Том 30, № 150 (2025)

В работе рассматривается проблема построения верхней оценки для суммы максимальных собственных чисел лапласиана графа. Статья посвящена доказательству гипотезы Брауэра, которая состоит в том, что сумма -максимальных собственных чисел лапласиана графа не превышает числа ребер графа плюс \( (t + 1)t⁄2 \). Отметим, что мы доказываем справедливость общей гипотезы Брауэра в предположении справедливости гипотезы для конечного числа графов с числом вершин меньше \( 10^{24 } \), т.е. полное доказательство гипотезы сводится к установлению ее справедливости для конечного числа графов. Доказательство данной гипотезы привлекает интерес большого числа специалистов. Имеется ряд результатов для специальных графов и доказательство справедливости гипотезы для почти всех случайных графов. Рассматриваемое нами доказательство использует индуктивный метод, имеющий ряд особенностей. Оригинальный метод предполагает построение различных оценок для собственных чисел лапласиана, который используется для построения шага индукции. Рассматриваются несколько вариантов метода в зависимости от величин координат собственных векторов лапласиана. Используется известный факт эквивалентности справедливости гипотезы Брауэра для самого графа и дополнения графа.

В статье вычислена структура  ядра и коядра задачи Шварца для $J$-ана\-ли\-ти\-чес\-ких  функций, заданных в эллипсе $D$ с границей $\Gamma.$  Задача Шварца состоит   в~нахождении $J$-аналитической в эллипсе $D$ функции по известному  значению ее реальной части на $\Gamma. $ В параграфах 1 и 2 приведена постановка задачи, а также изучено ее решение для специальной правой части. В параграфе 3 изложены необходимые сведения из одной работы А.\,П.~Солдатова. В параграфе 4 построено решение союзной задачи Шварца для специальной правой  части.   На основании этих результатов в  параграфе 5 вычислены ядро и коядро задачи Шварца.   Схема их вычисления кратко описана в начале пятого параграфа. Затем в теоремах \ref{th5.1}--\ref{th5.6} данная схема реализована. При этом использованы введенные автором понятия теоретической и алгоритмической разрешимости специальной задачи Шварца.  Также  использован метод математической индукции.  Показано, что ядро и коядро  задачи Шварца в эллипсе состоят только из вектор-полиномов.  Описана структура ядра и коядра в терминах рангов некоторых вещественных матриц, зависящих от матрицы  $J$ и эллипса $\Gamma.$  В конце статьи  приведен пример вычисления ядра задачи Шварца в эллипсе для двумерной матрицы $J$  с кратным собственным числом.

Для неавтономных дифференциальных включений рассматриваются вопросы притяжения и асимптотического поведения решений. Основой исследований служит развитие метода предельных дифференциальных уравнений в сочетании с прямым методом Ляпунова с несколькими функциями Ляпунова. Это дает возможность более точно проводить локализацию и определять структуру \( ω \)-предельных множеств решений. Основными проблемами исследований являются отсутствие свойств типа инвариантности \( ω \)-предельных множеств неавтономных систем и построение предельных дифференциальных соотношений. Они решаются с использованием предельных дифференциальных включений, построенных с использованием сдвигов (трансляций) исходных дифференциальных включений. Результаты имеют форму обобщений принципа инвариантности Ла-Салля и дают предварительную информацию о предельном поведении решений. Набор дополнительных функций Ляпунова позволяет уточнять это поведение и выделять те точки из множества нулей производной основной функции Ляпунова, которые заведомо \( ω \)-предельным множествам не принадлежат. Результаты иллюстрируются на примере линейного осциллятора с сухим трением.