Quantitative assessment of fractal dimension of pore structure of fine-grained concretes with software "identification and analysis of porosity of construction materials"

Full Text

Пористые материалы представляют собой своеобразный класс неупорядоченных сред, особенности которых затрудняют применение традиционных методов описания их структуры. Для исследования таких материалов оказалось эффективным привлечение аппарата фрактальной геометрии, позволяющего адекватно описать параметры строения и связать их с физико-механическими характеристиками [1–4].

До недавнего времени структуру пористых материалов связывали, в основном, с плотностью и размером пор. Однако устойчивых закономерностей связи структуры со свойствами установить не удалось [5]. Согласно концепции фракталов, в качестве параметра структуры пористого материала следует принять фрактальную размерность, определяемую распределением пор по размерам.

В последнее время идеи фрактальной геометрии находят все большее применение при количественной оценке параметров реальных объектов [2–10]. К настоящему времени известно множество экспериментальных методов определения фрактальной размерности, в том числе метод покрытия квадратами, метод Херста (метод нормированного размаха), метод вертикальных сечений, метод островов среза, Фурье-анализ профилей и т. д. [3; 4; 6]. Методы фрактального исчисления находят свое применение для анализа кривых деформирования мелкозернистых бетонов [11; 12], позволяя количественно определять положение параметрических точек, что является важной информативной характеристикой при изучении процессов разрушения композиционных материалов различной природы.

Классическим для определения фрактальной размерности является пример, где в качестве фрактальной системы рассматривают непрерывную линию, являющуюся берегом реки, озера или моря [6]. Данный метод заключается в измерении длины линии различными по размерам звеньев ломаными. По мере уменьшения звеньев длина ломаной, которая аппроксимирует рассматриваемую линию, будет возрастать. Измеренная длина описывается приближенной формулой

$L\left(\delta \right)=a\cdot {\delta }^{1-D},\text{ (1)}$

где δ – размер звена ломаной линии; a – постоянный коэффициент; D – фрактальная размерность.

Достаточно широкое развитие при определении фрактальной размерности получил метод покрытия квадратами. В общем случае при использовании данного метода требуется покрыть фрактальное множество d-мерными блоками с длиной ребра δ, произвести подсчет их числа N(δ), построить график в двойных логарифмических координатах log( N (δ)) -log(δ) и определить по углу наклона величину фрактальной размерности:

$D=\raisebox{1ex}{${\displaystyle -\Delta \log \left(N\left(\delta \right)\right)}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\Delta \log \left(\delta \right)$}\right..\text{ (2)}$

Общая идея метода островов среза основывается на изучении соотношения площади и периметра островов, образующихся при пересечении исследуемой поверхности горизонтальными плоскостями. Известно [6], что для каждого семейства плоских евклидовых фигур одинаковой формы отношение периметра к квадратному корню из охватываемой площади $\rho =\frac{P}{\sqrt{A}}$Aне зависит от размера фигуры. Так, для окружностей, квадратов и равносторонних треугольников указанное отношение соответственно равно $2\sqrt{\pi }$, 4 и $\frac{6}{\sqrt[4]{3}}$ . Для фрактальных фигур данное выражение имеет вид

${\rho }_D=\frac{P\left({\delta }^{1/D^{\text{'}}}\right)}{A\left({\delta }^{1/2}\right)},\text{ (3)}$

где $D^{\text{'}}$– фрактальная размерность очертаний островов среза; δ – длина используемого для подсчета площади и периметра эталона.

При использовании метода островов среза соотношение периметра и площади описывается уравнением [6]

$P\left(\delta \right)C\cdot {\delta }^{1-D^{\text{'}}}\cdot A\left({\delta }^{D^{\text{'}}/2}\right),\text{ (4)}$

где С – коэффициент пропорциональности.

Это соотношение выполняется для любого эталона длины δ, достаточного, чтобы удовлетворительно обмерять самый малый из островов.

Необходимо также отметить, что свойство точного самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. В случае исследования случайных фракталов, что характерно для реальных структур, увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают.

Опыт применения методов фрактального исчисления показал [3; 4; 6], что разработка алгоритмов и путей их программной реализации очень важна для получения корректных результатов при минимальных временных затратах. Установлено [3; 4], что для оценки поровой структуры цементных композитов наиболее приемлемым является метод островов среза. Предлагается для реализации данного метода использовать программный комплекс (ПК) «Идентификация и анализ пористости строительных материалов [13]», позволяющий определять суммарную площадь пор исследуемого композита, а также распределение пор по размерам. При использовании данной методики с помощью ПК подсчитывается число пикселей, занятых каждой порой. Размер ячейки (пикселя), отождествляемый с размером клетки при использовании метода покрытия квадратами, определяется по формуле

δ(K_dpi) = 2.54 · 10⁴/K_dpi,                                                                                                    (5)

где K_dpi– величина разрешения при сканировании;

Величину фрактальной размерности определяют по углу наклона графика изменения площадей пор от их периметров (рис. 1), построенного в двойных логарифмических координатах log(A(δ )) – log(P(δ )). Для определения периметра пор была разработана дополнительная надстройка к указанному выше ПК.

Рис. 1. Связь между периметром и площадью пор состава дисперсно-наполненного мелкозернистого бетона.

Из анализа полученных данных видно (рис. 1), что связь между периметром и площадью пор, полученных при сканировании исследуемых поверхностей с различным разрешением (2400, 4800 и 9600 dpi) описывается линейной зависимостью с коэффициентом детерминации 𝑅² = 0.989. Полученные результаты подтверждают перспективность использования предлагаемого подхода для определения фрактальной размерности поровой структуры, в том числе дисперсно-наполненных мелкозернистых бетонов [14].

About the authors

A. S. Scheredin

Author for correspondence.
Email: ogarevonline@yandex.ru
Russian Federation

A. S. Balykov

Email: ogarevonline@yandex.ru
Russian Federation

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig.1

Download (38KB)

Indexing metadata