Открытый доступ Доступ закрыт

Доступ предоставлен Доступ закрыт

Только для подписчиков

Том 80, № 6 (2025)

Год: 2025
Статей: 13
URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/issue/view/24436

Весь выпуск

Открытый доступ
Доступ закрыт

Доступ предоставлен
Доступ закрыт

Только для подписчиков

Регулярность решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова

Богачев В.И., Шапошников С.В.

Аннотация

В работе дан обзор свойств регулярности решений уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова эллиптического и параболического типов. Обсуждаются условия существования плотностей решений, локальные свойства этих плотностей типа ограниченности, непрерывности, гёльдеровости, соболевской непрерывности, а также глобальные свойства типа оценок на всем пространстве, высокой интегрируемости и принадлежности к классам Соболева на всем пространстве. Приведены также новые результаты о свойствах решений в случае коэффициентов низкой регулярности.
Библиография: 101 название.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2025;80(6):3-44

3-44

(Rus)

(JATS XML)

Сходимость многослойного персептрона к гистограммной байесовской регрессии

Елисеев Н.А., Перминов А.И., Турдаков Д.Ю.

Аннотация

Рассматривается задача повышения интерпретируемости и обоснованности решений байесовского классификатора при аппроксимации эмпирических данных с использованием многослойного персептрона. Гистограммная регрессия сохраняет прозрачность и статистическую интерпретацию, но ограничена требованиями к памяти ($O(n)$) и низкой масштабируемостью, тогда как многослойный персептрон обеспечивает эффективное по памяти представление ($O(1)$) и высокую вычислительную эффективность при ограниченной интерпретируемости.
Особое внимание уделено унарной схеме обучения, при которой обучающая выборка состоит из примеров одного целевого класса и дополнительных фоновых точек, равномерно распределённых на компактном множестве признакового пространства. Такой подход позволяет обрабатывать каждый класс изолированно и реализовать механизм отказа от классификации вне носителя данных, повышая надёжность модели.
Предлагается рассматривать выход персептрона как состоятельный аналог гистограммного разбиения, индуцированного ячейками линейности персептрона. Доказывается, что при естественных условиях регулярности и контролируемом росте архитектуры выходная функция многослойного персептрона является состоятельной и асимптотически эквивалентной гистограммной оценке. Теоретическая состоятельность строго доказана для случая фиксированного первого слоя, а численные эксперименты подтверждают применимость результатов для моделей со всеми обучаемыми слоями.
Таким образом, гистограммная интерпретация обеспечивает статистическую верификацию корректности аппроксимации персептрона и способствует повышению доверия к классификационным решениям в рамках унарной модели.
Библиография: 15 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2025;80(6):45-72

45-72

(Rus)

(JATS XML)

Generalized chord diagrams and weight systems

Казарян М.Э., Красильников Е.С., Ландо С.К., Шапиро М.З., Зайцев М.Р.

Аннотация

The paper is devoted to a description of the recent progress in understanding the extension of Lie algebra weight systems to permutations. Lie algebra weight systems are functions on chord diagrams arising naturally in Vassiliev's theory of finite-type knot invariants. These functions satisfy certain linear restrictions known as Vassiliev's 4-term relations. Chord diagrams can be interpreted as fixed-point-free involutions in symmetric groups, and an extension of Lie algebra weight systems to arbitrary permutations was aimed at finding an efficient way to compute their values. We show that this extension is of interest on its own, which suggests introducing the notion of weight system on permutations. To this end we define generalized Vassiliev's relations for permutations, which reduce to conventional ones for chord diagrams. We also describe the corresponding Hopf algebra structures on spaces of permutations that match the classical Hopf algebra structure on the space of chord diagrams modulo 4-term relations. Among main results of the paper is an explicit formula for the average value of the universal $\mathfrak{gl}$-weight system on permutations. This formula implies, in particular, that this average value is a tau-function for the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy of partial differential equations. Its proof is based on an analysis of a quantum version of the universal $\mathfrak{gl}$-weight system.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2025;80(6):73-136

73-136

(Eng)

(JATS XML)

Accelerated Bregman gradient methods for relatively smooth and relatively Lipschitz continuous minimization problems

Савчук О.С., Алкуса М.С., Шушко А.И., Выгузов А.А., Стонякин Ф.С., Пасечнюк Д.А., Гасников А.В.

Аннотация

We propose some accelerated methods for solving optimization problems under the condition of relatively smooth and relatively Lipschitz continuous functions with inexact oracle. We consider the problem of minimizing a convex, differentiable, and relatively smooth function relative to a reference convex function. The first proposed method is based on a similar triangles method with inexact oracle, which uses a special triangular scaling property of the Bregman divergence used. The other proposed methods are non-adaptive and adaptive (tuning to the relative smoothness parameter) accelerated Bregman proximal gradient methods with inexact oracle. These methods are universal in the sense that they apply not only to relatively smooth but also to relatively Lipschitz continuous optimization problems. We also introduce an adaptive intermediate Bregman method, which interpolates between slower but more robust non-accelerated algorithms and faster but less robust accelerated algorithms. We conclude the paper with the results of numerical experiments demonstrating the advantages of the proposed algorithms for the Poisson inverse problem.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2025;80(6):137-172

137-172