Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 88, № 4 (2024)
Статьи
О подпространствах пространств Орлича, порожденных независимыми копиями в среднем равной нулю функции
Аннотация
Изучаются подпространства пространств Орлича $L_M$, порожденные независимыми копиями $f_k$, $k=1,2,…$, некоторой функции $f\in L_M$, $\int_0^1 f(t) dt=0$. Всякое такое подпространство $H$ изоморфно некоторому пространству Орлича последовательностей $\ell_\psi$. В терминах растяжений функции $f$ получено описание сильно вложенных подпространств этого типа, а также найдены условия, гарантирующие, что нормы функций единичного шара в таком подпространстве равностепенно непрерывны в $L_M$. В частности, доказано, что существует широкий класс пространств Орлича $L_M$ (содержащий $L^p$-пространства, $1\le p< 2$), для которых каждое из этих свойств подпространства $H$ выполнено тогда и только тогда, когда для индексов Матушевской–Орлича функций $M$ и $\psi$ выполнено неравенство $\alpha_\psi^0>\beta_M^\infty$.Библиография: 39 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):3-30
3-30
Linear isometric invariants of bounded domains
Аннотация
We introduce two new conditions for bounded domains, namely $A^p$-completeness and boundary blow down type, and show that, for two bounded domains $D_1$ and $D_2$ that are $A^p$-complete and not of boundary blow down type, if there exists a linear isometry from $A^p(D_1)$ to $A^{p}(D_2)$ for some real number $p>0$ with $p\neq $ even integers, then $D_1$ and $D_2$ must be holomorphically equivalent, where, for a domain $D$, $A^p(D)$ denotes the space of $L^p$ holomorphic functions on $D$.Bibliography: 13 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):31-43
31-43
Коразмерности тождеств разрешимых супералгебр Ли
Аннотация
В статье изучаются тождества супералгебр Ли над полем нулевой характеристики. Построена серия примеров конечномерных разрешимых супералгебр с ненильпотентным коммутантом, для которых PI-экспонента роста коразмерностей существует и является целым числом.Библиография: 24 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):44-60
44-60
Задача Дирихле для неоднородного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева–Бицадзе
Аннотация
Для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева–Бицадзе в прямоугольной области изучена первая граничная задача. Показано, что корректность постановки задачи существенным образом зависит от отношения сторон прямоугольника из гиперболической части смешанной области. Установлен критерий единственности решения. Само решение построено в виде суммы ряда Фурье. При обосновании равномерной сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей. В связи с чем установлены оценки малых знаменателей об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой. Эти оценки позволили доказать сходимость ряда в классе регулярных решений данного уравнения. Доказаны оценки об устойчивости решения от заданных граничных функций и правой части.Библиография: 17 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):61-83
61-83
Усреднение эллиптических и параболических уравнений с периодическими коэффициентами в ограниченной области при условии Неймана
Аннотация
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор $B_{N,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка при условии Неймана на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. Коэффициенты оператора $B_{N,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается обобщенная резольвента $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0( {\cdot} /\varepsilon))^{-1}$, где $Q_0$ – периодическая ограниченная и положительно определенная матрица-функция, а $\zeta$ – комплексный параметр. Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Результаты применяются к изучению поведения решений начально-краевой задачи с условием Неймана для параболического уравнения $Q_0(\mathbf{x}/\varepsilon) \partial_t \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t) = -(B_{N,\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},t)$ в цилиндре $\mathcal{O} \times (0,T)$, где $0 < T \le \infty$ .
Библиография: 51 наименование.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):84-167
84-167
Итерационный метод решения одного класса нелинейных интегральных уравнений с оператором Немыцкого на положительной полупрямой
Аннотация
Рассматривается класс нелинейных интегральных уравнений с монотонным оператором Немыцкого на положительной полупрямой. Указанный класс интегральных уравнений встречается во многих направлениях современного естествознания. В частности, такие уравнения при различных ограничениях на нелинейность и ядро возникают в динамической теории $p$-адических струн для скалярного поля тахионов, в кинетической теории газов и плазмы в рамках обычной и модифицированной нелинейных моделей Бхатнагара–Гросса–Крука для кинетического уравнения Больцмана. Уравнения подобного характера встречаются также в теории нелинейного переноса излучения в неоднородных средах и в математической теории распространения эпидемических заболеваний в рамках модифицированной модели Дикмана–Капера. Доказывается конструктивная теорема существования ограниченного положительного и непрерывного решения. Получается равномерная оценка разности между предыдущей и последующей итерациями, притом эти последовательные приближения равномерно сходятся к ограниченному непрерывному решению рассматриваемого уравнения. Исследуется асимптотическое поведение построенного решения на бесконечности. В частности, доказывается, что решение на бесконечности имеет положительный предел, который однозначно определяется из некоторого характеристического уравнения. Доказывается также, что разность между пределом и решением является суммируемой функцией на положительной полуоси. Используя некоторые геометрические оценки для выпуклых и вогнутых функций, а также опираясь на доказанную теорему об интегральной асимптотике, доказывается единственность решения в определенном подклассе неотрицательных нетривиальных непрерывных и ограниченных функций. С помощью полученных результатов удается также исследовать специальный класс нелинейных интегральных уравнений урысоновского типа на положительной полупрямой. В частности, доказывается существование положительного и ограниченного решения данного класса уравнений, а также изучаются некоторые качественные свойства построенного решения. Приводятся конкретные примеры прикладного характера соответствующего ядра и нелинейности для иллюстрации важности полученных результатов.Библиография: 52 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):168-203
168-203
Asymptotic stability of solutions to quasilinear damped wave equations with variable sources
Аннотация
In this paper, we consider the following quasilinear damped hyperbolic equation involving variable exponents:$$u_{tt}-\operatorname{div}( |\nabla u|^{r(x)-2}\nabla u)+|u_t|^{m(x)-2} u_t-\Delta u_t=|u|^{q(x)-2}u,$$with homogenous Dirichlet initial boundary value condition. An energy estimate and Komornik's inequality are used to prove uniform estimate of decay rates of the solution. We also show that $u(x, t)=0$ is asymptotic stable in terms of natural energy associated with the solution of the above equation. As we know, such results are seldom seen for the variable exponent case. At last, we give some numerical examples to illustrate our results.Bibliography: 16 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2024;88(4):204-224
204-224