Logistic equation with long delay feedback

1. Введение. Постановка задачи

 Логистическое уравнение с запаздыванием

$\dot{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-ru\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>1}+u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (1)

 возникает в задачах математической экологии, биофизики, оптики и лазерной физики [1$–$4]. Здесь $𝑟>0$ $—$ мальтузианский коэффициент, и для решений уравнения (1) выполнено неравенство $u\left(t\right)\ge -1.$ При условии

$0<r<\frac{\pi }{2}$ (2)

нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, а при $r>\pi /2$ $—$ неустойчиво, и в (1) имеется устойчивый цикл. Асимптотика решения при $r\gg 1$ приведена в работах [4, 5].

В данной статье рассмотрим ситуацию, когда выполняется условие (2) и уравнение (1) содержит сильно запаздывающую обратную связь

$\dot{u(}t)=-ru(t-1\left)\right[1+u\left(t\right)]+au(t-T), T\gg \mathrm{1,}$ (3)

а, значит, величина $\epsilon =T^{-1}$ является малым параметром:

$0<\epsilon \ll 1.$ (4)

Роль большого запаздывания интересна. С одной стороны, результаты, полученные для больших значений $T$, позволяют сформулировать выводы о тенденциях изменения динамики при увеличении запаздывания, а с другой, как оказалось, $—$ удаётся в явном виде получить значения параметров, определяющих динамические свойства исходного уравнения и сформулировать аналитические результаты.

Удобно в уравнении (3) провести нормировку времени $t\to Tt\mathrm{.}$ В результате получим сингулярно возмущённое уравнение с малым параметром при производной

$\epsilon \dot{u(}t)+ru(t-\epsilon \left)\right[1+u\left(t\right)]=au(t-1).$ (5)

Отметим, что вырожденное при $\epsilon =0$ уравнение не даёт информации о поведении решений. Тем не менее идеи и методы теории сингулярных возмущений [6$–$8] будут существенно применяться.

При выполнении условия (4) исследуем поведение всех решений уравнения (5) с начальными условиями из некоторой достаточно малой окрестности в пространстве $C\left(\right[-1,0\left]\right)$ нулевого состояния равновесия.

При изучении решений из окрестности нулевого состояния равновесия важное значение имеют линеаризованное уравнение

$\epsilon \left(t\right)+ru(t-\epsilon )=au(t-1)$

и расположение корней характеристического квазиполинома этого уравнения:

$\epsilon \lambda +r{e}^{-\epsilon }=a{e}^{-\lambda }\mathrm{.}$ (6)

В силу неравенств (2) при $a=0$ все корни (6) имеют отрицательные вещественные части. Покажем, что найдётся такое значение $a=a_0>0,$ что при малых $\epsilon$ и $\left|a\right|<a_0$ все корни (6) имеют отрицательные вещественные части, а при условиях (4) и $\left|a\right|>a_0$ есть корень уравнения (6) с положительной вещественной частью. При $a=a_0$ будет реализован критический случай в задаче об устойчивости, когда нет корней с положительной и отделённой от нуля вещественной частью, но есть корень, вещественная часть которого стремится к нулю при $\epsilon \to 0.$

В п. 2 будет найдено значение $a_0$ и показано, что в критическом случае бесконечно много корней уравнения (6) стремятся к мнимой оси при $\epsilon \to 0.$ Это означает, что критический случай имеет бесконечную размерность. Известные методы локального анализа, основанные на применении теории инвариантных интегральных многообразий [9, 10] и нормальных форм [11], здесь оказываются не применимы. Исследования будут опираться на методы бесконечной нормализации, развитые в работах [12$–$14]. Отметим, что после публикации статей [15$–$18] уравнения с большим запаздыванием изучались с теоретической и прикладной точек зрения во многих работах (см., например, [19$–$24]).

2. Линейный анализ

Положив в (6) $\lambda =i{\epsilon }^{-1}\omega \mathrm{,}$ получим равенство

$P\left(i\omega \right)=a \exp \{-i{\epsilon }^{-1}\omega \},$

 где $P\left(i\omega \right)=i\omega +r \exp \{-i\omega \}.$ Пусть $P\left(i\omega \right)=\rho \left(\omega \right)\exp \left\{i\Omega \right(\omega \left)\right\},$ $\left|P\left(i\omega \right)\right|=\rho \left(\omega \right)$ Обозначим через ${\rho }_0$ наименьшее значение $\rho \left(\omega \right)$ т. е.

${\rho }_0=\underset{\omega }{\min } \rho \left(\omega \right)=\rho \left({\omega }_0\right).$

 Отметим, что ${\omega }_0=0$ при $0<r\le 1/2$ и ${\omega }_0>0$ при $1/2<r<\pi /2$. Кроме того, имеем ${\rho }_0=0$ при $r=0$ и $r=\pi /2$. Сформулируем одно простое утверждение.

Лемма 1. Пусть выполнено условие (2) и для некоторого фиксированного параметра $a$ имеет место неравенство $\left|a\right|<{\rho }_0\mathrm{.}$ Тогда при достаточно малых $\epsilon$ вещественные части всех корней уравнения (6) отрицательны и отделены от нуля при $\epsilon \to 0.$

Если же $\left|a\right|>{\rho }_0,$ то при достаточно малых $\epsilon$ найдётся корень (6), вещественная часть которого положительна и отделена от нуля при $\epsilon \to 0.$ 

Обоснование первого утверждения леммы сразу следует из определения величины ${\rho }_0\mathrm{.}$ Для обоснования второго утверждения сначала введём обозначение: через $\theta =\theta \left(\epsilon \right)\in [0,2\pi )$ будем обозначать такое значение, которое дополняет до целого кратного $2\pi$ выражение ${\omega }_0{\epsilon }^{-1}\mathrm{.}$ Отметим, что при ${\omega }_0=0$ значение $\theta =0$ Тогда просто показать, используя теорию возмущений, что уравнение (6) имеет корень $\lambda \left(\epsilon \right)$ для которого верна асимптотика

$\lambda \left(\epsilon \right)={\lambda }_0+i({\omega }_0{\epsilon }^{-1}+\theta -\Omega (\omega \left)\right)+O\left(\epsilon \right),$

 где ${\lambda }_{0=}\ln \left(a{\rho }_0^{-1}\right)>0.$

Исследования в случаях $a>0$ и $a<0$ не различаются, поэтому достаточно ограничиться изучением случая $a>0.$

Из леммы 1 вытекает, что при $0\le a<{\rho }_0$ локальная динамика решений (3) тривиальна: все решения из некоторой окрестности нулевого состояния равновесия стремятся к нулю при $t\to \infty \mathrm{,}$ а в случае $a>{\rho }_0$ задача о динамике перестаёт быть локальной.

Рассмотрим критический случай, когда для произвольного фиксированного значения ${\rho }_1$ выполняется равенство

$a={\rho }_0+{\epsilon }^2{\rho }_1\mathrm{.}$ (7)

 В этом случае нет корня уравнения (6), вещественная часть которого положительна и отделена от нуля при $\epsilon \to \mathrm{0,}$ но есть корни, вещественные части которых стремятся к нулю при $\epsilon \to 0.$

Найдём асимптотику всех тех корней (6), которые стремятся к мнимой оси при $\epsilon \to 0.$ 

Лемма 2. Пусть выполнены условия (2), (4) и (7). Тогда уравнение (6) имеет бесконечно много корней ${\lambda }_n\left(\epsilon \right)$, $n\mathrm{<mo>=</mo>0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\dots \mathrm{,}$ вещественные части которых стремятся к нулю при $\epsilon \to \mathrm{0,}$ и справедливы асимптотические равенства

${\lambda }_n\left(\epsilon \right)=i{\omega }_0+\epsilon i(\theta -\Omega ({\omega }_0)+2\pi n)+{\epsilon }^2{\lambda }_{1n}+{\epsilon }^3{\lambda }_{2n}+\dots \mathrm{,}$

где

${\lambda }_{1n}=-i{\Omega }^{\text{'}}\left({\omega }_0\right)(\theta -\Omega ({\omega }_0)+2\pi n),$

${\lambda }_{2n}=-\frac{1}{2}\left({\rho }^{\text{'}\text{'}}\right({\omega }_0){\rho }_0^{-1}+i{\Omega }^{\text{'}\text{'}}({\omega }_0\left)\right)(\theta -\Omega {\left({\omega }_0\right)+2\pi n)}^2+i{\left({\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\right))}^2(\theta -\Omega \left({\omega }_0\right)+2\pi n)+{\rho }_1{\rho }_0^{-1}\mathrm{.}$

Обоснование этой леммы основано на применении стандартных методов теории возмущений. Отметим, что $\rho \left(0\right)=r\mathrm{,}$ ${\rho }^{\text{'}}\left(0\right)=0,$ ${\rho }^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=(1-2r)r^{-1}\mathrm{,}$ ${\Omega }^{\text{'}}\left(0\right)=(1-r)r^{-1}.$

Каждому корню ${\lambda }_n\left(\epsilon \right)$ уравнения (6) отвечает решение Эйлера линеаризованного уравнения

$u_n\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=\exp \left\{{\lambda }_n\right(\epsilon \left)t\right\},$

а значит, решениями линеаризованного уравнения являются семейства функций

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=\sum _{n-\infty }^{\infty }{\xi }_n{u}_n\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=\sum _{n-\infty }^{\infty }{\xi }_n\exp \left\{{\lambda }_n\right(\epsilon \left)t\right\}$ (8)

при произвольных значениях коэффициентов ${\xi }_n\mathrm{.}$ Преобразуем выражение (8):

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=E\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)\sum _{n-\infty }^{\infty }{\xi }_n\left(\tau \right)\exp \left\{i2\pi nx\right\}=E\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right).$ (9)

Здесь $\tau ={\epsilon }^{2}t\mathrm{,}$ $x=(1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right)t\mathrm{,}$ ${\xi }_n\left(\tau \right)={\xi }_n\exp \left\{{\lambda }_{2n}+O\left(\epsilon \right))\tau \right\}$ $—$ коэффициенты Фурье функции $\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$. Важно отметить, что функция $\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$ $1$ -периодична по $x\mathrm{,}$ 

$E\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=\exp \left\{i\left({\omega }_0+\epsilon (\theta -\Omega ({\omega }_0\left)\right)-{\epsilon }^2{\Omega }^{\text{'}}\left({\omega }_0\right)(\theta -\Omega ({\omega }_0\right)\left)\right)t\right\}\mathrm{.}$ (10)

Представление (10) следует непосредственно из (8) и из приведённой в лемме асимптотики корней ${\lambda }_n\left(\epsilon \right)$.

Основываясь на (9), решения нелинейного уравнения (3) тоже будем искать в виде

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=\epsilon \left(E\right(t\mathrm{,}\epsilon \left)\xi \right(\tau \mathrm{,}x)+\overline{cc})+{\epsilon }^2\left(u_{20}\right(\tau \mathrm{,}x)+u_{21}(\tau \mathrm{,}x\left)E^2\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc})+$

$+{\epsilon }^3\left(u_{31}\right(\tau \mathrm{,}x\left)E\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc}+u_{32}(\tau \mathrm{,}x\left)E^3\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc})+\dots$ (11)

В (11) и ниже через $\overline{cc}$ обозначаем выражение, комплексно-сопряжённое к предыдущему слагаемому.

3. Построение квазинормальных форм

Для построения асимптотики решений нелинейного уравнения (3) будем опираться на представление (11) “критических” решений линеаризованного уравнения. Рассмотрим отдельно случаи $0<r<1/2$ и $1/2<r<\pi /2.$ Эти два случая принципиально отличаются друг от друга.

3.1. Построение квазинормальной формы при $\mathrm{0<mo><</mo>}r\mathrm{<mo><</mo>1<mo>/</mo>2}$

При условии $0<r<1/2$ выполнены равенства ${\omega }_0=0$, $\Omega \left({\omega }_0\right)=0,$ ${\rho }_0=1$. Тогда из (10) следует, что $E\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)\equiv \mathrm{1,}$ поэтому решения нелинейного уравнения (3) будем искать в виде

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)={\epsilon }^2\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)+{\epsilon }^4{u}_2\left(\tau \mathrm{,}x\right)+\dots$ (12)

Здесь учитываем, что

$\frac{d\xi }{dt}={\epsilon }^2\frac{\partial \xi }{\partial \tau }+(1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right)\frac{\partial \xi }{\partial x}\mathrm{,}$

$\xi {|}_{t-\epsilon }=\xi \left(\tau -{\epsilon }^3\mathrm{,}x-\epsilon (1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right)\right)=-{\epsilon }^3{\xi }_{\tau }^{\text{'}}-\epsilon (1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right){\xi }_x^{\text{'}}+\frac{1}{2}{\epsilon }^2(1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right){\xi }_{xx}^{\text{'}\text{'}}+O\left({\epsilon }^3\right),$

$\xi {|}_{t-1}=\xi (\tau -{\epsilon }^2\mathrm{,}x-(1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}\left({\omega }_0\right)\left)\right)=\xi (\tau -{\epsilon }^2\mathrm{,}x+\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right).$

Подставим формальное выражение (12) в (3) и соберём коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon \mathrm{.}$ На первом шаге, собирая коэффициенты при ${\epsilon }^2\mathrm{,}$ получаем верное равенство. На следующем шаге, собирая коэффициенты при ${\epsilon }^4\mathrm{,}$ приходим к соотношению

$\frac{\partial \xi }{\partial \tau }=\frac{1}{2}\frac{1-2r^2}{r^2}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}+\frac{1-r^2}{r^2}\frac{\partial \xi }{\partial x}+\frac{{\rho }_1}{r}\xi -{\xi }^2\mathrm{.}$ (13)

Для неизвестной функции $\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$ выполнены краевые условия

$\xi (\tau \mathrm{,}x+1)\equiv \xi \left(\tau \mathrm{,}x\right).$ (14)

Отсюда вытекает следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4), $0<r<1/2,$ $a=r+{\epsilon }^2{\rho }_1\mathrm{.}$ Пусть $\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$ $—$ ограниченное при $\tau \to \infty \mathrm{,}$ $x\in [0,1],$ решение краевой задачи (13), (14). Тогда функция

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)={\epsilon }^2\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$

удовлетворяет уравнению (3) с точностью до $O\left({\epsilon }^4\right).$ 

Это утверждение означает, что краевая задача (13), (14) является квазинормальной формой в рассматриваемом случае.

3.2. Построение квазинормальной формы при $\mathrm{1<mo>/</mo>2<mo><</mo>}r\mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}$

Подставим в уравнение (3) вместо $u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)$ функцию (11) и будем последовательно приравнивать в получившемся формальном тождестве коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon \mathrm{.}$ При первой степени $\epsilon$ получаем верное равенство, а собирая коэффициенты при ${\epsilon }^2\mathrm{,}$ приходим к уравнениям для определения $u_{20}\left(\tau \mathrm{,}x\right)$ и $u_{21}\left(\tau \mathrm{,}x\right)$:

$\left({\rho }_0\right(\omega )-r)u_{20}=2r \cos \Omega \left({\omega }_0\right)|\xi {|}^2\mathrm{,}$

$(2i{\omega }_0+r \exp \{-2i\omega \left\}\right)u_{21}={\xi }^2{E}^2\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)\exp \left\{i\Omega \right({\omega }_0\left)\right\}.$

Отсюда получаем, что

$u_{20}\left(\tau \mathrm{,}x\right)=U_{20}\left|\xi \right(\tau \mathrm{,}x){|}^2\mathrm{,} U_{20}=2r \cos \Omega ({\omega }_0),$

$u_{21}\left(\tau \mathrm{,}x\right)=U_{21}{\xi }^2\left(\tau \mathrm{,}x\right)E^2\left(t\mathrm{,}\epsilon \right), U_{21}={(2i{\omega }_0+r \exp \{-2i{\omega }_0\left\}\right)}^{-1}\exp \left\{i\Omega \right({\omega }_0\left)\right\}.$

Сделаем ещё один шаг. Соберём коэффициенты при ${\epsilon }^3\mathrm{.}$ В итоге получим уравнения относительно $u_{31}\left(\tau \mathrm{,}x\right)$ и $u_{32}\left(\tau \mathrm{,}x\right)$ Функция $u_{32}\left(\tau \mathrm{,}x\right)$ определяется просто, явное выражение для неё опустим. Для разрешимости уравнения относительно $u_{31}\left(\tau \mathrm{,}x\right)$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

$\frac{\partial \xi }{\partial \tau }=B_1\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}+B_2\frac{\partial \xi }{\partial x}+B_3\xi +\sigma \xi |\xi {|}^2\mathrm{,}$ (15)

где

$B_1=\frac{1}{2}\left({\rho }^{\text{'}\text{'}}\right({\omega }_0){\rho }_0^{-1}+i{\Omega }^{\text{'}\text{'}}({\omega }_0),$

$B_2=({\Omega }^{\text{'}}{\left({\omega }_0\right)}^2+2i{B}_1(\theta -\Omega \left({\omega }_0\right),$

$B_3={\rho }_1{\rho }_0^{-1}-B_1{(\theta -\Omega ({\omega }_0\left)\right)}^2+i{\left({\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\right))}^2(\theta -\Omega ({\omega }_0\left)\right),$

$\sigma =(1+\exp \{-i\Omega \left({\omega }_0\right)\left\}\right)U_{20}+\left(\exp \right\{-2i\Omega \left({\omega }_0\right)\}+\exp \{i\Omega \left({\omega }_0\right)\left\}\right)U_{21}\mathrm{.}$

Функция $\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$ удовлетворяет периодическим краевым условиям

$\xi (\tau \mathrm{,}x+1)\equiv \xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$. (16)

Через ${\epsilon }_n\left({\theta }_0\right)$ обозначим такую последовательность ${\epsilon }_n={\epsilon }_n\left({\theta }_0\right)\to \mathrm{0,}$ что $\theta \left({\epsilon }_n\right)={\theta }_0\mathrm{.}$ Напомним, что $\tau ={\epsilon }^{2}t\mathrm{,}$ $x=(1-\epsilon {\Omega }^{\text{'}}({\omega }_0\left)\right)t\mathrm{.}$

Сформулируем итоговое утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены неравенства $1/2<r<\pi /2$ и условия (4) и (7). Фиксируем произвольно $\theta ={\theta }_0\in [0,2\pi ].$ Пусть $\xi \left(\tau \mathrm{,}x\right)$ $—$ ограниченное при $\tau \to \infty \mathrm{,}$ $x\in [0,1],$ решение краевой задачи (15), (16) при $\theta ={\theta }_0\mathrm{.}$ Тогда функция

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)=\epsilon \left(\xi \right(\tau \mathrm{,}x\left)E\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc})+{\epsilon }^2\left(u_{20}\right(\tau \mathrm{,}x)+u_{21}(\tau \mathrm{,}x\left)E^2\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc})+$

$+{\epsilon }^3\left(u_{31}\right(\tau \mathrm{,}x\left)E\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc}+u_{32}(\tau \mathrm{,}x\left)E^3\right(t\mathrm{,}\epsilon )+\overline{cc})$

удовлетворяет на последовательности ${\epsilon }_n={\epsilon }_n\left({\theta }_0\right)$ уравнению (3) с точностью до $O\left({\epsilon }_n^4\right).$

Теорема 2 утверждает, что краевая задача (15), (16) в рассматриваемом случае является квазинормальной формой для уравнения (3).

3.3. Построение квазинормальной формы при $r=\pi /2$

Коротко изучим решение уравнения (3) при условии $r=\pi /2$ Имеем равенство ${\rho }_0=0.$ Пусть $a=\epsilon {\rho }_1\mathrm{.}$ В этом случае уравнение (3) принимает вид

$\dot{u(}t)+\frac{\pi }{2}u(t-1)+\frac{\pi }{2}u(t\left)u\right(t-1)=\epsilon {\rho }_{1}u(t-{\epsilon }^{-1}).$

Линеаризованное в нуле уравнение имеет характеристический квазиполином

$\lambda +\frac{\pi }{2}{e}^{-\lambda }=\epsilon {\rho }_1{e}^{-{\epsilon }^{-1}\lambda }\mathrm{,}$

у которого бесконечно много корней ${\lambda }_n\left(\epsilon \right)$ и ${\overline{\lambda }}_n\left(\epsilon \right)$ $(n\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\dots )$ стремятся к мнимой оси при $\epsilon \to 0.$ Легко проверяется, что

${\lambda }_n\left(\epsilon \right)=i\frac{\pi }{2}+\epsilon (\theta +{\lambda }_{1n})+\dots \mathrm{,}$

а значения ${\lambda }_{1n}$ находятся из уравнения

$\left(1-i\frac{\pi }{2}\right)({\lambda }_1+\theta )={\rho }_1{e}^{-\lambda }\mathrm{.}$

Здесь величина $\theta =\theta \epsilon \in [0,2\pi )$ дополняет до целого кратного $2\pi$ значение $\pi {\left(2\epsilon \right)}^{-1}\mathrm{.}$

Решение нелинейного уравнения (3) ищем в виде

$u\left(t\mathrm{,}\epsilon \right)={\epsilon }^{1/2}\left(\xi \right(\tau )e^{it}+\overline{cc})+\epsilon u_2\left(t\mathrm{,}\tau \right)+{\epsilon }^{3/2}{u}_3\left(t\mathrm{,}\tau \right)+\dots \mathrm{,}$ (17)

где $\tau =\epsilon t\mathrm{,}$ а функции $u_{\mathrm{2,3}}\left(t\mathrm{,}\tau \right)$ 4-периодичны по первому аргументу. Подставляя (17) в (3) и совершая стандартные действия, на третьем шаге получаем уравнение для определения неизвестной амплитуды $\xi \left(\tau \right)$: 

$\left(1-i\frac{\pi }{2}\right)\frac{\partial \xi }{\partial \tau }=-\theta \xi +{\rho }_1{e}^{-i{\epsilon }^{-1}}\xi (\tau -1)+\sigma \xi |\xi {|}^2\mathrm{,}$    (18)

в котором

$\sigma =-\frac{\pi }{2}\left(3\pi -2+i(\pi +6)\right){\left(10\left(1+\frac{4}{{\pi }^2}\right)\right)}^{\text{}-1}\mathrm{.}$

Это уравнение с запаздыванием, равным единице, является квазинормальной формой в рассматриваемом случае. Его решение определяет главные члены асимптотического разложения решений нелинейного уравнения (3).

Заключение

Показано, что бесконечно много корней характеристического квазиполинома линеаризованного уравнения стремятся к мнимой оси при $\epsilon \to 0.$ Реализуются бесконечномерные резонансные соотношения $\mathrm{1<mo>:</mo>1<mo>:</mo>1<mo>:</mo>}\dots \mathrm{,}$ поскольку главные члены асимптотики корней ${\lambda }_n\left(\epsilon \right)$ одни и те же:

${\lambda }_n\left(\epsilon \right)=i({\omega }_0{\epsilon }^{-1}+\theta )(1+O(\epsilon \left)\right).$

 Отсюда следует, что критические случаи имеют бесконечномерную размерность.

С применением методов бесконечномерной нормализации построены квазинормальные формы $—$ специальные нелинейные краевые задачи, которые определяют главные члены асимптотических разложений решений исходного логистического уравнения. Этими квазинормальными формами являются нелинейные задачи параболического типа (13), (14) и (15), (16) и уравнение с запаздыванием (18). При условии $0<r<1/2$ динамика квазинормальной формы тривиальна: все решения стремятся к состоянию равновесия при $t\to \infty \mathrm{.}$ При $1/2<r<\pi /2$ ситуация иная. Структура решений соответствующей квазинормальной формы может быть сложной, поскольку эта форма представляет собой комплексное уравнение Гинзбурга$–$Ландау с периодическими граничными условиями. Известно, что уравнения типа Гинзбурга$–$Ландау могут иметь и нерегулярную динамику, и много различных аттракторов, и т. д.

Рассмотрены динамические свойства решений при значениях параметра $r\mathrm{,}$ близкого к $\pi /2.$ Для этого случая показано, что квазинормальной формой является нелинейное уравнение с (конечным) запаздыванием. Динамика таких уравнений тоже может отличаться сложностью, например, может существовать бесконечное число различных циклов.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-71-30011).

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор данной работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.