А COMPOSITION METHOD FOR CONSTRUCTING TRANSMUTATIONS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS


Cite item

Full Text

Abstract

The paper is devoted to transmutation theory for ordinary and partial differential operators. It has many applications to inverse problems, spectral theory, nonlinear and soliton problems, singular equations, generalized analytic functions, singular boundary-value problems, fractional integrals and function spaces embedding. In this survey paper the most important classes of transmutations in modern theory is introduced and the new method is proposed to find transmutations via integral transform compositions.

About the authors

Elena Valeryevna Ryzhkova

Voronezh Institute of the Russian Ministry of Internal Affairs

Email: dikareva_ev@mail.ru
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Mathematics and System Modelling Department Voronezh, the Russian Federation

Sergei Michailovich Sitnik

Voronezh Institute of the Russian Ministry of Internal Affairs

Email: mathsms@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematics and System Modelling Department Voronezh, the Russian Federation

References

  1. Carroll R. Transmutation and Operator Differential Equations. North Holland, 1979.
  2. Carroll R. Transmutation, Scattering Theory and Special Functions. North Holland, 1982.
  3. Carroll R. Transmutation Theory and Applications. North Holland, 1986.
  4. Фаге Д.К., Нагнибида Н.И. Проблема эквивалентности обыкновенных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, 1977.
  5. Gilbert R. Constructive Methods for Elliptic Equations. Springer Lecture Notes Math. 365, 1974.
  6. Carroll R.W., Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy problems. N.Y.: Academic Press, 1976.
  7. Carroll R. Topics in Soliton Theory. North Holland, 1991.
  8. Gilbert R. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. N.Y.: Academic Press, 1969.
  9. Lions J.L. Equations differentielles operationnelles et probl´emes aux limites. Springer, 1961.
  10. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова Думка, 1972.
  11. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.
  12. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Гостехиздат, 1950.
  13. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: ГИФМЛ, 1962.
  14. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.
  15. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.
  16. Левитан Б.М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. 1951. Т. 6. Вып. 2. С. 102-143.
  17. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука-Физматлит, 1997.
  18. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // УМН. 1959. Т. 14. №4. С. 57-119.
  19. Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004. №10. С. 3-163.
  20. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
  21. Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А, 2008. C. 226-293.
  22. Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey // arXiv: 1012.37412012. 2012. 141 P.
  23. Ляховецкий Г.В., Ситник С.М. Операторы преобразования Векуа-Эрдейи-Лаундеса // Препринт института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН. Владивосток: ДВО РАН, 1994. 24 с.
  24. Ситник С.М. Построение операторов преобразования Векуа-Эрдейи-Лаундеса // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. Новосибирск: НГУ, 2007. С. 469-470.
  25. Катрахов В.В., Ситник С.М. Оценки решений Йоста одномерного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады РАН. 1995. Т. 340. №1. С. 18-20.
  26. Ситник С.М. Унитарность и ограниченность операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости. Препринт ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, 1990. 45 С.
  27. Ситник С.М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи // ДАН СССР. 1991. Т. 320. №6. С.1326-1330.
  28. Ситник С.М. Операторы преобразования Бушмана-Эрдейи, их классификация, основные свойства и приложения // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2015. № 11 (208). Вып. 39. С. 60-76.
  29. Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications. In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. (Edited by M.V. Dubatovskaya, S.V. Rogosin), Cambridge Scientific Publishers, Cottenham, Cambridge, 2013. P. 171-201.
  30. Ситник С.М. О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах // Владикавказский математический журнал. 2010. Т. 12. Вып. 4. С. 73-78.
  31. Катрахов В.В., Ситник С.М. Краевая задача для стационарного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады Академии наук СССР. 1984. Т. 278. N4. С. 797-799.
  32. Катрахов В.В., Ситник С.М. Метод факторизации в теории операторов преобразования // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Мемориальный сборник памяти Бориса Алексеевича Бубнова. Новосибирск, 1990. С. 104-122.
  33. Катрахов В.В. , Ситник С.М. Композиционный метод построения В-эллиптических, В-гиперболических и В-параболических операторов преобразования // Доклады РАН. 1994. Т. 337. № 3. С. 307-311.
  34. Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений. Вестник Самарского Государственного Университета (СамГУ) - Естественнонаучная серия. 2008. № 8/1(67). С. 237-248.
  35. Sitnik S.M. Some problems in the modern theory of transmutations // Spectral theory and differential equations (STDE - 2012). International conference in honor of Vladimir A. Marchenko’s 90th birthday. August 20-24, 2012, Kharkiv, Ukraine. B.Verkin Institute for low temperature and engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, V.Karazin Kharkiv National University. Book of abstracts. Kharkiv, 2012. P. 101-102.
  36. Ozaktas H., Zalevsky Z., Kutay M. The Fractional Fourier Transform: with Applications in Optics and Signal Processing. Wiley, 2001.
  37. Осипов В.Ф., Абжандадзе З.Л. Преобразование Фурье-Френеля и некоторые его приложения. Санкт-Петербург: С.-Петербург. гос. ун-т., 2000.
  38. Карп Д.Б., Ситник С.М. Дробное преобразование Ханкеля и его приложения в математической физике // Препринт. Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН. 1994, Владивосток. 24 с.
  39. Ситник С.М. О явных реализациях дробных степеней дифференциального оператора Бесселя и их приложениях к дифференциальным уравнениям // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12. № 2. С. 69-75.
  40. Ситник С.М. Дробное интегродифференцирование для дифференциального оператора Бесселя // Материалы международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик. 2004. С. 163-167.
  41. Киселев Е.А., Минин Л.А., Новиков И.Я., Ситник С.М. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов // Математические заметки. 2014. Т. 96. Вып. 2. С. 239-250.
  42. Zhuravlev M.V., Kiselev E.A., Minin L.A., Sitnik S.M. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer. 2011. V. 173. № 2. P. 231-241.
  43. Минин Л.А., Журавлев М.В., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2009. № 13 (68). Вып. 17/2. С. 89-99.
  44. Ситник С.М., Тимашов А.С., Ушаков С.Н. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2015. № 17 (214). Вып. 40. С. 130-142.
  45. Karp D.B., Sitnik S.M. Inequalities and monotonicity of ratios for generalized hypergeometric function // Journal of Approximation Theory. Elsevier, Amsterdam. 2009. V. 161. P. 337-352.
  46. Karp D.B., Sitnik S.M. Log-convexity and log-concavity of hypergeometric-like functions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Elsevier, Amsterdam. 2010. V. 364. P. 384-394.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».