Многомерные тайловые $\mathrm{B}$-сплайны

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Тайловые $\mathrm{B}$-сплайны в $\mathbb R^d$ определяются как автосвертки характеристических функций тайлов – специальных самоподобных компактов, замощающих пространство $\mathbb R^d$ параллельными сдвигами. Эти функции не кусочно полиномиальны, однако, являясь прямым обобщением классических $\mathrm{B}$-сплайнов, наследуют множество их свойств, при этом имея ряд преимуществ. В частности, в работе найдены точные показатели гладкости тайловых сплайнов, которые в некоторых случаях превосходят гладкость классических. На их основе построены системы ортогональных всплесков и получены оценки на скорость их экспоненциального убывания. На примере алгоритмов детализации поверхности (subdivision schemes) показана эффективность тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов в приложениях, достигаемая в силу большей гладкости, быстрой сходимости и меньшего количества коэффициентов масштабирующего уравнения.Библиография: 55 наименований.

Об авторах

Татьяна Ивановна Зайцева

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет; Московский центр фундаментальной и прикладной математики

без ученой степени, без звания

Список литературы

  1. К. де Бор, Практическое руководство по сплайнам, Радио и связь, М., 1985, 304 с.
  2. И. Добеши, Десять лекций по вейвлетам, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 464 с.
  3. И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Теория всплесков, Физматлит, М., 2005, 613 с.
  4. P. Wojtaszczyk, A mathematical introduction to wavelets, London Math. Soc. Stud. Texts, 37, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, xii+261 pp.
  5. A. Yu. Shadrin, “The $L_{infty}$-norm of the $L_2$-spline projector is bounded independently of the knot sequence: a proof of de Boor's conjecture”, Acta Math., 187:1 (2001), 59–137
  6. C. de Boor, R. A. DeVore, A. Ron, “On the construction of multivariate (pre)wavelets”, Constr. Approx., 9:2-3 (1993), 123–166
  7. В. Ю. Протасов, “Фрактальные кривые и всплески”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:5 (2006), 123–162
  8. П. А. Терехин, “О наилучшем приближении функций в метрике $L_p$ полиномами по аффинной системе”, Матем. сб., 202:2 (2011), 131–158
  9. C. De Boor, K. Höllig, S. Riemenschneider, Box splines, Appl. Math. Sci., 98, Springer-Verlag, New York, 1993, xviii+200 pp.
  10. M. Charina, C. Conti, K. Jetter, G. Zimmermann, “Scalar multivariate subdivision schemes and box splines”, Comput. Aided Geom. Design, 28:5 (2011), 285–306
  11. D. Van de Ville, T. Blu, M. Unser, “Isotropic polyharmonic B-splines: scaling functions and wavelets”, IEEE Trans. Image Process., 14:11 (2005), 1798–1813
  12. V. G. Zakharov, “Elliptic scaling functions as compactly supported multivariate analogs of the B-splines”, Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process., 12:02 (2014), 1450018, 23 pp.
  13. S. Zube, “Number systems, $alpha$-splines and refinement”, J. Comput. Appl. Math., 172:2 (2004), 207–231
  14. J. Lagarias, Yang Wang, “Integral self-affine tiles in $mathbb{R}^n$. II. Lattice tilings”, J. Fourier Anal. Appl., 3:1 (1997), 83–102
  15. K. Gröchenig, A. Haas, “Self-similar lattice tilings”, J. Fourier Anal. Appl., 1:2 (1994), 131–170
  16. K. Gröchenig, W. R. Madych, “Multiresolution analysis, Haar bases, and self-similar tilings of $mathbb{R}^n$”, IEEE Trans. Inform. Theory, 38:2, Part 2 (1992), 556–568
  17. A. S. Cavaretta, W. Dahmen, C. A. Micchelli, Stationary subdivision, Mem. Amer. Math. Soc., 93, no. 453, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, vi+186 pp.
  18. E. Catmull, J. Clark, “Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes”, Comput.-Aided Des., 10:6 (1978), 350–355
  19. T. Zaitseva, TZZZZ/Tile_Bsplines
  20. C. A. Cabrelli, C. Heil, U. M. Molter, Self-similarity and multiwavelets in higher dimensions, Mem. Amer. Math. Soc., 170, no. 807, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, viii+82 pp.
  21. A. Krivoshein, V. Protasov, M. Skopina, Multivariate wavelet frames, Ind. Appl. Math., Springer, Singapore, 2016, xiii+248 pp.
  22. G. Strang, G. Fix, “A Fourier analysis of the finite element variational method”, Constructive aspects of functional analysis (Erice, 1971), C.I.M.E. Summer Schools, 57, Cremonese, 1973, 793–840
  23. C. de Boor, R. A. DeVore, A. Ron, “The structure of finitely generated shift-invariant spaces in $L_2(mathbb{R}^d)$”, J. Funct. Anal., 119:1 (1994), 37–78
  24. C. de Boor, R. Devore, A. Ron, “Approximation from shift-invariant subspaces of $L_2(mathbb{R}^d)$”, Trans. Amer. Math. Soc., 341:2 (1994), 787–806
  25. I. Kirat, Ka-Sing Lau, “On the connectedness of self-affine tiles”, J. London Math. Soc. (2), 62:1 (2000), 291–304
  26. C. Bandt, G. Gelbrich, “Classification of self-affine lattice tilings”, J. London Math. Soc. (2), 50:3 (1994), 581–593
  27. G. Gelbrich, “Self-affine lattice reptiles with two pieces in $mathbb{R}^n$”, Math. Nachr., 178 (1996), 129–134
  28. W. J. Gilbert, “Radix representations of quadratic fields”, J. Math. Anal. Appl., 83:1 (1981), 264–274
  29. R. F. Gundy, A. L. Jonsson, “Scaling functions on $mathbb{R}^2$ for dilations of determinant $pm 2$”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 29:1 (2010), 49–62
  30. C. Bandt, Combinatorial topology of three-dimensional self-affine tiles
  31. C. Bandt, “Self-similar sets. 5. Integer matrices and fractal tilings of $mathbb{R}^n$”, Proc. Amer. Math. Soc., 112:2 (1991), 549–562
  32. Xiaoye Fu, J.-P. Gabardo, Self-affine scaling sets in $mathbb R^2$, Mem. Amer. Math. Soc., 233, no. 1097, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, vi+85 pp.
  33. J. C. Lagarias, Yang Wang, “Haar type orthonormal wavelet bases in $mathbf{R}^2$”, J. Fourier Anal. Appl., 2:1 (1995), 1–14
  34. T. Zaitseva, “Haar wavelets and subdivision algorithms on the plane”, Adv. Syst. Sci. Appl., 17:3 (2017), 49–57
  35. V. G. Zakharov, “Rotation properties of 2D isotropic dilation matrices”, Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process., 16:1 (2018), 1850001, 14 pp.
  36. Т. И. Зайцева, В. Ю. Протасов, “Самоподобные 2-аттракторы и тайлы”, Матем. сб., 213:6 (2022), 71–110
  37. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, т. 1, 2, 4-е стереотип. изд., Лань, СПб., 2004, 336 с., 464 с.
  38. M. Charina, V. Yu. Protasov, “Regularity of anisotropic refinable functions”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 47:3 (2019), 795–821
  39. M. Charina, Th. Mejstrik, “Multiple multivariate subdivision schemes: matrix and operator approaches”, J. Comput. Appl. Math., 349 (2019), 279–291
  40. М. Г. Крейн, М. А. Рутман, “Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха”, УМН, 3:1(23) (1948), 3–95
  41. В. Ю. Протасов, “Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход”, Изв. РАН. Сер. матем., 61:5 (1997), 99–136
  42. V. D. Blondel, Yu. Nesterov, “Computationally efficient approximations of the joint spectral radius”, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 27:1 (2005), 256–272
  43. V. D. Blondel, S. Gaubert, J. N. Tsitsiklis, “Approximating the spectral radius of sets of matrices in the max-algebra is NP-hard”, IEEE Trans. Automat. Control, 45:9 (2000), 1762–1765
  44. N. Guglielmi, V. Protasov, “Exact computation of joint spectral characteristics of linear operators”, Found. Comput. Math., 13:1 (2013), 37–97
  45. T. Mejstrik, “Algorithm 1011: improved invariant polytope algorithm and applications”, ACM Trans. Math. Software, 46:3 (2020), 29, 26 pp.
  46. P. Oswald, “Designing composite triangular subdivision schemes”, Comput. Aided Geom. Design, 22:7 (2005), 659–679
  47. P. Oswald, P. Schröder, “Composite primal/dual $sqrt{3}$-subdivision schemes”, Comput. Aided Geom. Design, 20:3 (2003), 135–164
  48. Qingtang Jiang, P. Oswald, “Triangular $sqrt 3$-subdivision schemes: the regular case”, J. Comput. Appl. Math., 156:1 (2003), 47–75
  49. Т. И. Зайцева, “Простые тайлы и аттракторы”, Матем. сб., 211:9 (2020), 24–59
  50. M. Charina, C. Conti, T. Sauer, “Regularity of multivariate vector subdivision schemes”, Numer. Algorithms, 39:1-3 (2005), 97–113
  51. N. Dyn, D. Levin, “Subdivision schemes in geometric modelling”, Acta Numer., 11 (2002)
  52. V. Protasov, “The stability of subdivision operator at its fixed point”, SIAM J. Math. Anal., 33:2 (2001), 448–460
  53. C. Conti, K. Jetter, “Concerning order of convergence for subdivision”, Numer. Algorithms, 36:4 (2004), 345–363
  54. A. Cohen, K. Gröchenig, L. F. Villemoes, “Regularity of multivariate refinable functions”, Constr. Approx., 15:2 (1999), 241–255
  55. D. Mekhontsev, IFStile software

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Зайцева Т.И., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».