Comparing the spectra of wandering exponents of a nonlinear two-dimensional system and a first approximation system

Full Text

Введение

В работах [1–6] И. Н. Сергеева вводились и исследовались различные характеристики ляпуновского типа ненулевых решений линейных дифференциальных уравнений и систем, отвечающие за колеблемость, вращаемость и блуждаемость решений на полупрямой. В 2015 году в статье [3] (см. также [4, 5]) все введенные к тому моменту характеристики ляпуновского типа были систематизированы, что привело к изменению названий некоторых из них: полные и векторные частоты переименованы, соответственно, в сильные и слабые показатели колеблемости, показатели блуждаемости и блуждания — в сильные и слабые показатели блуждаемости, а показатели вращаемости и вращения — в сильные и слабые показатели ориентированной вращаемости. Спектры показателей колеблемости, блуждаемости и ориентированной вращаемости автономных дифференциальных систем были полностью описаны в работах [2, 7–9], а спектры этих показателей треугольных систем изучены в [11, 17], существование дифференциальных систем с континуальными спектрами доказано в [10, 13, 16, 18], возможность управления суслинскими спектрами реализована в 12], существенные значения спектров были рассмотрены в [14, 15, 19]. Подвижность асимптотических характеристик линейной дифференциальной системы (и уравнения) при равномерно малых и бесконечно малых возмущениях изучалась в [1, 2, 15, 20, 21].

Все перечисленные показатели, как и линейные показатели, оказались применимыми лишь к решениям, гарантированно определенным на всей положительной полуоси времени (см. [22]). Это затрудняет их вычисление для нелинейных систем, где такой гарантии дать нельзя. В работе [22] предпринята первая попытка распространить определения этих показателей на случай несуществования решений системы на всей полуоси, а именно, определены и изучены сферические, радиальные и шаровые функционалы и показатели. В работе [23] проведены исследования этих показателей по первому приближению, а в [24] установлено существование нелинейной системы со счетными спектрами линейных показателей колеблемости, в то время как спектры соответствующей линейной системы ее первого приближения состоят ровно из одного неотрицательного числа. В настоящей работе последнее свойство перенесено и на линейные показатели блуждаемости.

1. Показатели блуждаемости решений дифференциальных систем

Для заданной открытой окрестности G точки 0 в евклидовой (векторной) фазовой плоскости ${ℝ}^2$ рассмотрим дифференциальную, вообще говоря нелинейную, систему вида

$\dot{x}=f(t,x),x\in G,f\left(t\mathrm{,0}\right)=\mathrm{0,}t\in {ℝ}_{+}\equiv [\mathrm{0,}+\infty ),f,{f^{\text{'}}}_x\in C({ℝ}_{+}\times G),$  (1.1)

обеспечивающую наличие нулевого решения, а также существование и единственность решений задач Коши

$\dot{x}=f(t,x),x\left(0\right)=x_0,x_0\in G.$  (1.2)

С системой (1.1) свяжем линейную систему ее первого приближения 

$\dot{x}=A\left(t\right)x\equiv f_{\text{'}}(t,x),A\left(t\right)={f^{\text{'}}}_x\left(t\mathrm{,0}\right),t\in {ℝ}_{+},x\in {ℝ}^2,$  (1.3)

при условии

$\underset{t\in {ℝ}_{+}}{sup}\left|f\right(t,x)-f_{\text{'}}(t,x\left)\right|=o\left(x\right),x\to 0.$

Через ${\mathcal{S}}_{*}\left(f\right)$ будем обозначать множество всех непродолжаемых ненулевых решений системы (1.1), а через $x_f(\cdot ,x_0)$ — решение задачи (1.2). Зададим множества

$G_{*}\equiv \{x_0\in G|x_0\ne 0\},G_{\delta }\equiv \{x_0\in G\left|\right|x_0|=\delta \},G_{\delta ,\gamma }\equiv \{x_0\in G|\delta <\left|x_0\right|<\gamma \},$

где $\gamma >\delta \ge 0.$ В дальнейшем звездочкой снизу будем помечать любое линейное пространство, в котором выколот нуль.

Сначала дадим основные определения.

Определение 1.1 (см. [1]). Для функции $u\in C^1({ℝ}_{+},{ℝ}_{*}^2)$ и числа $t>0$ введем вариацию следа

$P(u,t)\equiv {\int }_0^t\left|\frac{\partial }{\partial \tau }e(u,\tau )\right|d\tau ,e(u,\tau )\equiv \frac{u\left(\tau \right)}{\left|u\right(\tau \left)\right|},$

функции u за время от 0 до t причем ситуацию, когда функция u имеет на отрезке $[0;t]$ хотя бы один нуль, считаем вырожденной и полагаем по определению $P(u,t)=+\infty .$ 

Замечание 1.1. Геометрический смысл вариации следа функции  — это полная длина пути на единичной окружности конца единичного вектора $e(u,\tau )$ при $\tau \in [0;t].$ Отсутствие у функции u нулей гарантирует, что вариация ее следа принимает только конечные значения (как интеграл $P(u,t)$ от непрерывной функции на отрезке).

Определение 1.2 [см. [1, 2]]. Линейные нижние слабый и сильный показатели блуждаемости решения $x\in {\mathcal{S}}_{*}\left(f\right),$ заданного на всей полуоси ${ℝ}_{+}\mathrm{,}$ определим формулами

${\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\equiv \underset{t\to +\infty }{lim}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\frac{1}{t}P(Lx,t),{\stackrel{⌣}{\rho }}_{•}\left(x\right)\equiv \underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(Lx,t),$

где $Aut{ℝ}^2$ — множество всех невырожденных линейных операторов $L:{ℝ}^2\to {ℝ}^2.$ Линейные верхние слабый ${\widehat{\rho }}_{\circ }\left(x\right)$ и сильный ${\widehat{\rho }}_{•}\left(x\right)$ показатели блуждаемости зададим теми же формулами, но с заменой в них нижних пределов при $t\to +\infty$ верхними.

Определение 1.3 (см. [3, 4]). Для функции $x\in {\mathcal{S}}_{*}\left(f\right)$ условимся о следующем:

1) если значение верхнего (с крышечкой) показателя блуждаемости совпадает со значением нижнего (с галочкой) показателя, то будем называть это значение точным, записывая его без галочки и без крышечки;

2) если значение слабого (с пустым кружочком) показателя блуждаемости совпадает со значением сильного (с полным кружочком) показателя, то будем называть это значение абсолютным, записывая его без кружочков вообще.

Определение 1.4. Для каждого показателя блуждаемости $\varkappa ={\widehat{\rho }}_{•}\mathrm{,}{\stackrel{⌣}{\rho }}_{•}\mathrm{,}{\widehat{\rho }}_{\circ }\mathrm{,}{\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }$ и подмножества $M\subset {ℝ}^2$ определим множество $\varkappa \left(f\mathrm{,}M\right)\equiv \left\{\varkappa \right(f\mathrm{,}{x}_0\left)\right|x_0\in M\}$.  

Для произвольной вектор-функции $z\in C^1\left(E,{ℝ}_{*}^2\right)$ (E — либо отрезок $\left[\mathrm{0,}T\right],$ либо полуось ${ℝ}_{+}$) однозначно определим функцию  соотношениями

${\varphi }_z\left(0\right)\in \left[\mathrm{0,2}\pi \right),\left|z\right(t\left)\right|{\left(\cos {\varphi }_z\right(t),\sin {\varphi }_z(t\left)\right)}^{\top }=z\left(t\right),t\in E,{\varphi }_z\in C^1\left(E\right).$

Замечание 1.2. Вариацию следа функции z за время от 0 до t можно вычислять по формуле

$P(z,t)={\int }_0^t\left|{\dot{\varphi }}_z\left(\tau \right)\right|d\tau ,$

так как 

$\left|\frac{\partial }{\partial \tau }e(z,\tau )\right|=\left|\frac{d}{d\tau }{\left(\cos {\varphi }_z\right(t),\sin {\varphi }_z(t\left)\right)}^{\top }\right|=\left|{(-\sin {\varphi }_z(t),\cos {\varphi }_z(t\left)\right)}^{\top }{\dot{\varphi }}_z\right(\tau \left)\right|=\left|{\dot{\varphi }}_z\right(\tau \left)\right|.$

2. Основной результат

Теорема 2.1. При $G={ℝ}^2$ существуют две системы, первая из которых — линейная вида (1.3) и служащая системой первого приближения для другой, удовлетворяет соотношениям $\rho (f_{\text{'}},G_{*})=\left\{1\right\},$ а вторая система вида (1.1) при любом $\epsilon >0$ — соотношениям

$\rho (f,G_{\mathrm{0,}\int })=\rho (f,G_{*})=\left[\mathrm{0,1}\right]\cap \mathbb{Q}.$   (2.1)

Сначала сформулируем и докажем вспомогательное утверждение. 

Лемма 2.1. При $G={ℝ}^2$ для некоторой линейной системы вида (1.3) со спектром показателей блуждаемости $\rho (f_{\text{'}},G_{*})=\left\{1\right\}$ при любых $q\in \left[\mathrm{0,1}\right]\cap \mathbb{Q}$ и $0<\alpha <\beta \le 1$ найдется возмущенная система

$\dot{x}=A\left(t\right)x+B(x,t)\equiv f(t,x),\left|B\right(x,t\left)\right|\le |x{|}^2,x\in {ℝ}^2,t\in {ℝ}_{+},$

обладающая свойствами

$\rho (f,G_{\alpha })=\rho (f,G_{\beta })=\left\{1\right\},\rho (f,G_{\alpha ,\beta })=\left\{q\right\}.$

Доказательство. 1. Рассмотрим линейную периодическую систему (1.3), записываемую в фиксированном базисе в ${ℝ}^2\equiv G$ в виде

$\dot{x}=\zeta \left(t\right)Ix\equiv f_{\text{'}}(t,x),\zeta \left(t\right)\equiv \frac{\pi }{2}\cos t,I\equiv \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$  (2.2)

Она задает вращение фазовой плоскости вокруг точки $x=0$ с мгновенной скоростью $\zeta \left(t\right)$ в каждый момент $t\in {ℝ}_{+},$ в результате чего ориентированный угол поворота любого начального вектора $x_0\in G_{*}$ за время t равен 

$\phi (t,x_{f_{\text{'}}}(\cdot ,x_0\left)\right)=\frac{\pi }{2}\sin t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],x_{f_{\text{'}}}(t_k,x_0)={(-1)}^{k-1}{x}_{f_{\text{'}}}(t_1,x_0),t_k\equiv \pi k-\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{N}.$

На каждом промежутке $[t_k,t_{k+1}),$ $k\in \mathbb{N},$ решение $x_{f_{\text{'}}}=x_{f_{\text{'}}}(t,x_0)$ совершает поворот на угол $\pi \mathrm{,}$ и это свойство не меняется под действием любого преобразования $L\in Aut{ℝ}^2,$ поэтому

$\frac{P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_{k+1})-P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_k)}{t_{k+1}-t_k}=\frac{P(x_{f_{\text{'}}},t_{k+1})-P(x_{f_{\text{'}}},t_k)}{t_{k+1}-t_k}=\mathrm{1,}k\in \mathbb{N}.$

Отсюда получаем

${\rho }_{\circ }\left(x_{f_{\text{'}}}\right)=\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}P(L{x}_{f_{\text{'}}},t)=\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_{k+1})$

$=\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\sum _{i=1}^k\left(P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_{i+1})-P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_i)\right)$

$=\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}\sum _{i=1}^k\left(P(x_{f_{\text{'}}},t_{i+1})-P(x_{f_{\text{'}}},t_i)\right)$

$=\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}\sum _{i=1}^k\left(t_{i+1}-t_i\right)=\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{t_{k+1}-t_1}{t_{k+1}}=\mathrm{1,}$

${\rho }_{•}\left(x_{f_{\text{'}}}\right)=\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_{k+1})$

$=\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}\sum _{i=1}^k\left(P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_{i+1})-P(L{x}_{f_{\text{'}}},t_i)\right)$

$=\underset{k\to +\infty }{lim}\frac{1}{t_{k+1}}\sum _{i=1}^k\left(P(x_{f_{\text{'}}},t_{i+1})-P(x_{f_{\text{'}}},t_i)\right)=1.$

Следовательно, все показатели блуждаемости совпадают между собой, а их спектр состоит из одного элемента $\rho (f_{\text{'}},G_{*})=\left\{1\right\}.$

2. На отрезке $r\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ для выбранных $0<\alpha <\beta \le 1$ зададим функции

${\psi }_{\pm }\left(r\right)\equiv 1\pm \frac{r^2{(r-\alpha )}^2{(r-\beta )}^2}{{(r^2+2)}^2}\in \left(\mathrm{0,2}\right).$

Для нелинейной периодической системы вида (1.1) с правой частью

$g(t,x)={\psi }_{-}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),t\in {ℝ}_{+}$

при любом $t\in {ℝ}_{+}$ имеем

$\phi (t,x_g(\cdot ,x_0\left)\right)={\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2}\sin t\in \left[-{\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2},{\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2}\right]\subset \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\alpha <\left|x_0\right|<\beta .$

В силу последнего включения для любого $x_0\mathrm{,}$ удовлетворяющего условию $\alpha <\left|x_0\right|<\beta ,$ решение $x_g=x_g(t,x_0)$ не покидает сектор, центральный угол которого меньше чем $\pi \mathrm{,}$ причем зазор между этим сектором и целым полукругом равен $\delta =\pi -{\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\pi .$

Убедимся в том, что можно указать такой поворот $L\in Aut{ℝ}^2,$ что вектор $L{x}_g$ лежит на фазовой плоскости ${ℝ}^2$ строго в одной полуплоскости относительно заданной прямой $l\subset {ℝ}^2\mathrm{.}$ Более того, если оператор $L$ задавать как композицию указанного поворота и неограниченного удлинения вектора $e\perp l\mathrm{,}$ то при любом $t>1$ можно делать сколь угодно малым величину $t^{-1}P(L{x}_g,t).$ Положим

$L_n=S_{n}R,n\in \mathbb{N},{\left({\overline{x}}_g\right(t),{\overline{y}}_g(t\left)\right)}^{\top }=R{x}_g,{\left({\tilde{x}}_g\right(t),{\tilde{y}}_g(t\left)\right)}^{\top }=L_n{x}_g,$

где

$S_n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& n\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}\cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right),\psi ={\varphi }_{x_g}\left(0\right)-\delta /2.$

Покажем, что искомым оператором является композиция $L_n$ при достаточно больших n поворота R по часовой стрелке на угол $\psi$ и растяжения $S_n$ вдоль вертикальной оси. В самом деле, имеем

${\varphi }_{{\overline{x}}_g}\left(0\right)={\varphi }_{x_g}\left(0\right)-\psi =\delta /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\overline{x}}_g}(\pi /2)={\varphi }_{x_g}(\pi /2)-{\varphi }_{x_g}\left(0\right)+\delta /2={\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\pi /2+\delta /2=\pi /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\overline{x}}_g}(3\pi /2)={\varphi }_{x_g}(3\pi /2)-{\varphi }_{x_g}\left(0\right)+\delta /2=-{\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\pi /2+\delta /2=\delta -\pi /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_g}\left(0\right)\in (\mathrm{0,}\pi /2),{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2)\in (\mathrm{0,}\pi /2),{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(3\pi /2)\in (-\pi /\mathrm{2,0}).$

Из нестрогого убывания функции ${\varphi }_{x_g}$ на отрезке $[\pi /\mathrm{2,3}\pi /2]$ и геометрических свойств операторов R и $S_n$ следуют соотношения

${\dot{\varphi }}_{{\tilde{x}}_g}\left(t\right)\le \mathrm{0,}t\in [\pi /\mathrm{2,3}\pi /2],$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2+t)={\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2-t),{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(3\pi /2+t)={\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(3\pi /2-t),t\in [\mathrm{0,}\pi /2],$

на основании которых получим 

$P\left(L_n{x}_g\mathrm{,2}\pi \right)={\int }_0^{2\pi }\left|{\dot{\varphi }}_{{\tilde{x}}_g}\left(\tau \right)\right|d\tau =2\left|{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}\right(3\pi /2)-{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2\left)\right|$

$\le 8arctg\frac{{\tilde{x}}_g\left(0\right)}{{\tilde{y}}_g\left(0\right)}=8arctg\frac{{\overline{x}}_g\left(0\right)}{n{\overline{y}}_g\left(0\right)}=8arctg\left(ctg\right(\delta /2)/n)\equiv a_n.$

Для любого достаточно малого $\gamma >0$ в силу условия $a_n\to 0$ при $n\to +\infty$ найдется такой номер $n_0\in \mathbb{N},$ что $P\left(L_{n_0}{x}_g\mathrm{,2}\pi \right)\le \gamma ,$ а значит, выполнится цепочка соотношений

${\widehat{\rho }}_{•}\left(x_g\right)=\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{t\to +\infty }{\overline{lim}}\frac{1}{t}P(L{x}_g,t)\le \underset{t\to +\infty }{\overline{lim}}\frac{1}{t}P(L_{n_0}{x}_g,t)$

$=\underset{p\to +\infty }{\overline{lim}}\frac{1}{2\pi p}P\left(L_{n_0}{x}_g\mathrm{,2}\pi p\right)=\underset{p\to +\infty }{\overline{lim}}\frac{p}{2\pi p}P\left(L_{n_0}{x}_g\mathrm{,2}\pi \right)\le \frac{\gamma }{2\pi }.$

Следовательно, учитывая произвольность $\gamma >0$ и соотношения

${\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\le {\stackrel{⌣}{\rho }}_{•}\left(x\right)\le {\widehat{\rho }}_{•}\left(x\right),{\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\le {\widehat{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\le {\widehat{\rho }}_{•}\left(x\right),x\in C^1({ℝ}_{+},{ℝ}_{*}^2),$  (2.3)

вытекающие из определений показателей блуждаемости, для значения $q=0$ выберем нелинейную систему 

$f(t,x)\equiv \left\{\begin{array}{ll}{f}_{\text{'}}(t,x),& 0<\left|x\right|\le \alpha \vee \left|x\right|\ge \beta ,t\in {ℝ}_{+},\\ {\psi }_{-}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),& \alpha <\left|x\right|<\beta ,t\in {ℝ}_{+}.\end{array}\right.$

3. Для нелинейной периодической системы вида (1.1) с правой частью

$h(t,x)={\psi }_{+}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),t\in {ℝ}_{+},$

будем иметь

$\left\{\phi \right(t,x_h(\cdot ,x_0)\left)\right|t\in {ℝ}_{+}\}\supset \left(-{\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2},{\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2}\right)\supset \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],\alpha <|x_0|<\beta .$   (2.4)

В силу последнего включения каждое решение $x_h(t,x_0),$ $\alpha <\left|x_0\right|<\beta ,$ не покидает сектор, центральный угол которого больше чем $\pi \mathrm{,}$ причем зазор между этим сектором и целым полукругом равен $\delta ={\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\pi -\pi .$

Убедимся в том, что можно указать такой поворот $L\in Aut{ℝ}^2,$ что вектор $L{x}_g$ лежит на фазовой плоскости ${ℝ}^2$ строго в одной полуплоскости относительно заданной прямой $l\subset {ℝ}^2.$ Более того, если оператор $L$ задавать как композицию указанного поворота и неограниченного удлинения вектора $e\perp l,$ то при любом $t>1$ можно делать сколь угодно малым величину $t^{-1}P(L{x}_g,t).$ Положим

$L_n=S_{n}R,n\in \mathbb{N},{\left({\overline{x}}_g\right(t),{\overline{y}}_g(t\left)\right)}^{\top }=R{x}_g,{\left({\tilde{x}}_g\right(t),{\tilde{y}}_g(t\left)\right)}^{\top }=L_n{x}_g,$

где

$S_n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& n\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}\cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right),\psi ={\varphi }_{x_g}\left(0\right)-\delta /2.$

Покажем, что искомым оператором является композиция $L_n$ при достаточно больших $n$ поворота $R$ по часовой стрелке на угол $\psi$ и растяжения $S_n$ вдоль вертикальной оси. В самом деле, имеем

${\varphi }_{{\overline{x}}_g}\left(0\right)={\varphi }_{x_g}\left(0\right)-\psi =\delta /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\overline{x}}_g}(\pi /2)={\varphi }_{x_g}(\pi /2)-{\varphi }_{x_g}\left(0\right)+\delta /2={\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\pi /2+\delta /2=\pi /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\overline{x}}_g}(3\pi /2)={\varphi }_{x_g}(3\pi /2)-{\varphi }_{x_g}\left(0\right)+\delta /2=-{\psi }_{-}\left(\right|x_0\left|\right)\pi /2+\delta /2=\delta -\pi /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_g}\left(0\right)\in (\mathrm{0,}\pi /2),{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2)\in (\mathrm{0,}\pi /2),{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(3\pi /2)\in (-\pi /\mathrm{2,0}).$

Из нестрогого убывания функции ${\varphi }_{x_g}$ на отрезке $[\pi /\mathrm{2,3}\pi /2]$ и геометрических свойств операторов $R$ и $S_n$ следуют соотношения

${\dot{\varphi }}_{{\tilde{x}}_g}\left(t\right)\le \mathrm{0,}t\in [\pi /\mathrm{2,3}\pi /2],$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2+t)={\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2-t),{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(3\pi /2+t)={\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(3\pi /2-t),t\in [\mathrm{0,}\pi /2],$

на основании которых получим

$P\left(L_n{x}_g\mathrm{,2}\pi \right)={\int }_0^{2\pi }\left|{\dot{\varphi }}_{{\tilde{x}}_g}\left(\tau \right)\right|d\tau =2\left|{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}\right(3\pi /2)-{\varphi }_{{\tilde{x}}_g}(\pi /2\left)\right|$

$\le 8arctg\frac{{\tilde{x}}_g\left(0\right)}{{\tilde{y}}_g\left(0\right)}=8arctg\frac{{\overline{x}}_g\left(0\right)}{n{\overline{y}}_g\left(0\right)}=8arctg\left(ctg\right(\delta /2)/n)\equiv a_n.$

Для любого достаточно малого $\gamma >0$ в силу условия $a_n\to 0$ при $n\to +\infty$ найдется такой номер $n_0\in \mathbb{N},$ что $P\left(L_{n_0}{x}_g\mathrm{,2}\pi \right)\le \gamma ,$ а значит, выполнится цепочка соотношений

${\widehat{\rho }}_{•}\left(x_g\right)=\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(L{x}_g,t)\le \underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(L_{n_0}{x}_g,t)$

$=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{1}{2\pi p}P\left(L_{n_0}{x}_g\mathrm{,2}\pi p\right)=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{p}{2\pi p}P\left(L_{n_0}{x}_g\mathrm{,2}\pi \right)\le \frac{\gamma }{2\pi }.$

Следовательно, учитывая произвольность $\gamma >0$ и соотношения

${\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\le {\stackrel{⌣}{\rho }}_{•}\left(x\right)\le {\widehat{\rho }}_{•}\left(x\right),{\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\le {\widehat{\rho }}_{\circ }\left(x\right)\le {\widehat{\rho }}_{•}\left(x\right),x\in C^1({ℝ}_{+},{ℝ}_{*}^2),$   (2.3)

вытекающие из определений показателей блуждаемости, для значения $q=0$ выберем нелинейную систему 

$f(t,x)\equiv \left\{\begin{array}{ll}{f}_{\text{'}}(t,x),& 0<\left|x\right|\le \alpha \vee \left|x\right|\ge \beta ,t\in {ℝ}_{+},\\ {\psi }_{-}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),& \alpha <\left|x\right|<\beta ,t\in {ℝ}_{+}.\end{array}\right.$

3. Для нелинейной периодической системы вида (1.1) с правой частью

$h(t,x)={\psi }_{+}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),t\in {ℝ}_{+},$

будем иметь

$\left\{\phi \right(t,x_h(\cdot ,x_0)\left)\right|t\in {ℝ}_{+}\}\supset \left(-{\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2},{\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\frac{\pi }{2}\right)\supset \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],\alpha <|x_0|<\beta .$   (2.4)

В силу последнего включения каждое решение $x_h(t,x_0),$ $\alpha <\left|x_0\right|<\beta ,$ не покидает сектор, центральный угол которого больше чем $\pi ,$ причем зазор между этим сектором и целым полукругом равен $\delta ={\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\pi -\pi .$

а) Для произвольного фиксированного решения $x_h=x_h(t,x_0)$ положим

$L_n=S_{n}R,n\in \mathbb{N},{\left({\overline{x}}_h\right(t),{\overline{y}}_h(t\left)\right)}^{\top }=R{x}_h,{\left({\tilde{x}}_h\right(t),{\tilde{y}}_h(t\left)\right)}^{\top }=L_n{x}_h,$

где

$S_n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& n\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}\cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right),\psi ={\varphi }_{x_h}\left(0\right)-\delta /2.$

Сначала для выбранного решения $x_h$ и достаточно малого $\gamma >0$ найдем такой номер $n_0\mathrm{,}$ при котором справедливы оценки

$P\left(L_{n_0}{x}_h\mathrm{,2}\pi \right)\le 2\pi +\gamma .$     (2.5)

Для этого вычислим 

${\varphi }_{{\overline{x}}_h}\left(0\right)={\varphi }_{x_h}\left(0\right)-\psi =\delta /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\overline{x}}_h}(\pi /2)={\varphi }_{x_h}(\pi /2)-{\varphi }_{x_h}\left(0\right)+\delta /2={\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\pi /2+\delta /2=\pi /2+\delta ,$

${\varphi }_{{\overline{x}}_h}(3\pi /2)={\varphi }_{x_h}(3\pi /2)-{\varphi }_{x_h}\left(0\right)+\delta /2=-{\psi }_{+}\left(\right|x_0\left|\right)\pi /2+\delta /2=-\pi /\mathrm{2,}$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_h}\left(0\right)\in (\mathrm{0,}\pi /2),{\varphi }_{{\tilde{x}}_h}(\pi /2)\in (\pi /\mathrm{2,}\pi ),{\varphi }_{{\tilde{x}}_h}(3\pi /2)\in (-\pi /\mathrm{2,0}),$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_h}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}-arctg\frac{{\tilde{x}}_h(\pi /2)}{{\tilde{y}}_h(\pi /2)}=\frac{\pi }{2}-arctg\frac{{\overline{x}}_h(\pi /2)}{n{\overline{y}}_h(\pi /2)}$

$=\frac{\pi }{2}-arctg\frac{\left|R{x}_h\right(t,x_0\left)\right|\cos {\varphi }_{{\overline{x}}_h}(\pi /2)}{n\left|R{x}_h\right(t,x_0\left)\right|\cos {\varphi }_{{\overline{x}}_h}(\pi /2)}=\frac{\pi }{2}-arctg\left(ctg\right({\varphi }_{{\overline{x}}_h}(\pi /2))/n)$

$\le \pi /2-arctg\left(ctg\right(\pi /2+\pi /4)/n)=\pi /2-arctg(-1/n)=\pi /2+arctg(1/n),$

${\varphi }_{{\tilde{x}}_h}\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}-arctg\frac{{\tilde{x}}_h(3\pi /2)}{{\tilde{y}}_h(3\pi /2)}$

$=-\frac{\pi }{2}-arctg\frac{{\overline{x}}_h(3\pi /2)}{n{\overline{y}}_h(3\pi /2)}=-\pi /2-arctg\left(ctg\right(-\pi /2)/n)=-\pi /\mathrm{2,}$

$P\left(L_n{x}_h\mathrm{,2}\pi \right)={\int }_0^{2\pi }\left|{\dot{\varphi }}_{{\tilde{x}}_h}\left(\tau \right)\right|d\tau =2\left({\varphi }_{{\tilde{x}}_h}\right(\pi /2)-{\varphi }_{{\tilde{x}}_h}(3\pi /2\left)\right)=2(\pi +arctg(1/n\left)\right)\equiv b_n.$

Очевидное свойство $b_n\to 2\pi$ при $n\to +\infty$ последовательности $\left(b_n\right)$ завершает доказательство оценки (2.5).

б) Теперь покажем, что для решения $x_h$ и любого оператора $L\in Aut{ℝ}^2$ выполнена оценка $P\left(L{x}_h\mathrm{,2}\pi \right)\ge 2\pi .$ Действительно, принимая во внимание непрерывность функции ${\varphi }_{x_h}$ и учитывая условие (2.4), установим существованию такой точки ${\tau }_0\in (\pi \mathrm{,3}\pi /2),$ что ${\varphi }_{x_h}\left({\tau }_0\right)=\pi +{\varphi }_{x_h}(\pi /2).$ Поэтому при некотором $r>0$ имеем равенство $x_h\left({\tau }_0\right)=-r{x}_h(\pi /2),$ из которого для функции $z_h=L{x}_h$ вытекает

$z_h\left({\tau }_0\right)=L{x}_h\left({\tau }_0\right)=L(\text{}-r{x}_h(\pi /2\left)\right)=-rL\left(x_h\right(\pi /2\left)\right)=-r{z}_h(\pi /2),$

а значит, при некотором $m\in \mathbb{Z}$ верно и следующее равенство

${\varphi }_{z_h}\left({\tau }_0\right)={\varphi }_{z_h}(\pi /2)+\pi +2m\pi .$

Используя последнее равенство и условие

${\varphi }_{z_h}(\pi /2+t)={\varphi }_{z_h}(\pi /2-t),{\varphi }_{z_h}(3\pi /2+t)={\varphi }_{z_h}(3\pi /2-t),t\in [\mathrm{0,}\pi /2],$

выведем требуемое утверждение

$P\left(L{x}_h\mathrm{,2}\pi \right)={\int }_0^{\pi /2}\left|{\dot{\varphi }}_{z_h}\left(\tau \right)\right|d\tau +{\int }_{\pi /2}^{{\tau }_0}\left|{\dot{\varphi }}_{z_h}\left(\tau \right)\right|d\tau +{\int }_{{\tau }_0}^{2\pi }\left|{\dot{\varphi }}_{z_h}\left(\tau \right)\right|d\tau$

$\ge 2\left|{\int }_{\pi /2}^{{\tau }_0}{\dot{\varphi }}_{z_h}\left(\tau \right)d\tau \right|=2|\pi +2m\pi |\ge 2\pi .$

в) Для верхнего сильного показателя блуждаемости решения $x_h$ с учетом оценки (2.5) будем иметь

${\widehat{\rho }}_{•}\left(x_h\right)=\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(L{x}_h,t)\le \underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(L_{n_0}{x}_h,t)$

$=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{1}{2\pi p}P\left(L_{n_0}{x}_h\mathrm{,2}\pi p\right)=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{p}{2\pi p}P\left(L_{n_0}{x}_h\mathrm{,2}\pi \right)\le \frac{2\pi +\gamma }{2\pi }.$

Для нижнего слабого показателя блуждаемости решения $x_h$ на основании результата п. б) получим оценку снизу

${\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x_h\right)=\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}P(L{x}_h,t)=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{1}{2\pi p}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}P\left(L{x}_h\mathrm{,2}\pi p\right)$

$=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{p}{2\pi p}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}P\left(L{x}_h\mathrm{,2}\pi \right)\ge \underset{p\to +\infty }{lim}\frac{2\pi p}{2\pi p}=1.$

Далее, вспоминая свойства (2.3) показателей блуждаемости, придем к равенствам

${\stackrel{⌣}{\rho }}_{\circ }\left(x_h\right)={\stackrel{⌣}{\rho }}_{•}\left(x_h\right)={\widehat{\rho }}_{\circ }\left(x_h\right)={\widehat{\rho }}_{•}\left(x_h\right)=1.$

Следовательно, для значения $q=1$ выберем систему

$f(t,x)\equiv \left\{\begin{array}{ll}{f}_{\text{'}}(t,x),& 0<\left|x\right|\le \alpha \vee \left|x\right|\ge \beta ,t\in {ℝ}_{+},\\ {\psi }_{+}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),& \alpha <\left|x\right|<\beta ,t\in {ℝ}_{+}.\end{array}\right.$

4. Наконец, для произвольного значения $q=l_1/(l_1+l_2),$ $l_1\mathrm{,}{l}_2\in \mathbb{N}$ возьмем систему

$f(t,x)\equiv \left\{\begin{array}{ll}{f}_{\text{'}}(t,x),& 0<\left|x\right|\le \alpha \vee \left|x\right|\ge \beta ,t\in {ℝ}_{+},\\ {\psi }_{+}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),& \alpha <\left|x\right|<\beta ,t\in \left[\mathrm{0,2}\pi l_1\right],\\ {\psi }_{-}\left(\right|x\left|\right)\cdot f_{\text{'}}(t,x),& \alpha <\left|x\right|<\beta ,t\in \left[2\pi l_1\mathrm{,2}\pi \right(l_1+l_2\left)\right],\end{array}\right.$

где в кольце $\alpha <\left|x\right|<\beta$ функция $f(t,x)$ периодически (с периодом $T=2\pi (l_1+l_2)$) продолжается на всю полуось ${ℝ}_{+}\mathrm{.}$

Действительно, для любого решения $x_f=x_f(t,x_0),$ $\alpha <\left|x_0\right|<\beta ,$ найдется (см. пп. 2 и 3.а) такое преобразование $L_{n_0}\in Aut{ℝ}^2,$ что показатели блуждаемости обладают свойством

${\rho }_{\circ }\left(x_f\right)=\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}P(L{x}_f,t)=\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(L_{n_0}{x}_f,t)=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{1}{Tp}P(L_{n_0}{x}_f,Tp)$

$=\underset{p\to +\infty }{lim}\frac{p}{Tp}P(L_{n_0}{x}_f,T)=\frac{1}{2\pi (l_1+l_2)}\sum _{i=1}^{l_1+l_2}P\left(L_{n_0}{x}_f\mathrm{,2}\pi i\right)=\frac{2\pi l_1}{2\pi (l_1+l_2)}=\frac{l_1}{l_1+l_2},$

${\rho }_{\circ }\left(x_f\right)\le {\rho }_{•}\left(x_f\right)=\underset{L\in Aut{ℝ}^2}{inf}\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{1}{t}P(L{x}_f,t)=\frac{l_1}{l_1+l_2}.$

Последние два соотношения полностью завершают доказательство леммы.

Теперь перейдем к доказательству основного результата.

Доказательство. Занумеровав все рациональные числа из отрезка  натуральными числами, определим последовательность ${\left(s_p\right)}_{p\in \mathbb{N}}.$ По этой последовательности образуем следующую

$s_1;s_1,s_2;s_1,s_2,s_3;\dots ;s_1,s_2,s_3,\dots ,s_k;\dots ,$

которую обозначим через ${\left(q_p\right)}_{p\in \mathbb{N}}.$

Единичный круг $\left|x\right|\le 1$ разобьем на счетное число колец вида

${\alpha }_{k+1}<\left|x\right|<{\alpha }_k,{\alpha }_k=2^{1-k},k\in \mathbb{N}.$   (2.6)

Далее, выбираем линейную систему (2.2) и, на основании леммы 2.1, достраиваем ее в каждом кольце (2.6) так, чтобы при любом $k\in \mathbb{N}$ выполнялось $\rho (f,G_{{\alpha }_{k+1},{\alpha }_k})=\left\{q_k\right\}.$

В кольце $1\le \left|x\right|<+\infty$ и на каждой окружности $\left|x\right|={\alpha }_k,$ $k\in \mathbb{N}$ линейную систему (2.2) оставляем без изменения, поэтому

$\rho (f,G_{{\alpha }_k})=\rho (f,G_{\mathrm{1,}+\infty })=\left\{1\right\}.$

Таким образом, из условия ${\alpha }_k\to 0$ при $k\to +\infty$ для любого $ϵ>0$ следует справедливость (2.1).

Автор выражает глубокую благодарность доценту А. Х. Сташу за постановку задачи и внимание к работе.

About the authors

Nadejda A. Loboda

Author for correspondence.
Email: n-loboda@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6249-6158

Senior Lecturer, Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics Department

References

Supplementary files