Finitely presented nilsemigroups: complexes with the property of uniform ellipticity

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

This paper is the first in a series of three devoted to constructing a finitely presented infinite nilsemigroup satisfying the identity $x^9=0$. This solves a problem of Lev Shevrin and Mark Sapir.In this first part we obtain a sequence of complexes formed of squares ($4$-cycles) having the following geometric properties.1) Complexes are uniformly elliptic. A space is said to be uniformly elliptic if there is a constant $\lambda>0$ such that in the set of shortest paths of length $D$ connecting points $A$ and $B$ there are two paths such that the distance between them is at most $\lambda D$. In this case, the distance between paths with the same beginning and end is defined as the maximal distance between the corresponding points. 2) Complexes are nested.A complex of level $n+1$ is obtained from a complex of level $n$ by adding several vertices and edges according to certain rules.3) Paths admit local transformations. Assume that we can transform paths by replacing a path along two sides of a minimal square by the path along the other two sides. Two shortest paths with the same ends can be transformed into each other locally if these ends are vertices of a square in the embedded complex.The geometric properties of the sequence of complexes will be further used to define finitely presented semigroups.

Sobre autores

Ilya Ivanov-Pogodaev

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); Bar-Ilan University, Department of Mathematics

Email: ivanov-pogodaev@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

Aleksei Kanel-Belov

Shenzhen University

Email: kanelster@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Bibliografia

  1. E. I. Zelmanov, “On the nilpotency of nil algebras”, Algebra – some current trends (Varna, 1986), Lecture Notes in Math., 1352, Springer, Berlin, 1988, 227–240
  2. W. Burnside, “On an unsettled question in the theory of discontinuous groups”, Q. J. Pure Appl. Math., 33 (1902), 230–238
  3. И. Н. Санов, “Решение проблемы Бернсайда для показателя $4$”, Уч. зап. Ленингр. ун-та. Сер. матем., 10 (1940), 166–170
  4. M. Hall, Jr., “Solution of the Burnside problem for exponent $6$”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 43 (1957), 751–753
  5. Е. С. Голод, “О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых $p$-группах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 273–276
  6. Е. С. Голод, И. Р. Шафаревич, “О башне полей классов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 261–272
  7. П. С. Новиков, С. И. Адян, “О бесконечных периодических группах. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:1 (1968), 212–244
  8. С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975, 335 с.
  9. С. И. Адян, “Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы”, УМН, 65:5(395) (2010), 5–60
  10. С. И. Адян, “Новые оценки нечетных периодов бесконечных бернсайдовых групп”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Труды МИАН, 289, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 41–82
  11. А. Ю. Ольшанский, “О теореме Новикова–Адяна”, Матем. сб., 118(160):2(6) (1982), 203–235
  12. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Современная алгебра, Наука, М., 1989, 448 с.
  13. И. Г. Лысeнок, “Бесконечность бернсайдовых групп периода $2^k$ при $k > 13$”, УМН, 47:2(284) (1992), 201–202
  14. И. Г. Лысeнок, “Бесконечные бернсайдовы группы четного периода”, Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3–224
  15. S. V. Ivanov, “The free Burnside groups of sufficiently large exponents”, Internat. J. Algebra Comput., 4:1-2 (1994), 1–308
  16. S. V. Ivanov, “On the Burnside problem on periodic groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27:2 (1992), 257–260
  17. А. И. Ширшов, “О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах”, Матем. сб., 41(83):3 (1957), 381–394
  18. А. И. Ширшов, “О кольцах с тождественными соотношениями”, Матем. сб., 43(85):2 (1957), 277–283
  19. A. Belov-Kanel, L. H. Rowen, “Perspectives on Shirshov's Height theorem”, Selected works of A. I. Shirshov, Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, 185–202
  20. A. R. Kemer, “Comments on Shirshov's Height theorem”, Selected works of A. I. Shirshov, Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, 223–229
  21. А. Я. Белов, “Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости”, Фундамент. и прикл. матем., 13:5 (2007)
  22. А. Я. Белов, М. И. Харитонов, “Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте”, Матем. сб., 203:4 (2012), 81–102
  23. А. И. Кострикин, Вокруг Бернсайда, Наука, М., 1986, 232 с.
  24. M. V. Sapir, Combinatorial algebra: syntax and semantics, With contributions by V. S. Guba, M. V. Volkov, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2014, xvi+355 pp.
  25. A. Yu. Ol'shanskii, M. V. Sapir, “Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 96, no. 1, 2003, 43–169
  26. T. Gateva-Ivanova, V. Latyshev, “On recognizable properties of associative algebras”, [J. Symbolic Comput., 6:2-3 (1988), 371–388], Computational aspects of commutative algebras, Academic Press, London, 1988, 237–254
  27. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей, 4-е изд., ред. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков, ИМ СО РАН, Новосибирск, 1993, 74 с.
  28. G. Kukin, “The variety of all rings has Higman's property”, Algebra and analysis (Irkutsk, 1989), Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 163, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 91–101
  29. В. Я. Беляев, “Вложимость рекурсивно определенных инверсных полугрупп в конечно определенные”, Сиб. матем. журн., 25:2 (1984), 50–54
  30. В. А. Уфнаровский, “О росте алгебр”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1978, № 4, 59–65
  31. В. В. Щиголев, “О ниль и нильпотентных конечноопределeнных алгебрах”, Фундамент. и прикл. матем., 6:4 (2000), 1239–1245
  32. Н. К. Иыуду, Стандартные базисы и распознаваемость свойств алгебр, заданных копредставлением, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 1996, 73 с.
  33. И. А. Иванов-Погодаев, “Алгебра с конечным базисом Грeбнера и неразрешимой проблемой делителей нуля”, Фундамент. и прикл. матем., 12:8 (2006), 79–96
  34. Д. И. Пионтковский, “Некоммутативные базисы Грeбнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах”, Фундамент. и прикл. матем., 7:2 (2001), 495–513
  35. Д. И. Пионтковский, “Базисы Грeбнера и когерентность мономиальной ассоциативной алгебры”, Фундамент. и прикл. матем., 2:2 (1996), 501–509
  36. В. А. Уфнаровский, “Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре”, Алгебра – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 57, ВИНИТИ, М., 1990, 5–177
  37. А. Я. Белов, “Линейные рекуррентные уравнения на дереве”, Матем. заметки, 78:5 (2005), 643–651
  38. L. A. Bokut', G. P. Kukin, Algorithmic and combinatorial algebra, Math. Appl., 255, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, xvi+384 pp.
  39. M. V. Sapir, “Algorithmic problems for amalgams of finite semigroups”, J. Algebra, 229:2 (2000), 514–531
  40. Нерешенные задачи теории полугрупп, Свердловская тетрадь, № 3, Урал. гос. ун-т, Свердловск, 1989, 40 с.
  41. O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir, “Algorithmic problems in varieties”, Internat. J. Algebra Comput., 5:4-5 (1995), 379–602
  42. A. Ya. Belov, I. A. Ivanov, “Construction of semigroups with some exotic properties”, Comm. Algebra, 31:2 (2003), 673–696
  43. A. Ya. Belov, I. A. Ivanov, “Construction of semigroups with some exotic properties”, Acta Appl. Math., 85:1-3 (2005), 49–56
  44. I. Ivanov-Pogodaev, S. Malev, “Finite Gröbner basis algebras with unsolvable nilpotency problem and zero divisors”, J. Algebra, 508 (2018), 575–588
  45. I. Ivanov-Pogodaev, S. Malev, O. Sapir, “A construction of a finitely presented semigroup containing an infinite square-free ideal with zero multiplication”, Internat. J. Algebra Comput., 28:8 (2018), 1565–1573
  46. И. А. Иванов-Погодаев, Машина Минского, свойства нильпотентности и размерность Гельфанда–Кириллова в конечно-определенных полугруппах, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 2006, 77 с.
  47. A. Belov, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of finitelly presented Nill but not nilpotent semigroup”, International conference on algebra and related topics (ICCA) (Guangzhou, 2009), The Center of Combinatorial Algebra, South China Normal Univ., 2009, 18
  48. A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, Finitely presented nil-semigroups and aperiodic tilings, CIRM, SubTile 2013 Pavages: systèmes dynamiques, combinatoire, theorie des nombres, decidabilite, geometrie discrète, geometrie non-commutative (Marseille, 2013)
  49. A. Ya. Belov, I. A. Ivanov-Pogodaev, “Construction of finitely presented infinite nil-semigroup”, Classical aspects of ring theory and module theory. Abstracts (Bedlewo, 2013), Stefan Banach International Mathematical Center, 2013, 14
  50. И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Белов, “Построение конечно определенной ниль-полугруппы”, Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения (Тула, 2014), Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, Тула, 2014, 30
  51. A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of infinite finitely presented nilsemigroup”, Groups and rings, theory and applications, GRiTA2015 (Sofia, 2015), Institute of Mathematics and Informatics of the Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, 2015, 10
  52. A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of infinite finitely presented nilsemigroup”, First joint international meeting of the Israel mathematical union and the Mexican mathematical society (Oaxaca, 2015), Instituto Tecnologico de Oaxaca, 2015, 13
  53. A. J. Belov, V. V. Borisenko, V. N. Latyshev, Monomial algebras, Plenum, New York, NY, 1998
  54. Н. К. Иыуду, “Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания делителей нуля в одном классе алгебр”, Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 541–544
  55. R. Berger, The undecidability of the domino problem, Ph.D. thesis, Harvard Univ., 1964
  56. R. M. Robinson, “Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane”, Invent. Math., 12 (1971), 177–209
  57. C. Goodman-Strauss, “Matching rules and substitution tilings”, Ann. of Math. (2), 147:1 (1998), 181–223
  58. N. Bedaride, Th. Fernique, “When periodicities enforce aperiodicity”, Comm. Math. Phys., 335:3 (2015), 1099–1120
  59. Wang Hao, “Proving theorems by pattern recognition – II”, Bell System Tech. J., 40:1 (1961), 1–41
  60. T. Fernique, И. Иванов-Погодаев, А. Белов, И. Митрофанов, Апериодичные замощения [Aperiodic tilings], 25-я летняя конференция международного математического Турнира городов (Боровка, Беларусь, 2013), 2013
  61. J. H. Conway, J. C. Lagarias, “Tiling with polyominoes and combinatorial group theory”, J. Combin. Theory Ser. A, 53:2 (1990), 183–208
  62. А. Я. Белов-Канель, И. Иванов-Погодаев, А. Малистов, И. Митрофанов, М. Харитонов, Замощения, раскраски и плиточные группы, 21-я летняя конференция международного математического Турнира городов (Теберда, 2009), 2009

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Ivanov-Pogodaev I.A., Kanel-Belov A.Y., 2021

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».