Том 87, № 2 (2023)

We consider the problem of simultaneous approximation of real numbers $\theta_1,…,\theta_n$ by rationals and the dual problem of approximating zero by the values of the linear form $x_0+\theta_1x_1+…+\theta_nx_n$ at integer points. In this setting we analyse two transference inequalities obtained by Schmidt and Summerer. We present a rather simple geometric observation which proves their result. We also derive several previously unknown corollaries. In particular, we show that, together with German's inequalities for uniform exponents, Schmidt and Summerer's inequalities imply the inequalities by Bugeaud and Laurent and “one half” of the inequalities by Marnat and Moshchevitin. Moreover, we show that our main construction provides a rather simple proof of Nesterenko's linear independencecriterion.Bibliography: 19 titles.

Тайловые $\mathrm{B}$-сплайны в $\mathbb R^d$ определяются как автосвертки характеристических функций тайлов – специальных самоподобных компактов, замощающих пространство $\mathbb R^d$ параллельными сдвигами. Эти функции не кусочно полиномиальны, однако, являясь прямым обобщением классических $\mathrm{B}$-сплайнов, наследуют множество их свойств, при этом имея ряд преимуществ. В частности, в работе найдены точные показатели гладкости тайловых сплайнов, которые в некоторых случаях превосходят гладкость классических. На их основе построены системы ортогональных всплесков и получены оценки на скорость их экспоненциального убывания. На примере алгоритмов детализации поверхности (subdivision schemes) показана эффективность тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов в приложениях, достигаемая в силу большей гладкости, быстрой сходимости и меньшего количества коэффициентов масштабирующего уравнения.Библиография: 55 наименований.

Доказаны новые одномерные неравенства типа Харди для весовой функции вида $x^\alpha(2-x)^\beta$ при положительных и отрицательных значениях параметров $\alpha$ и $\beta$. В некоторых случаях константы в полученных одномерных неравенствах являются точными. Одномерные неравенства с дополнительными слагаемыми используются при обосновании многомерных неравенств с весовыми функциями, зависящими от степеней расстояния в среднем или функции расстояния до границы области. Пространственные неравенства доказываются в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях. Константа перед дополнительным слагаемым в пространственном неравенстве зависит от объема или диаметра области. Как следствие этих многомерных неравенств в различных классах областей установлены оценки для первого собственного значения лапласиана при граничных условиях Дирихле. Одномерные неравенства также применяются при получении новых классов однолистных мероморфных в односвязных областях функций. Ослаблены известные достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного.Библиография: 36 наименований.

Исправления к статьям: В. А. Краснов, “Вещественное отображение Плюккера–Клейна”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:3 (2022), 47–104; И. А. Панин, “О расширенной форме гипотезы Гротендика–Серра”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:4 (2022), 175–191; С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для компактификаций моделей Нерона $4$-мерных абелевых многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:4 (2022), 192–232.