Articles
GOLOMORFNAYa REGULYaRIZATsIYa SINGULYaRNO VOZMUShch¨ENNYKh INTEGRO-DIFFERENTsIAL'NYKh URAVNENIY
Abstract
Для решения весьма важных с точки зрения приложений интегро-дифференциальных сингулярно возмущённых уравнений давно применяется метод регуляризации С.А. Ломова. При этом представляющие решения этих уравнений ряды по степеням малого параметра сходились асимптотически. Однако, в соответствии с основной концепцией метода, для построения общей теории сингулярных возмущений требуется указать условия обычной сходимости таких рядов, что и рассматривается в данной статье.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):3-12
3-12
OTRAZhAYuShchAYa FUNKTsIYa I OBOBShchENIE PONYaTIYa PERVOGO INTEGRALA
Abstract
Прослеживаются связи понятия обобщённого интеграла с понятиями отражающей функции и отображения Пуанкаре (отображения за период) для периодических дифференциальных систем. Понятие обобщённого первого интеграла применяется при изучении вопросов существования и устойчивости периодических решений периодических дифференциальных систем и исследовании проблемы центра-фокуса.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):13-23
13-23
EKVIVALENTNYE DIFFERENTsIAL'NYE URAVNENIYa V ZADAChAKh TEORII UPRAVLENIYa I TEORII GAMIL'TONOVYKh SISTEM
Abstract
Предложены новые подходы в задаче конструирования для многомерных нелинейных систем теории управления эквивалентных скалярных дифференциальных уравнений, а также в задаче конструирования для нелинейных уравнений Лурье (скалярных дифференциальных уравнений, содержащих производные только чётных порядков) эквивалентных гамильтоновых систем. Изучены условия разрешимости соответствующих задач, предложены новые формулы перехода к эквивалентным уравнениям и системам. Для уравнений Лурье предлагаемые подходы основаны на переходе от линейной части к нормальным формам соответствующих гамильтоновых систем с последующим преобразованием найденной системы. Получены расчётные формулы и алгоритмы, эффективность которых иллюстрируется примерами.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):24-40
24-40
OBRATNAYa ZADAChA OPREDELENIYa DVUKh KOEFFITsIENTOV PRI MLADShIKh ChLENAKh PARABOLO-GIPERBOLIChESKOGO URAVNENIYa
Abstract
Изучены прямая и обратная задачи для модельного уравнения смешанного парабологиперболического типа. В прямой задаче рассмотрена задача типа Трикоми для этого уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. Неизвестными обратной задачи являются переменные коэффициенты при младших членах уравнения. Для их определения относительно решения, определяемого в параболической части области, задано интегральное условие переопределения, а в гиперболической части заданы условия на характеристиках: на одной — значение нормальной производной, а на другой — значение самой функции. Доказаны теоремы однозначной разрешимости поставленных задач в смысле классического решения.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):41-54
41-54
55-63
STRUKTURA VNUTRENNEGO PEREKhODNOGO SLOYa V ZADAChE REAKTsIYa–DIFFUZIYa V SLUChAE SBALANSIROVANNOY REAKTsII SO SLABYM RAZRYVOM
Abstract
Для сингулярно возмущённого уравнения типа реакция–диффузия исследована структура внутреннего переходного слоя в случае сбалансированной реакции со слабым разрывом. Доказано существование решений с внутренним переходным слоем (контрастных структур), исследован вопрос об их устойчивости, получены асимптотические приближения решений указанного типа. Показано, что в случае баланса реакции наличие даже слабого (асимптотически малого) разрыва реакции может приводить к образованию контрастных структур конечного размера, как устойчивых, так и неустойчивых.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):64-75
64-75
REShENIYa ANALOGOV VREMENNYKh URAVNENIY ShR¨EDINGERA, SOOTVETSTVUYuShchIKh PARE GAMIL'TONOVYKh SISTEM H2+2+1 IERARKhII VYROZhDENIY IZOMONODROMNOY SISTEMY GARN'E
Abstract
Настоящая статья продолжает серию работ, в которых построены 2×2-матричные совместные решения двух скалярных эволюционных уравнений, являющиеся аналогами временн´ых уравнений Шрёдингера. В построениях данной статьи эти уравнения соответствуют гамильтоновой системе H2+2+1 — одной из представительниц иерархии вырождений изомонодромной системы Гарнье. Упомянутую иерархию описал Х. Кимура в 1986 году. В терминах решений линейных систем дифференциальных уравнений метода изомонодромных деформаций, условием совместности которых являются гамильтоновы уравнения системы H2+2+1, конструируемые совместные матричные решения аналогов временн´ых уравнений Шрёдингера в настоящей работе выписаны явно.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):76-89
76-89
METOD FUNKTsIONALOV LYaPUNOVA I OGRANIChENNOST' REShENIY I IKh PERVYKh I VTORYKh PROIZVODNYKh LINEYNOGO URAVNENIYa TRET'EGO PORYaDKA TIPA VOL'TERRY NA POLUOSI
Abstract
Устанавливаются достаточные условия ограниченности на полуоси всех решений и их первых двух производных линейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка типа Вольтерры. Для этого рассматриваемое уравнение с помощью метода, предложенного первым автором в 2006 году, сначала сводится к эквивалентной системе, состоящей из одного дифференциального уравнения первого порядка и одного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Затем для этой системы предлагается новый обобщённый функционал Ляпунова, доказывается его неотрицательность на её решениях и приводится оценка сверху производной этого функционала через исходный функционал. Найденная оценка представляет собой интегро-дифференциальное неравенство, решение которого даёт оценку функционала.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):90-98
90-98
UPRAVLENIE SPEKTROM SISTEMY NEYTRAL'NOGO TIPA
Abstract
Для линейной автономной системы нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями приведён алгоритм решения задачи модальной управляемости (в частности, назначения конечного спектра), обеспечивающий замкнутой системе заданный характеристический квазиполином. Предложена процедура редактирования конечной части спектра. Конструктивно обоснован критерий экспоненциальной стабилизации изучаемой системы. При выполнении критерия, согласно предложенному алгоритму спектрального приведения, замкнутая система может быть сделана экспоненциально устойчивой. Полученные утверждения и алгоритмы управления спектром проиллюстрированы примерами.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):99-125
99-125
O ZADAChE UPRAVLENIYa NELINEYNOY SISTEMOY POSREDSTVOM DISKRETNOGO UPRAVLENIYa V USLOVIYaKh VOZDEYSTVIYa POMEKhI
Abstract
Рассматривается задача стабилизации в нуль в условиях воздействия помехи в терминах дифференциальной игры преследования. Динамика описывается нелинейной автономной системой дифференциальных уравнений. Множество значений управлений преследователя является конечным, убегающего (помехи) — компактом. Целью управления, т.е. целью преследователя, является приведение, в рамках конечного времени, траектории в любую наперёд заданную окрестность нуля вне зависимости от действий помехи. Для построения управления преследователю известны только фазовые координаты в некоторые дискретные моменты времени и неизвестен выбор управления помехи. В работе получены условия существования окрестности нуля, из каждой точки которой происходит поимка в указанном смысле. Выигрышное управление строится конструктивно и имеет дополнительное свойство, указанное в теореме. Кроме того, получена оценка времени поимки, которая является неуменьшаемой в некотором смысле.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):126-134
126-134
OB OTsENKAKh POGREShNOSTEY OPERATOROV DISKRETIZATsII REShENIYa URAVNENIYa PUASSONA
Abstract
Построен оператор дискретизации решения уравнения Пуассона с правой частью из класса Коробова и оценена его погрешность в метрике L𝑝, 2 ⩽ 𝑝 ⩽ ∞. Доказано, что при 𝑝 = 2 полученная оценка погрешности оператора дискретизации является неулучшаемой по порядку в степенной шкале. Также найдена погрешность вычисления тригонометрических коэффициентов Фурье, используемых при построении оператора дискретизации. Следует отметить, что полученная оценка в одном случае лучше ранее известных оценок погрешностей операторов дискретизации, построенных по значениям правой части уравнения в узлах модифицированной сетки Коробова и сетки Смоляка, а другом — совпадает с ними с точностью до констант.
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):135-142
135-142
K DEVYaNOSTOLETIYu ANATOLIYa IVANOVIChA PEROVA
Differencial'nye uravneniya. 2024;60(1):143-144
143-144