Том 27, № 140 (2022)

Работа посвящена обзору известных результатов, связанных с исследованиями дифференцирований в групповых алгебрах, бимодулях и других алгебраических структурах, а также различным обобщениям и вариациям данной задачи. Дается обзор результатов, посвященных дифференцированиям в алгебрах $L_1\left(G\right)$; в алгебрах фон Ноймана и в банаховых бимодулях. Обсуждаются алгебраические задачи, в частности дифференцирования в группах, $(\sigma ,\tau )$-дифференцирования и исчисление Фокса. Также дается обзор некоторых результатов, связанных с приложением к псевдодифференциальным операторам и построению символьного исчисления. В заключении описываются некоторые результаты, связанные с описанием дифференцирований, как характеров на группоиде присоединенного действия. Описаны также некоторые приложения: к теории кодирования, теории концов метрических пространств и грубой геометрии.

В работе рассматривается гиперболическая система двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, одно из которых является нелинейным и содержит квадрат одной из неизвестных функций. При этом каждое уравнение содержит две неизвестные функции, зависящие, в свою очередь, от двух переменных. Для этой системы найдены точные решения: решение типа бегущей волны и автомодельное решение. Также определен тип начально-краевых условий, позволяющих использовать построенные общие решения для того, чтобы выписывать решение начально-краевой задачи для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

Рассматривается регулярная параметрическая нелинейная (невыпуклая) задача на условный экстремум с операторным ограничением-равенством и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Ограничения задачи содержат аддитивно входящие в них параметры, что позволяет применять для ее исследования аппарат «нелинейного» метода возмущений. Множество допустимых элементов задачи представляет собою полное метрическое пространство, а сама она может и не иметь решения. Регулярность задачи понимается в смысле существования у нее обобщенного вектора Куна-Таккера. В рамках идеологии метода множителей Лагранжа формулируется и доказывается регуляризованная недифференциальная теорема Куна–Таккера, основным предназначением которой является устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей в рассматриваемой задаче. Эти минимизирующие последовательности конструируются из субминималей (минималей) модифицированной функции Лагранжа, взятой при значениях двойственной переменной, вырабатываемых соответствующей процедурой регуляризации двойственной задачи. Конструкция модифицированной функции Лагранжа является прямым следствием субдифферециальных свойств полунепрерывной снизу и вообще говоря невыпуклой функции значений как функции параметров задачи. Регуляризованная теорема Куна-Таккера «преодолевает» свойства неустойчивости своего классического аналога, является регуляризирующим алгоритмом и служит теоретической основой для создания алгоритмов практического решения задач на условный экстремум.

Исследуются модели динамики популяций, заданные разностными уравнениями со случайными параметрами. При отсутствии промысла развитие популяции в моменты времени $k=1,2,\ldots$ описывается уравнением $X(k+1)=f\big(X(k)\big),$ где $X(k)$~--- количество возобновляемого ресурса, $f(x)$~--- вещественная дифференцируемая функция. Предполагается, что в моменты $k=1,2,\ldots$ происходит изъятие случайной доли популяции $\omega\in[0,1].$ Процесс эксплуатации прекращается, когда в момент $k$ доля собранного ресурса окажется больше некоторого значения $u(k)\in[0,1),$ чтобы сохранить часть популяции для воспроизводства и увеличения размера следующего сбора. При этом доля добываемого ресурса будет равна $\ell(k)=\min\big\{\omega(k),u(k)\big\}, k=1,2,\ldots.$ Тогда модель эксплуатируемой популяции имеет вид $X(k+1)=f\left(\right(1-l\left(k\right) \left)X\right(k) ),k=1,2,...,$ где $x(0)$ - начальная численность популяции, $X(1)=f\big(x(0)\big).$
Для стохастической модели популяции исследуется задача выбора управления $\overline{u}=(u(1),\ldots,u(k),\ldots),$ ограничивающего в каждый момент времени $k$ долю собираемого ресурса, при котором предел функции средней временной выгоды $H(\overline{l},x(0\left)\right)\doteq \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}X\left(k\right)l\left(k\right), где \overline{l}\doteq \left(l\right(1),\dots ,l(k),\dots )$
существует и его можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом. Если уравнение $X(k+1)=f\big(X(k)\big)$ имеет решение вида $X(k)\equiv x^*,$\linebreak то это решение называется положением равновесия данного уравнения. Для любого\linebreak $k=1,2,\ldots$ вводятся в рассмотрение случайные величины $A(k+1,x)=f\bigl((1-\ell(k))A(k,x)\bigr),$ $B(k+1,x^*)=f\bigl((1-\ell(k))B(k,x^*)\bigr)$; здесь $A(1,x)=f(x),$  $B(1,x^*)=x^*.$
Показано, что при выполнении определенных условий существует управление $\overline{u},$ при котором справедлива оценка средней временной выгоды $\frac{1}{m}\sum _{k=1}^{m}M\left(A\right(k,x\left)l\right(k\left)\right)\le H(\overline{l},x(0\left)\right)\le \frac{1}{m}\sum _{k=1}^{m}M\left(B\right(k,x^{*}\left)l\right(k\left)\right),$ где через $M$ обозначено математическое ожидание.
Кроме того, получены условия существования управления $\overline{u},$ при котором с вероятностью единица существует положительный предел средней временной выгоды, равный 
$H(\overline{\ell},x(0)) =$
\lim\limits_{k\to\infty} MA(k,x)\ell(k) =
\lim\limits_{k\to\infty} MB(k,x^*)\ell(k).\vspace{-1ex}