Об одном нелинейном интегро-дифференциальном уравнении

Аннотация

В работе дана иллюстрация взаимного влияния эффектов нелинейности и нелокальности, а именно, найдено точное решение задачи Коши для нелинейного интегро- дифференциального уравнения, обладающего следующим свойством: изменение знака у ограниченного начального условия за конечное время приводит к неограниченному возрастанию по модулю соответствующего ему решения. Получено общее решение задачи Коши для рассматриваемого уравнения, а также продемонстрирован метод расширения таблиц преобразования Лапласа по двум переменным с помощью частных решений этого уравнения.

Полный текст

Одним из способов повышения точности описания процессов различной природы является учёт при протекании этих последних нелокальности взаимодействий [1; 2]. Однако комбинация нелинейности математической модели с простейшей нелокальностью в виде пространственного сдвига уже приводит к резкому возрастанию математических трудностей (см., например, [3]), поэтому поиск точно решаемых модельных примеров, обладающих как нелинейностью, так и нелокальностью, приобретает важное значение.

Рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение:

$\frac{\partial u(x,y,t)}{\partial t}+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}u\left(x-\xi ,y-\eta ,t\right)\cdot u\left(\xi ,n,t\right)\cdot d\xi d\eta =\mathrm{0,}$                                     (1)

в котором неизвестная функция u (x, y, t) определена в I-м квадранте: $x \ge 0, y \ge 0$.

Снабдим уравнение (1) начальным условием:

$u(x,y\mathrm{,0})=u_0(x,y)$, $x \ge 0, y \ge 0$.                                                                   (2)                   

тогда для решения задачи Коши (1)-(2) справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть существуют такие константы $M_0>\mathrm{0,}{h}_0>0иk_0>\mathrm{0,}$ квадранте функция (2) удовлетворяет неравенству:

$\left|u_0(x,y)\right|\le M_0\cdot \exp (h_{0}x+k_{0}y)$,                                                                     (3)

тогда точное решение задачи Коши (1)-(2) имеет вид:

$u(x,y,t)=$$\underset{a-i\infty }{\overset{a+i\infty }{\int }}\underset{b-i\infty }{\overset{b+i\infty }{\int }}\frac{U_0(p,q)}{1+t\cdot U_0(p,q)}\cdot$$\exp \left(p\cdot x+q\cdot y\right)$$\frac{dpdq}{{(2\cdot \pi \cdot i)}^2},$                (4)

где

$U_0(p,q)=y,$$\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}$$u_0(x,y)\cdot \exp (-p\cdot x-q\cdot y)\cdot dxd$                                      (5)

а в формуле (4) прямые Rep = a и Req = b выбраны так, чтобы все особенности функции U_₀ ( p, q) / (1 + t ‧ U_₀ ( p, q)) в комплексных плоскостях p и q соответственно оставались слева от них.

Доказательство. Нелинейный член в уравнении (1) представляет собой двойную свёртку лапласовского типа по обеим пространственным переменным, поэтому будем искать его решение с помощью двойного преобразования Лапласа ― и по x , и по y .

В рамках этого формализма переход от оригинала u(x, y, t) к изображению U(p, q, t) имеет вид [4]:

$U(p,q,t)=$$\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}$$u(x,y,t)\cdot \exp (-p\cdot x-q\cdot y)\cdot dxdy,$                                   (6)

а исходное интегро-дифференциальное уравнение (1) для оригинала трансформируется в обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения (6):

$\frac{\partial U(p,q,t)}{\partial t}+U^2\left(p,q,t\right)=\mathrm{0,}$ $U\left(p,q\mathrm{,0}\right)=U0(\left(p,q\right).$                                       (7)

Начальным условием для уравнения (7) является функция (5), причём условие (3)

является достаточным условием её существования в области Rep > h_₀ и Req > k_₀ [4].

Задача Коши (7) имеет следующее точное решение:

$U(p,q,t)=$$\frac{U_0(p,q)}{1+t\cdot U_0(p,q)},$                                                                          (8)

а формула (4) представляет собой обращение двумерного преобразования Лапласа (6).

Однако формула (4), выражающая общее решение задачи Коши (1)-(2), неудобна для практического применения, поскольку для её использования надо проводить интегрирование в комплексном пространстве С ². Гораздо проще находить точные решения задачи Коши (1) - (2) в явном виде следующим образом: вычислить по формуле (5) изображение начального условия (2), а затем проверить по таблице двумерных преобразований Лапласа, приведённой в книге [4], соответствует ли изображение, найденное по формуле (8), какой-либо функции из этой таблицы.

Продемонстрируем применение этого приёма на примере.

Пусть начальное условие для уравнения (1) имеет вид:

$u_0\left(x\text{,}y\right)=A_0\cdot J_0\left(2\sqrt{a_{0}xy}\right),x\ge \mathrm{0,}y\ge \mathrm{0,}{a}_0>\mathrm{0,}$                            (9)

где J0 (z) — это функция Бесселя, тогда интеграл (5) от функции (9) легко вычисляется с помощью известного разложения функции J₀ (z) в степенной ряд:

$U_0\left(p,q\right)=$$\frac{A_0}{pq+a_0}.$                                                                               (10)

Подставляя выражение (10) в формулу (8), получим для изображения решения:

$U\left(p,q,t\right)=$$\frac{A_0}{pq+a_0+A_{0}t}$.                                                                     (11)

Функция (11) получается из функции (10) заменой A₀ → A₀ + A₀t , поэтому вследствие единственности обратного преобразования Лапласа по переменным p и q [4] оригинал для изображения (11) получается из функции (9) той же заменой:

$u\left(x,y,t\right)=A_0\cdot J_0\left(2\sqrt{a_0+A_{0}t)xy}\right).$                                                       (12)

При A₀ > 0 функция (12) обладает колебательным характером. На рисунке 1 приведён график функции (9) при A₀ = 1 и A₀ = 1. С течением времени характерная «длина волны» уменьшается ― для этого достаточно сравнить рис. 1 с рис. 2, на котором представлен график функции (12) при тех же параметрах A₀ = 1 и A₀ = 1, но в момент времени t = 3 . Если же A₀ < 0 , то при t_с = A₀ / | A₀ | в решении (12) происходит переход от колебательного режима к режиму с неограниченно возрастающей по модулю функцией u(x, y,t). С формальной точки зрения этот переход выражается в замене функции Бесселя J₀ (z) на модифицированную функцию Бесселя I_₀ ( z) при t > t_с . Рисунки 3 и 4 иллюстрируют этот эффект. В этом случае при t → t_с ― 0 характерная «длина волны» увеличивается, что приводит к уплощению графика функции (12) до тех пор, пока при t = t_с он не становится плоскостью u(x, y,t_с ) = - |A_₀|.

Рис. 1. График начального условия u(x, y, 0) уравнения (1) при A₀ = 1 и a₀ = 1.

Рис. 2. График решения задачи Коши (1)-(2) при t = 3, A₀ = 1 и a₀ = 1.

Таким образом, при переходе в решении (12) параметром A₀ нулевого значения из ограниченного начального условия (9) за конечное время развивается неограниченное решение, то есть система (1) в своём поведении демонстрирует некоторое сходство с фазовым переходом второго рода [5] или с бифуркацией Андронова-Хопфа [6].

Рис. 3. График решения задачи Коши (1)-(2) при t = 0,75 и A₀ = -1 и A₀ = 1.

Рис. 4. График решения задачи Коши (1)-(2) при t = 1,05 и A₀ = -1 , A₀ = 1.

В заключение необходимо отметить, что если точное решение u(x, y, t) задачи Коши (1)-(2) из каких-либо соображений известно, то двойная свёртка лапласовского типа начального условия (2) самого с собой может быть вычислена по формуле:

${\left.\underset{0}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}{u}_0\left(x-\xi ,y-\eta \right)\cdot u_0\left(\xi ,\eta \right)\cdot d\xi d\eta =-\frac{\partial u(x,y,t)}{\partial t}\right|}_{t=0},$                                     (13)

а при известной функции (5) применение двойного преобразования Лапласа по переменным x и y к левой части формулы (13) может привести к пополнению таблиц преобразований Лапласа по двум переменным.

В частности, подставляя в соотношение (13) функции (9) и (12), найдём:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}$$J_0\left(2\sqrt{a_0(x-\xi )(y-\eta )}\right)\cdot J_0\left(2\sqrt{a_0\xi \eta }\right)\cdot d\xi d\eta =$$\sqrt{\frac{xy}{a_0}}$$J_1\left(2\sqrt{a_{0}xy}\right).$             (14)

Наконец, с помощью выражения (10), взятого при вычислений, можно получить, что: