Exact and approximate solutions to the quasilinear parabolic system “predator-prey” with zero fronts
- Authors: Kazakov A.L.1,2, Spevak L.F.2
-
Affiliations:
- Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences
- Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 240 (2025)
- Pages: 19-28
- Section: Articles
- URL: https://ogarev-online.ru/2782-4438/article/view/312553
- DOI: https://doi.org/10.36535/2782-4438-2025-240-19-28
- ID: 312553
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, we consider the second-order quasilinear parabolic system known in population biology as the predator-prey model and examine exact and approximate solutions with two zero fronts on which at least one of two unknown functions vanish; both these functions are positive between the fronts. We search for exact solutions in the form of polynomials in powers of the spatial variable with the coefficients depending on time. To construct approximate solutions, we propose a numerical algorithm, which is a combination of the collocation method based on the expansion of the right-hand sides by the radial basis functions and the finite-difference approximation of the derivatives in time. The algorithm is verified by model examples; the results obtained are consistent with the exact solutions found.
About the authors
Aleksandr Leonidovich Kazakov
Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences; Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of SciencesDoctor of physico-mathematical sciences, Main Scientist Researcher
Lev Fridrihovich Spevak
Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of SciencesCandidate of technical sciences, Associate professor
References
- Андреев В. К., Гапоненко Ю. А., Гончарова О. Н., Пухначев В. В., Cовременные математические модели конвекции, Физматлит, М., 2008
- Баренблатт Г. И., Ентов В. Н., Рыжик В. М., Движение жидкостей и газов в природных пластах, Наука, М., 1984
- Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Физматлит, М., 1966
- Казаков А. Л., Кузнецов П. А., “Аналитические решения с нулевым фронтом для нелинейной вырождающейся параболической системы”, Диффер. уравн., 58:11 (2022), 1461–1470
- Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф., “Задача об инициировании диффузионной волны для нелинейной параболической системы второго порядка”, Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН., 29:2 (2023), 67–86
- Казаков А. Л., Спевак Л. Ф., “Точные и приближенные решения вырождающейся системы реакция-диффузия”, Прикл. мех. техн. физ., 62:4 (2021), 169–180
- Казаков А. Л., Орлов С. С., “О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности”, Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН., 22:1 (2016), 112–123
- Ковалев В. А., Куретова Е. Д., Куркина Е. С., “О формировании нитеподобных структур на ранней фазе солнечных вспышек”, Физика плазмы., 46:4 (2020), 351–357
- Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме, ОНТИ, М., 1937
- Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967
- Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987
- Сидоров А. Ф., Избранные труды: Математика. Механика, Физматлит, М., 2001
- Ха Д. Т., Цибулин В. Г., “Уравнения диффузии-реакции-адвекции для системы «хищник-жертва» в гетерогенной среде”, Компьют. исслед. модел., 13:6 (2021), 1161–1176
- Шагапов В. Ш., Мухаметшин С. М., Галиаскарова Г. Р., “Распространение тяжелых атмосферных выбросов с учетом ландшафта местности”, Инж.-физ. ж., 78:2 (2005), 99–103
- Achouri T., Ayadi M., Habbal A., Yahyaoui B., “Numerical analysis for the two-dimensional Fisher–Kolmogorov–Petrovski–Piskunov equation with mixed boundary condition”, J. Appl. Math. Comput., 68 (2021), 1–26
- Al-Bayati S. A., Wrobel L. C., “The dual reciprocity boundary element formulation for convection–diffusion–reaction problems with variable velocity field using different radial basis functions”, Int. J. Mech. Sci., 145 (2018), 367–377
- Buhmann M. D., Radial Basis Functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003
- Chen C. S., Chen W., Fu Z. J., Recent Advances in Radial Basis Function Collocation Method, Springer, Berlin–Heidelberg, 2013
- Courant R., Hilbert D., Methods of Mathematical Physics. Vol. II: Partial Differential Equations, Interscience, New York, 2008
- Fisher R. A., “The wave of advance of advantageous genes”, Ann. Eugenics., 7 (1937), 353–369
- Fornberg B., Flyer N., “Solving PDEs with radial basis functions”, Acta Num., 24 (2015), 215–258
- Kazakov A. L., Kuznetsov P. A., Lempert A. A., “Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type”, Symmetry., 12:6 (2020), 999
- Kazakov A. L., Lempert A. A., Spevak L. F., Nefedova O. A., “On the analytical and numerical study of a two-dimensional nonlinear heat equation with a source term”, Symmetry., 12:6 (2020), 921
- Murray J. D., Mathematical Biology. II: Spatial Models and Biomedical Applications., Springer, New York, 2003
- Nguyen V. P, Rabczuk T., Bordas S., Duflot M., “Meshless methods: A review and computer implementation aspects”, Math. Comput. Simul., 79:3 (2008), 763–813
- Perthame B., Parabolic Equations in Biology. Growth, Reaction, Movement and Diffusion, Springer, New York, 2015
Supplementary files
