Parametric Identification of the Nonlinear Model: a Study of a High-Pressure Sodium Lamp

Full Text

Для идентификации нелинейных объектов разработано довольно много подходов и методов [1; 2]. Однако они не позволяют напрямую оценивать параметры нелинейной динамической модели.

Современные эвристические методы минимизации невязки расчетных и экспериментальных данных по параметрам модели [3] позволяют достаточно быстро получать результаты приемлемого качества, но не гарантируют нахождение однозначного решения идентификационной задачи.

Использование для этих целей нейронных сетей [4–7] показывает, что параметрическая идентификация в принципе возможна, но для нелинейных объектов требуется «индивидуальный» подход в выборе типа, структуры, состава и алгоритма обучения сети, что в общем случае представляет собой достаточно сложную задачу. Ниже рассмотрен оригинальный метод параметрической идентификации, основанный на последовательном обучении нейронных сетей. Данный метод позволяет декомпозировать задачу идентификации и за счет этого сделать более технологичной процедуру идентификации.

1. Постановка задачи идентификации. Дана математическая модель динамического нелинейного объекта (системы):

$F(x,\dot{x},y,u,\theta )=0$, (1)

где x, $\dot{x}$ – векторы переменных состояния и их производные, у, u – векторы выходных и входных переменных; θ – вектор параметров модели.

Заданы экспериментальные осциллограммы переменных системы (1)

$x_{э}=x\left(t\right); y_{э}=y\left(t\right); u_{э}=u\left(t\right)$. (2)

Используя модель динамического нелинейного объекта или системы (1) и экспериментальные данные (2) необходимо найти отображение

$\left[x_{э},y_{э},u_{э}\right]\Rightarrow \widehat{\theta }$, (3)

где $\widehat{\theta }$ – оценка параметров модели, минимизирующая неувязку E_m параметров θ, взятых относительно их номинальных значений ${\theta }_{{}_{Н}}:{\theta }_{о}=\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\theta }_H$}\right.$

$E_m=\min \left|{\theta }_{о}-{\widehat{\theta }}_{о}\right|$. (4)

2. Алгоритм параметрической идентификации. Предлагается следующий алгоритм получения отображения (3).

1. На математической модели (1) при варьировании параметров θ проводится эксперимент (например, полнофакторный эксперимент 2^N, где N – размерность вектора θ), и формируется выборка параметров модели Θ и выборки c массивом входов P_r и массивом выходов T_r для построения имитационных моделей:

$\begin{array}{l}{P}_r=\left[X,Y,U\right];\\ T_r=Y;\\ X=X\left(t\right);Y=Y\left(t\right);U=U\left(t\right),\end{array}$ (5)

2. где X, Y, U – массивы расчётных данных, включающие все переменные модели, полученные в каждом из N опытов плана эксперимента.
3. На выборке Pr, Tr осуществляется построение имитационной модели и формируется матрица ее параметров Wr. В качестве имитационной модели используется нейронная сеть, у которой роль идентифицируемых параметров играют синаптические коэффициенты Wr, хотя, в принципе, можно использовать любую динамическую модель.
4. Формируется новая обучающая выборка для обучения второй статической нейронной сети:

$\begin{array}{l}{P}_{с}=W_k;\\ T_{с}=\Theta ,\end{array}$ (6)

5. Проводится обучение второй статической сети, и вычисляется оценка вектора параметров $\widehat{\theta }$ модели (1) в каждом из N экспериментов.

6. На вход полученной имитационной модели (первую обученную нейронную сеть) подаются экспериментальные осциллограммы (2), которые не участвовали обучающих экспериментах, и вычисляется вектор параметров имитационной модели (синаптические коэффициенты нейронной сети) w_r для текущего состояния объекта.
7. Полученные коэффициенты подаются на вход второй нейронной сети и вычисляется оценка вектора параметров модели для текущего состояния реального объекта $\widehat{\theta }$.

Таким образом, осуществляется биективное отображение множества параметров первой нейронной сетиWк во множество параметров модели объекта Θ.

3. Формирование модели нелинейного объекта. В качестве примера рассмотрим параметрическую идентификацию натриевой лампы высокого давления типа ДНа3 мощностью 600 Вт, функционирование которой описывается нелинейной динамической моделью.

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=\frac{1}{L}\left[U_s-\left(\frac{1}{x_2{x}_3}+R\right)x_1\right],\\ \frac{d{x}_2}{dt}=A_l{U}_0^2{x}_2^2\frac{{\left(\frac{x_1}{U_0{x}_2{x}_3}\right)}^2-1}{1+k_1\left(\frac{\left|x_1\right|}{U_0{x}_2{x}_3}-1\right)},\\ \frac{d{x}_3}{dt}=\left[k_2+k_3{\left(\frac{\left|x_1\right|}{U_0{x}_2{x}_3}\right)}^{k_4}\right]\left[1+k_1\left(\frac{\left|x_1\right|}{U_0{x}_2{x}_3}-1\right)-x_3\right],\end{array}\right.$ (6)

где x₁ – ток лампы; x₂ – приведенная проводимость лампы, учитывающая среднее значение концентрации электронов; x₃ – безразмерная величина, учитывающая подвижность электронов; L, R – соответственно индуктивность и активное сопротивление ограничивающего дросселя; U_s, U₀ – соответственно напряжение питающей сети и номинальное напряжение на лампе; A_l – коэффициент, определяемый конструкцией лампы; k₁–k₄ – электрические коэффициенты, определяемые для конкретного типа лампы.

Параметры лампы приведены в табл. 3, параметры дросселя R = 14 Ом; L = 0,062 Гн [8],

Решение уравнений (7) проводился в среде MATLAB. Расчётные и экспериментальные осциллограммы напряжения и тока лампы показаны на рисунке 1.

Рис. 1. Расчётные и экспериментальные осциллограммы напряжения и тока лампы

Это подтверждает адекватное описание объекта системой уравнений (7). Поэтому для демонстрации эффективности предлагаемого метода нотификации используем в дальнейшем экспериментальные осциллограммы (2), полученные численным решением системы уравнений (7).

4. Параметрическая идентификация нелинейной модели объекта. Параметрическая идентификация осуществлялась в соответствии с предложенным алгоритмом:

1. Был проведен эксперимент, в ходе которого случайным образом в ограниченном диапазоне изменялись параметры модели (7) (таблица 1).

Tаблица 1. План эксперимента

В каждом опыте проводилось численное решение системы (7), и по рассчитанным напряжению U_l и току I_l лампы формировалась обучающая выборка (5), которая в рассматриваемом примере имеет вид:

$\begin{array}{l}{P}_r=\left[U_l,I_l\right];\\ T_r=I_l,\end{array}$ (6)

где U_l, I_l – массивы осциллограмм токов и напряжений на лампе, полученных в результате

решения системы (7) в каждом из опытов, задаваемых таблицей 1.

Вопрос: как обозначены U_l, I_l в системе уравнений (7)? (Ток – переменная x₁, напряжение на лампе - переменная U0).

2. Выборка (8) использовалась для обучения двухслойной нейронной сети прямой передачи с 2 нейронами в скрытом слое и с линейными функциями активации в каждом слое. Таким образам, первая нейронная сеть имеет 2 синатические связи в скрытом слое, 1 – в выходном и 2 коэффициента сдвига. Обучение сети проводилось по методу Левенберга-Маркварта с регуляризацией по Байесу. Ошибка обучения в каждом опыте практически равнялась нулю. Максимальное значение ошибки не превышало значение 2 × 10^–10 А.
3. Из полученных синаптических коэффициентов динамической нейронной формируется новая обучающая выборка для обучения второй статической нейронной сети. В таблице 2 приведены синаптические коэффициенты сети, полученные в результате обучения первой нейронной сети по данным таблицы 1 и последующего численного решения (7).

Tаблица 2. Обучающая выборка статической нейронной сети (синаптические коэффициенты динамической нейронной сети)

4. Таблица 2 использовалась для обучения второй статической нейронной сети, в качестве которых была выбрана трехслойная сеть прямой передачи также с линейными функциями активации в каждом слое. Обучение сети также проводилось аналогично по методу Левенберга-Маркварта с регуляризацией по Байесу. Относительные ошибки обучения в каждом опыте показаны на рисунке 2.

Рис. 2. Ошибки вычисления параметров аналитической модели (7), полученные после обучения

5. На вход первой нейронной сети подвались экспериментальные значения тока и напряжения лампы и вычислялся вектор её параметров (последней столбец табл. 2). Вычисленный вектор параметров первой нейронной сети подавался на вход обученной второй статической нейронной сети и вычислялась оценка вектора параметров модели реального объекта $\hat{\theta }$ (табл. 3).

Таблица 3. Оценки параметров нелинейной модели, полученные в результате идентификации

Можно отметить хорошее совпадение расчётных данных модели (7) [9] с данными, полученными в результате идентификации, причём среднеквадратичное отклонение от экспериментальных значений тока и напряжения при идентификации даже меньше.

Выводы.

1. Поставлена задача параметрической идентификации нелинейных моделей объекта, заключающаяся в получении отображения экспериментальных данных объекта в параметры ее модели в её параметры с помощью нейронных сетей.
2. Разработан алгоритм параметрической идентификации, заключавшийся в проведении вычислительного эксперимента на заданной нелинейной модели, формирования по результатам эксперимента обучающих выборок, последовательного обучения нейронных сетей, и вычисления с помощью обученных сетей оценок параметров нелинейной модели по экспериментальным данным.
3. Предложена нейронная сеть, состоящая из комбинации двух нейронной сетей, в которой синаптические коэффициенты первой нейронной сети подаются на вход статической нейронной сети.
4. В такой сети отображение экспериментальных данных в параметры модели осуществляется последовательно: экспериментальные данные вначале отображаются в синаптические коэффициенты первой нейронной сетью, затем синаптические коэффициенты этой сети биективно отображаются в параметры второй статической нейронной сети, выходом которой являются параметры нелинейной модели.
5. Экспериментальная проверка предложенного метода нейросетевой параметрической идентификации на примере модели натриевой лампы высокого давления показала, что среднеквадратичное отклонение тока и напряжения от номинальных значений не превышает 4% для напряжения и 10% для тока.
6. Учитывая хорошую отображающую способность нейронных сетей, предложенный алгоритм и нейронную сеть можно рассматривать как универсальный метод идентификации.

About the authors

A. D. Semenov

Email: ogarevonline@yandex.ru
Russian Federation

A. V. Volkov

Author for correspondence.
Email: ogarevonline@yandex.ru
Russian Federation

E. D. Semyakhina

Email: ogarevonline@yandex.ru
Russian Federation

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Calculated and experimental oscillograms of lamp voltage and current

Download (83KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Calculation errors of the parameters of the analytical model (7) obtained after training

Download (141KB)

Indexing metadata