Том 75, № 5 (2020)

В обзоре излагаются результаты об устойчивости уединенных волн возвышения в осесимметричных упругих мембранных трубках, заполненных жидкостью. Материал упругой трубки характеризуется упругим потенциалом (упругой энергией), нелинейно зависящим от главных деформаций и описывающим податливые упругие среды. В обзоре используется простая модель невязкой несжимаемой жидкости, которая тем не менее позволяет отследить основные закономерности динамики уединенных волн. К одной из таких закономерностей относится спектральная устойчивость (линейная устойчивость по форме) этих волн. Формулируются основные уравнения системы “осесимметричная трубка–идеальная жидкость”, причем в уравнениях для жидкости производится осреднение по поперечному сечению трубки, т. е. рассматривается квазиодномерное течение с волнами, длина которых существенно превосходит радиус трубки. Изучение спектральной устойчивости относительно осесимметричных возмущений производится при помощи построения функции Эванса для линеаризованной вокруг решения типа уединенной волны системы основных уравнений. Функция Эванса зависит только от спектрального параметра $\eta$ и аналитична в правой комплексной полуплоскости $\Omega^+$, а ее нули в $\Omega^+$ совпадают с неустойчивыми собственными значениями. Рассматриваются задачи об устойчивости неподвижных уединенных волн в случае отсутствия жидкости внутри трубки (случай постоянного внутреннего давления), в том числе и для локальной неоднородности (утончения) стенки трубки, в случаях неподвижной жидкости, заполняющей трубку (случай нулевого среднего течения), и движущейся жидкости, а также задачи об устойчивости бегущих уединенных волн, распространяющихся вдоль трубки с ненулевой скоростью. Библиография: 83 названия.

Показано, что пуассонова скобка на множестве координат смещений, введенная В. В. Фоком в 1997 г., индуцирует скобку Фенхеля–Нильсена на множестве параметров склеек (параметров длин и скруток) для разрезаний на штаны римановых поверхностей с дырками $\Sigma_{g,s}$. Эти структуры обобщаются на случай римановых поверхностей $\Sigma_{g,s,n}$ с дырками и граничными каспами. Библиография: 49 названий.