Том 216, № 5 (2025)

Цель работы – продемонстрировать, как понятия, методы и результаты из геометрии Нийенхейса могут быть использованы для изучения геодезически эквивалентных метрик. Мы предлагаем новый способ изложения и доказательства многих фактов классической теории геодезически эквивалентных метрик, а также разрабатываем методы для ее дальнейшего развития.Библиография: 33 названия.

В недавней работе [5] было доказано, что если биллиард в выпуклой области в $\mathbb{R}^n$ является одновременно проективным биллиардом и биллиардом Минковского, то он является стандартным евклидовым биллиардом в подходящей евклидовой структуре. Приведенное доказательство достаточно сложно и предполагает гладкость высоких порядков. Здесь мы даем прямое и простое доказательство этого результата, которое работает в предположении $C^1$-гладкости. Дополнительно мы приводим доказательство полулокальной и локальной версий данного результата.Библиография: 15 названий.

Хорошо известно, что любое аналитическое векторное поле вблизи особой точки допускает нормализацию Пуанкаре–Биркгофа, однако эта нормализация в общем случае является лишь формальной, а задача о ее сходимости сложна. В [26], [27] мы предложили новый подход к нормализации векторных полей через внутренние ассоциированные действия тора: аналитическое векторное поле аналитически нормализуемо вблизи особой точки в том и только том случае, когда его ассоциированное действие аналитично (а не просто формально). Затем мы показали, что если векторное поле аналитически интегрируемо, то его ассоциированное действие тора аналитично, поэтому такое векторное поле аналитически нормализуемо [26], [27]. В настоящей работе мы обобщили этот результат (об аналитической нормализации) на случай рационально интегрируемых систем, первые интегралы и коммутирующие векторные поля которых не обязательно являются аналитическими, а являются только рациональными (т.е. отношениями аналитических функций или покомпонентными отношениями аналитических векторных полей). Например, любое векторное поле вида $X=fY$, где $Y$ – аналитически диагонализуемое векторное поле, а $f$ – аналитическая функция такая, что $Y(f)=0$, является рационально интегрируемым, но не обязательно аналитически интегрируемым.Библиография: 31 название.

Обсуждается вариационный принцип Мопертюи для лагранжевых систем с линейным по обобщенным скоростям лагранжианом. В частности, сюда относятся гамильтоновы системы в представлении Пуанкаре–Гельмгольца. Развиваемый подход позволяет указать новый вариационный принцип для лагранжевых систем с вырожденным по скоростям лагранжианом. При выводе этого вариационного принципа используется обобщенный гамильтонов формализм Дирака.Библиография: 15 названий.