Mathematical modeling of rocks fracture within local structures

Texto integral

Введение

На формирование инженерно-геологических условий красноцветной терригенной формации существенное влияние оказывает трещиноватость пород, слагающих локальные тектонические структуры. В пределах зон повышенной трещиноватости уменьшается прочность и увеличивается деформируемость массива пород [1, 2], на форму и вид трещин существенное влияние оказывает вид напряженного состояния пород [3, 4]. На этих территориях активизируются экзогенные процессы: овражная эрозия, суффозия, абразия и др. [5], а также возрастает интенсивность процессов гипергенеза и, как следствие, существенно изменяется состав и свойства материнской породы [6–9]. Поэтому оценка трещиноватости массива пород является актуальной задачей.

В настоящее время активно развиваются методы математического моделирования геомеханического поведения трещиноватых пород. Среди работ, посвященных выделению ослабленных зон массивов горных пород, следует отметить исследования некоторых авторов [10, 11]. Эти работы направлены на выделение трещиноватых зон по разрезу для оценки устойчивости бортов карьеров рудных месторождений. Компьютерная обработка данных проводилась главным образом на основании изучения керна, полученного в процессе бурения разведочных скважин. В работе [12] изложена методика, позволяющая автоматизировать процесс построения диаграмм трещиноватости, а также коэффициентов фильтрации скальных массивов. В последнее время математическое моделирование широко используется для оценки характера деформаций с учетом их деформационных особенностей, как для пород, обладающих хрупкой деформацией [13], так и для слоистых пород с пластической деформацией [14]. Появляются модели для оценки прочности пород через расчет напряженного состояния горного массива [15].

Развиваются смешанные подходы, основанные на методе комплексирования данных сейсморазведки и тектонофизического моделирования, при изучении зон тектонической трещиноватости для нефтяных пластов. Широко применяется геологическое 3D-моделирование [16] для визуализации трещиноватых зон на основе данных геологии и сейсморазведки, а также другие косвенные методы [17, 18].

Математическое моделирование трещиноватости массива горных пород, проведенное Г.М. Редькиным [19], показало, что этот способ описания степени раздробленности отдельных блоков массивов не дает общего представления о распределении зон разной степени трещиноватости в определенных горно-геологических условиях. В работах С.В. Влада [20] представлены результаты лабораторных экспериментов и выполнено математическое моделирование процесса нагружения кубического трещиноватого образца. Предложенная модель удовлетворительно работает при углах наклона трещин 5–60 градусов.

Методы математического моделирования для оценки напряженно-деформированного состояния и геодинамически опасных зон породного массива при различных условиях природного и техногенного воздействия изучались в работах [21–25]. Однако направленность этих работ не позволяет выявить влияние тектонической трещиноватости в пределах локальных структур на изменение инженерно-геологических условий и, как следствие, на устойчивость сооружений.

Поэтому целью исследования является разработка математической модели формирования зон тектонической трещиноватости терригенных пород в массивах красноцветной толщи на основе деформационного критерия разрушения.

Методика

Построение математической модели формирования зон тектонической трещиноватости включает в себя следующие этапы:

• формирование геометрической и физической модели локальной структуры (размеры, тип горных пород, их физико-механические свойства и мощности);
• расчет напряженно-деформированного состояния локальной структуры при воздействии фундаментного блока;
• расчет степени поврежденности пород красноцветной толщи по деформационному критерию разрушения и типизация поврежденных пород;
• определение площади нарушений красноцветной толщи по таксонам в зависимости от давления фундамента;
• построение регрессионных (прогнозных) моделей.

При моделировании локальной структуры учитываются упругие и пластические деформации породного массива. Математическая постановка задачи [26] включает в себя:

• уравнения равновесия

   ${\sigma }_{ij,j}+F_i=0$, $x_i\in \text{Ω}$,                         (1)

• граничные условия в напряжениях

  ${\sigma }_{ij}{n}_j=p_i^{*}$, $x_i\in {\text{S}}_p$,               (2)

• граничные условия в перемещениях

  $u_i=u_i^{*}$ , $x_i\in {\text{S}}_u$,        (3)

• уравнения Коши

  ${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$, $x_i\in \text{Ω}$,    (4)

• уравнения линейной упругости

${\epsilon }_{ij}^e=e_{ij}^e+{\epsilon }^e{\delta }_{ij}=\frac{1}{2G}{S}_{ij}+\frac{1}{3K}p{\delta }_{ij}$ , $x_i\in \text{Ω}$, (5)

• уравнения пластичности

${\epsilon }_{ij}^p=e_{ij}^p=\psi \left(e_u^p\right)S_{ij}$, $x_i\in \text{Ω}$,  (6)

где $F_i$ – компоненты вектора объемных сил; ${(\dots )}_{,j}$ – частная производная по $x_j$; $n_i$ – компоненты вектора нормали к поверхности тела; $p_i^{*}$, $u_i^{*}$ – заданные компоненты вектора поверхностных нагрузок и вектора перемещений на поверхностях ${\text{S}}_p$ и ${\text{S}}_u$; K, G – объемный и сдвиговой модуль; $\psi \left(e_u^p\right)$ – функция деформационного упрочнения от второго инварианта тензора пластических деформаций; $\text{Ω}$ – область моделирования.

В соотношениях (1)–(6) по повторяющимся индексам осуществляется операция суммирования. Предполагается, что тензор полных деформаций ${\epsilon }_{ij}$ аддитивно представлен упругими ${\epsilon }_{ij}^e$, пластическими ${\epsilon }_{ij}^p$ деформациями. Тензоры напряжений и деформаций разложены на сумму шаровых $p{\delta }_{ij}$, $\epsilon {\delta }_{ij}$ и девиаторных $S_{ij},e_{ij}$ частей.

В настоящей расчетной схеме не учитываются объемные силы $F_i$. Граничные условия представлены наличием заданных перемещений $u_i^{*}$ и поверхностных нагрузок $p_i^{*}$.

Результаты решений, которые представлены ниже, получены методом конечных элементов в пакете ANSYS [27] в пространственной постановке. Использованы опции Rate Independent, Isotropic Hardening Plasticity, Mises Plasticity, Multilinear для расчетов пластичности.

В результате расчетов получен полный набор компонентов тензора напряжений и деформаций, компоненты вектора перемещений. Поскольку основной целью моделирования является расчет появления и развития трещиноватых зон, остановимся на применяемом критерии роста поврежденности.

При развитии неупругих процессов в различных горных породах накапливается трещиноватость (поврежденность), выражаемая в разуплотнении пород, уменьшении их сопротивляемости механическим нагрузкам, повышении фильтрационных свойств. Для таких процессов применение критерия, основанного на предельных напряжениях, не дает адекватного описания явления [24]. В этом случае необходимо использовать критерии накопления поврежденности, которые являются достаточно сложными, или использовать в качестве параметра поврежденности уровень накапливаемой неупругой деформации. Такой подход является актуальным при развитии временных процессов деформации [24]. В нашем случае в явном виде временной фактор не присутствовал, но нагружение осуществлялось поэтапно, что приводило к накоплению пластической деформации.

Ранее [23] был предложен деформационный критерий разрушения соляных пород, который успешно применялся при моделировании процессов разрушения кровли и стенок выработок соляных рудников.

Упрощенный вариант деформационного критерия разрушения имеет вид:

${\epsilon }_u<{\epsilon }_u^{\text{пр}}\left(k\right)$,                (7)

где ${\epsilon }_u={\left\{\left(\frac{3}{2}\right)e_{ij}{e}_{ij}\right\}}^{1/2}$ – интенсивность деформаций; ${\epsilon }_u^{пр}$ – предельная интенсивность деформаций, зависящая от коэффициента жесткости напряженного состояния $k=p/{\sigma }_u$;  $p=(1/3){\sigma }_{ij}{\delta }_{ij}$ – гидростатическое давление; ${\sigma }_u={\left\{3{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ij}\right\}}^{1/2}$ – интенсивность напряжений.

По аналогии с классическими критериями разрушения вводится коэффициент запаса прочности по деформационному критерию:

$n={\epsilon }_u^{\text{пр}}\left(k\right)/{\epsilon }_u$.                       (8)

Таким образом, разработанный критерий (7), (8) можно применять как классификационный показатель (КП) типизации красноцветной толщи по степени поврежденности (трещиноватости) пород.

Результаты и обсуждения

Математическая модель трещиноватости структуры. В расчетах используем 3D-модель процесса поднятия блоком фундамента (БФ) в результате его вертикального перемещения слоя коренных пород (КП) при длине БФ 10 км, ширине 5 км.

Предполагается наличие симметрии блока фундамента и коренных пород относительно направлений их длины и ширины. Поэтому расчетная схема включает только одну четверть всей области породного массива (рис. 1 – на примере поля вертикальных перемещений).

В расчетах породный массив разделяли на три слоя (рис. 1):

• фундамент (область 1) представлен породами;
• слой коренных пород (область 2) мощностью 50 м;
• слой коренных пород (область 3) мощностью 50 м.

Физические уравнения пород кроме фундаментного блока учитывают упругопластические свойства, последний – только упругие. Все породы предполагаются изотропными.

Сам фундаментный блок, который осуществляет поднятие коренных пород, не рассматривается, его действие заменяется давлением на внутренней поверхности нижнего слоя коренных пород (рис. 1, область 2), которое повышалось поэтапно. Принятое допущение приводит к «сводовой» форме вышележащих отложений (поднятие под действием давления пластичных пород), что и наблюдается в исследуемой структуре.

Также в модели было предусмотрено наличие расслоения между фундаментным блоком и коренными породами, заключающееся в отсутствии на определенной длине вдоль горизонтали связи между неподвижным фундаментным блоком и поднимающейся частью коренных пород.

На боковых вертикальных границах и нижней горизонтальной границе расчетной области формулировалось условие отсутствия нормальных к границе перемещений . В табл. 1 показаны принятые свойства слоев расчетной области.

 

Рис. 1. Поле вертикальных перемещений (м) пород красноцветной толщи (расчетная 3D-модель), соответствующее давлению блока фундамента P=0,05 МПа

Fig. 1. Field of vertical displacements (m) of the red-colored strata rocks (computational 3D model) corresponding to pressure by a block of the foundation P=0,05 MPa

 

Таблица 1. Физико-механические свойства пород

Table 1. Physical and mechanical properties of rocks

Наименование области Area name	Породы Rocks	Мощность, м Thickness, m	Свойства пород Properties of rocks	Модуль упругости, МПа Elastic module, MPa	Коэффициент Пуассона Poison's ratio	Прочность на сжатие, МПа Compressive strength, MPa
Фундамент Foundation	Магматические породы magmatics	–	Упругие Elastic	20000	0,20	–
Коренные нижние породы Lower bed rock	Алевролиты, Аргиллиты, Siltsones, Mudstones	50	Упругопластические Elastic plastic	5000	0,20	10
Коренные верхние породы Upper bed rock	Песчаники Sandstone	50		10000	0,20	20

 

Поднятие блока фундамента моделировалось поэтапным приложением равномерной сжимающей нагрузки к нижней части коренных пород, где фундамент (в расчетной схеме) отсутствует:

• Р₁=0,02 МПа, амплитуда поднятия А₁=13 м;
• Р₂=0,035 МПа, амплитуда поднятия А₂ =25 м;
• Р₃=0,05 МПа, амплитуда поднятия А₃=35 м;
• Р₄=0,06 МПа, амплитуда поднятия А₄=50 м;
• Р₅=0,065 МПа, амплитуда поднятия А₅=55 м;
• Р₆=0,075 МПа, амплитуда поднятия А₆=70 м.

Отметим, что амплитуда поднятия, указанная выше, определялась (а не задавалась) при расчете модели для заданных условий и давлении.

По результатам расчетов определены все поля напряжений, деформаций и перемещений в геометрической модели, на основании которых, с применением деформационного критерия разрушения (7), (8), получены поля поврежденности различного уровня.

Типизация степени нарушенности локальной структуры. Принята следующая модель типизации поврежденных зон, полученных расчетным путем. Область с показателем 0<К_П<1 считается разрушенной (фрагментированной), область с показателем 1<К_П<2 – сильно поврежденной, 2<К_П<3 – поврежденной, 3<К_П<4 – слабо поврежденной, область с К_П>4 слабо отличается от исходной породы (табл. 2). В табл. 2 показатель Lт характеризует общую протяженность тектонических трещин в пределах массива на определенную площадь (10000 м²).

Типизация пород красноцветной толщи по степени трещиноватости пород Кп при амплитуде поднятия 13, 35 и 70 м приведена на рис. 2. Следует отметить, что на рис. 2 приведен фрагмент, который составляет четверть всей структуры. Это обусловлено тем, что нарушенность пород симметрична.

Из рисунков видно, что на исследуемой территории выделяется пять таксонов локальной структуры, характеризующихся определенным набором свойств пород. Область серого цвета – это область с отсутствием каких-либо повреждений, вызванных поднятием блока фундамента.

 

Таблица 2. Модель типизации пород красноцветной толщи

Table 2. Model of typification of the red-colored strata rocks

Наименование таксона Taxon name	Состояние породного массива Rock mass state	Степень поврежденности (трещиноватости) Degree of damage (fractures)	Модельный критерий районирования, Кп Model criterion for zoning, Kp	Полевой критерий районирования, Lт, м/10000 м2 Field criterion for zoning, Lт, m/10000 m2
I	Очень неустойчивое Very unstable	Разрушенная (фрагментированная) Destroyed (fragmented)	0<КП<1	Lт>25000
II	Неустойчивое Unstable	Сильно трещиноватая Heavily fractured	1<КП<2	15000<Lт<25000
III	Малоустойчивое Weakly stable	Трещиноватая Fractured	2<КП<3	5000<Lт<15000
IV	Устойчивое Stable	Слабо трещиноватая Weakly fractured	3<КП<4	Lт<5000
V	Очень устойчивое Very stable	Не трещиноватая Not fractured	КП>4

 

Рис. 2. Типизация пород красноцветной толщи (по Опалихинской структуре) по критерию Кп при амплитудах поднятия: А₆=70 м, А₃=35 м и А₁=13 м. Таксоны: 1 – темно-синий цвет, 2 – голубой, 3 – зеленый, 4 – желтый, 5 – красный. Размеры моделируемого объекта по осям Х, Y – 15 км

Fig. 2. Typification of the red-colored strata rocks (Opalikhinsky structure) according to the Kp criterion at uplift amplitudes: A₃=70 m, A₂=35 m and A₁=13 m. Taxon: 1 – dark blue, 2 – light blue, 3 – green, 4 – yellow, 5 – red. Dimensions of the modeled object along the X, Y axes – 15 km

 

Таксон 1 представлен разрушенными (фрагментированными) песчаниками, алевролитовыми и аргилитовыми породами с прочностью на сжатие Rс=0,1–2,0 МПа, пористостью n=35 % и выше, степенью выветрелости Кв=0,30. Фильтрация вод на этой территории очень высокая, коэффициенты фильтрации Кф=20 м/сут и более. Таксон 2 – пестроцветная толща сильно разрушена, прочность на сжатие несколько выше, чем в таксоне 1, и изменяется в диапазоне Rс=2,0–4,0 МПа, уменьшается пустотность n=25 %, выветрелость Кв=0,20 и коэффициент фильтрации Кф=2–7 м/сут. Таксон 3 – горные породы трещиноватые, достаточно прочные Rс=4,0–8,0 МПа, пористость изменяется n=15–25 %, выветрелость Кв=0,1–0,2, Кф=0,8–2 м/сут. Таксон 4 – породы пестроцветной толщи слабо трещиноватые, прочные Rс=8,0–15,0 МПа, пористость изменяется n=5–10 %, выветрелость Кв=0,1, Кф=0,2–1,0 м/сут. Таксон 5 – песчаники, алевролиты и аргиллиты не трещиноватые, прочные Rс=15,0–20,0 МПа, пористость n<5 %, не выветрелые, коэффициенты фильтрации Кф<0,2 м/сут.

Оценка достоверности трещиноватости пород, полученная методом математического моделирования и по данным полевых исследований. В ранее проведенных исследованиях Опалихинской структуры [28], имеющей размеры: длина – 6 км, ширина – 2,6 км, амплитуда поднятия – 70 м, приведены полевые данные съемки трещиноватости пород. В качестве критерия степени нарушенности пород выбран критерий Lт, длина трещин на 10000 м². По критерию Lт составлена карта нарушенности (районирования) пород красноцветной толщи. Выделяются четыре таксона. Сопоставление таксонов, полученных разными методами, показало, что при полевом методе четвертый таксон объединяет 4 и 5 таксоны, полученные методом математического моделирования. При оценке достоверности допускаем, что наиболее надежным является полевой метод определения нарушенности массива пород. Сопоставление карт районирования поврежденности Опалихинской структуры, полученных различными методами, показало, что площадь таксона 1, определенная математическим моделированием, на 12 % больше, чем площадь, полученная полевым методом, а таксона 2 – на 14 %. Площади таксонов 3–5 разнонаправленно изменяются на 18–26 %. Пространственное расположение зон повышенной трещиноватости, полученных разными методами, согласуются между собой.

Влияние амплитуды поднятия структуры на изменение площади таксонов. Используя данные рис. 2, подсчитаны площади, занимаемые таксонами в пределах исследуемого поднятия. Результаты расчетов приведены в табл. 3.

Используя данные табл. 3, построены графики зависимости площади таксонов от амплитуды поднятия локальной структуры (рис. 3).

 

Таблица 3. Площади таксонов

Table 3. Taxon areas

Амплитуда поднятия, А, м Uplift amplitude, A, m	Давление, Р, МПа Pressure, P, MPa	Площадь таксонов, S, км2 Taxon areas, S, km2
		I		II	III	IV	V	Всего/Total
13	0,02	0,98		2,94	4,12	5,29	6,27	19,6
25	0,035	2,01		4	4,8	4	4	19,6
35	0,05	2,94		5,88	5,49	2,94	2,35	19,6
50	0,06	4		6	5	2	2	19,6
55	0,065	5,8		6,2	4	1,5	1	19,6
70	0,075	8,04		6,27	3,33	1,18	0,78	19,6

 

Рис. 3. Влияние амплитуды поднятия локальных структур на изменение площади таксонов

Fig. 3. Influence of the uplift amplitude of local structures on the change in the taxon areas

 

Из рис. 3 видно, что площади первого и второго таксонов увеличиваются с возрастанием амплитуды поднятия структуры. Так, при повышении амплитуды с А₁=13 м до А₆=70 м площадь первого таксона увеличивается на S₁=7,06 км², или 36 %, а второго на S₂=3,33 км², или 17 %. Для площадей четвертого и пятого таксонов выявлена противоположенная закономерность – с увеличением амплитуды поднятия площадь таксонов закономерно уменьшается. Так, для четвертого таксона она снижается на S₄=4,11 км², или 21 %, а для пятого таксона на S₅=5,49 км², или 28 %. Площадь третьего таксона увеличивается при возрастании амплитуды поднятия до А=35 м и уменьшается при увеличении А=70 м.

На основании выявленных закономерностей, используя регрессионный анализ, для каждого таксона получены следующие математические зависимости:

Таксон 1                S₁=0,1209 А₁–1,036

Таксон 2                S₂=0,0589 А₂+2,7629

Таксон 4                S₄= –0,0739 А₄+5,8746

Таксон 5                S₅= –0,0932 А₅+6,5873

Заключение

Проведен анализ натурных измерений и описание локальной структуры коренных пород красноцветной толщи при поднятии фундаментного блока.

Разработана математическая модель прогноза поврежденности (трещиноватости) терригенных пород красноцветной толщи, слагающих локальные структуры, основанная на деформационном критерии разрушения.

Представлены математические зависимости, позволяющие прогнозировать размеры (площади) таксонов по данным амплитуды поднятия локальных структур. Результаты исследований могут применяться при оценке трещиноватости массивов пород, сложенных терригенными породами, а также служить основой для крупномасштабного инженерно-геологического районирования в пределах локальных тектонических структур.

Sobre autores

Sharibzan Gaynanov

Perm State National Research University

Autor responsável pela correspondência
Email: gaynanov@inbox.ru
ORCID ID: 0000-0002-2722-2725

Cand. Sc., Associate Professor

Rússia, Perm

Valeriy Aptukov

Perm State National Research University

Email: aptukov@psu.ru
ORCID ID: 0000-0001-8048-3804

Dr. Sc., Professor

Rússia, Perm

Valeriy Seredin

Perm State National Research University

Email: seredin@nedra.perm.ru
ORCID ID: 0000-0002-9234-7831

Dr. Sc., Professor

Rússia, Perm

Bibliografia

Arquivos suplementares