Том 28, № 141 (2023)

В статье исследованы линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка . В отличии от ранее известных результатов, авторы рассматривают случай, когда матрица, стоящая перед операцией дробного дифференцирования, является вырожденной. Задачи в такой постановке называются дифференциально-алгебраическими уравнениями дробного порядка. Подчеркнуты принципиальные отличия таких систем от классических задач дробного дифференцирования и интегрирования, а именно, они могут иметь бесконечное множество решений, или решение исходной задачи зависит от высокой дробной производной правой части. Приведены соответствующие примеры. Авторы переходят к иной, эквивалентной постановке задачи, а именно, переписывают ее в виде системы линейных интегральных уравнений типа Абеля (со слабой особенностью). Такой прием позволяет применять для исследования на предмет существования и единственности решения исходной задачи аппарат регулярных матричных пучков. Используя данный результат, авторы приводят достаточные условия существования единственного решения рассматриваемого класса задач. Далее, предложен алгоритм численного решения таких уравнений. Этот метод основан на методе интегрирования произведений и квадратурной формуле правых прямоугольников. Приведены расчеты и графики погрешностей предложенного метода для различных показателей дробного дифференцирования и различных индексов исходных матричных пучков.

Рассматривается модель полносвязной ассоциации нейронов с синаптической электрической связью, представляющая собой систему $m$ дифференциальных уравнений с запаздыванием. Специальной заменой эта система приводится к системе импульсных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для соответствующей динамической системы в случае $m=3$ изучаются вопросы существования, устойчивости и асимптотического представления периодических решений на основании бифуркационного анализа двумерного отображения — оператора сдвига по траекториям решения специальной системы двух дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется числу сосуществующих устойчивых режимов. Исследуется задача нахождения параметров, для которых количество таких режимов максимально. Для поиска неподвижных точек полученного двумерного отображения используется численное исследование, основанное на следующей итерационной процедуре. Выбирается начальная точка, методом Рунге-Кутты с заданным шагом вычисляются значения решения на отрезке $[0,T]$, в конечной точке $T$ этого отрезка значение решения сравнивается с начальным и, если отклонение превышает заданное значение, то значение в конечной точке принимается за начальное и цикл вычислений методом Рунге-Кутты повторяется. Вычисления заканчиваются, если достигнуто требуемое малое отклонение, т. е. найдена неподвижная точка оператора сдвига, и соответствующий устойчивый периодический режим, или если количество итераций достигает заданного большого числа, что свидетельствует об отсутствии неподвижной точки. В работе представлены результаты проведенного численного исследования, позволившего продемонстрировать основные перестройки, происходящие в фазовом пространстве двумерного отображения. Полученные неподвижные точки позволяют найти асимптотические устойчивые решения исходной задачи.

Тематика исследования данной работы находится на стыке двух разделов качественной теории дифференциальных уравнений, а именно: теории показателей Ляпунова и теории колеблемости. В данной работе изучаются спектры (т. е. множества различных значений на ненулевых решениях) показателей колеблемости знаков (строгих и нестрогих), нулей, корней и гиперкорней линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами. Для любого $n\ge 2$ установлено существование -мерной дифференциальной системы с континуальными спектрами показателей колеблемости. При четных $n$ спектры всех показателей колеблемости заполняют один и тот же отрезок числовой оси с наперед заданными произвольными положительными несоизмеримыми концами, а при нечетных $n$ к указанным спектрам еще добавляется ноль. Оказалось, что для каждого решения построенной дифференциальной системы все показатели колеблемости совпадают между собой. При доказательстве результатов настоящей работы отдельно рассмотрены случаи четности и нечетности $n$. Полученные результаты носят теоретический характер, они расширяют наши представления о возможных спектрах показателей колеблемости линейных однородных дифференциальных систем.

В статье предлагается разработка программного модуля для моделирования кинематики и динамики манипулятора с пятью степенями подвижности. Для решения прямой задачи кинематики манипулятора использован метод Денавита-Хартенберга. Для решения обратной задачи кинематики и динамики манипулятора использованы аналитические методы – метод Левенберга-Марквардта, метод Ньютона-Эйлера, и метод мягких вычислений – адаптивная нейро-нечеткая система вывода. Программный модуль для моделирования кинематики и динамики манипулятора разработан с использованием программного комплекса системы автоматизированного проектирования SolidWorks и программы MatLab. Полученный программный модуль позволяет выполнять моделирование кинематики и динамики манипулятора на основе описываемых методов, визуализацию результатов моделирования, формирование траектории для целевого положения и ориентации рабочего органа манипулятора, имитационное моделирование движения манипулятора по заданной траектории.