Том 85, № 6 (2021)

Группа Торелли замкнутой ориентированной поверхности $S_g$ рода $g$ – это подгруппа $\mathcal{I}_g$ группы классов отображений $\operatorname{Mod}(S_g)$, состоящая из всех классов отображений, которые тривиально действуют на гомологиях поверхности $S_g$. Одна из самых интересных открытых проблем, касающихся групп Торелли, – вопрос, является ли группа $\mathcal{I}_3$ конечно определенной. Один из возможных подходов к этой проблеме – изучение второй группы гомологий группы $\mathcal{I}_3$ при помощи спектральной последовательности $E^r_{p,q}$ для действия группы $\mathcal{I}_3$ на комплексе циклов. В настоящей работе мы получаем частичный результат в направлении гипотезы, что группа $H_2(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ не является конечно порожденной и, следовательно, группа $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной. А именно, мы доказываем, что член $E^3_{0,2}$ упомянутой спектральной последовательности не конечно порожден, т. е., что группа $E^1_{0,2}$ остается бесконечно порожденной после факторизации по образам дифференциалов $d^1$ и $d^2$. Если бы в дальнейшем удалось доказать, что она остается бесконечно порожденной и после факторизации по образу дифференциала $d^3$, это завершило бы доказательство того, что $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной.Библиография: 28 наименований.

Работа является первой в цикле, посвященном конструкции конечно определенной бесконечной нильполугруппы, удовлетворяющей тождеству $x^9=0$. Эта конструкция отвечает на проблему Л. Н. Шеврина и М. В. Сапира.В первой части цикла (настоящей работе) построена последовательность вложенных комплексов, состоящих из квадратов (4-циклов) со следующим набором геометрических свойств.1) Равномерная эллиптичность. Пространство называется равномерно-эллиптическим, если можно выбрать константу $\lambda>0$ такую, что в множестве кратчайших путей, соединяющих любые две точки $A$ и $B$, на расстоянии $D$ можно выбрать два пути, удаленных друг от друга на расстояние $\lambda D$. При этом расстояние между путями с общим началом и концом определяется как максимум расстояний между соответствующими точками. 2) Вложенность. Комплекс $n+1$ уровня получается на основе комплекса $n$ уровня добавлением нескольких вершин и ребер по определенным правилам.3) Локальная преобразуемость. Пусть разрешено преобразовывать пути, заменяя путь по двум сторонам минимального квадрата на путь по другим двум сторонам. Два кратчайших пути с общими концами локально преобразуются друг в друга, если концы путей принадлежат вершинам одного квадрата вложенного комплекса.Геометрические свойства построенной последовательности комплексов в дальнейшем используются для задания конечно определенных полугрупп.Библиография: 62 наименования.

В этой работе мы исследуем диофантовы проблемы в классических матричных группах $\mathrm{GL}_n(R)$, $\mathrm{SL}_n(R)$, $\mathrm{T}_n(R)$, $\mathrm{UT}_n(R)$, $n \geq 3$, над ассоциативным кольцом с единицей $R$. Мы показываем что если $G_n(R)$ – это одна из выше перечисленных групп, то диофантова проблема в $G_n(R)$ полиномиально по времени эквивалентна (эквивалентна по Карпу) диофантовой проблеме над $R$. В случае, когда $G_n(R)=\mathrm{SL}_n(R)$, мы предполагаем, что кольцо $R$ коммутативно. Аналогичные результаты верны для $\mathrm{PGL}_n(R)$ и $\mathrm{PSL}_n(R)$ в случае если в $R$ нет делителей нуля (для $\mathrm{PGL}_n(R)$, кольцо $R$ необязательно коммутативно).Библиография: 66 наименований.