Том 78, № 2 (2023)

Обзорная статья посвящена ряду достижений в области экстремальных проблем геометрической теории функций. В основе методов и подходов к решению рассматриваемых проблем лежат конформные изоморфизмы, а также теория однолистных функций, развивавшаяся с начала XX в. Приведены результаты по интегральным средним конформных отображений круга, в частности, дано распространение неравенства Е. П. Долженко для рациональных функций на случай произвольных областей со спрямляемыми границами. Описаны исследования в области неравенств типа Бора. Особо выделены интегральные неравенства типа Харди и Реллиха, в которых аналитические свойства неравенств тесно переплетаются с геометрическими характеристиками границ областей. Представлены результаты, касающиеся решения задачи Вуоринена о поведении конформных модулей при неограниченном растяжении плоскости. Получены формулы для вариации емкостей Робена. Охарактеризованы однопараметрические семейства рациональных и эллиптических функций, критические значения которых изменяются по заданному закону. Описаны также последние результаты по гипотезе Смейла, а также дуальной гипотезе Смейла. Библиография: 149 названий.

Найдены интегралы движения для недавно введенной деформированной многочастичной системы Руйсенарса–Шнайдера, которая является динамической системой для полюсов эллиптических решений решетки Тоды со связью типа B. Наш метод основан на том факте, что уравнения движения этой системы совпадают с уравнениями движения для частиц Руйсенарса–Шнайдера, слипающихся в пары, в которых расстояние между частицами фиксировано и принимает специальное значение. Также для деформированной системы Руйсенарса–Шнайдера найдены преобразования Бэклунда и интегрируемая версия этой системы в дискретном времени. Показано, что эта последняя является динамической системой для полюсов эллиптических решений полностью дискретного уравнения Кадомцева–Петвиашвили типа B. Кроме того, предложен полевой аналог деформированной системы Руйсенарса–Шнайдера на пространственно-временной решетке. Библиография: 35 названий.